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15. (14分)为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准:
(1) 分别写出当$220＜x≤300$和$x＞300$时水费$y$(单位:元)与$x$之间的函数表达式;
(2) 某户一年用水量是 250 立方米,求该户这一年的水费;
(3) 某户去年一年的水费是 1 000.5 元,求该户去年一年的用水量.
(1) 分别写出当$220＜x≤300$和$x＞300$时水费$y$(单位:元)与$x$之间的函数表达式;
(2) 某户一年用水量是 250 立方米,求该户这一年的水费;
(3) 某户去年一年的水费是 1 000.5 元,求该户去年一年的用水量.
答案
15. (1) 当 $220＜x ≤ 300$ 时, $y=220 × 3.45+4.83(x-220)=4.83x-303.6$; 当 $x＞300$ 时, $y=220 × 3.45+4.83 ×(300-220)+5.83(x-300)=5.83x-603.6$
(2) $\because 220＜250＜300, \therefore$ 将 $x=250$ 代入 $y=4.83x-303.6$, 得 $y=4.83 × 250-303.6=903.9. \therefore$ 该户这一年的水费是 903.9 元
(3) $\because 3.45 × 220=759$(元), $3.45 × 220+4.83 ×(300-220)=1145.4$(元), 且 $759＜1000.5＜1145.4, \therefore$ 该户年用水量属于第二档. $\therefore$ 将 $y=1000.5$ 代入 $y=4.83x-303.6$, 得 $4.83x-303.6=1000.5$, 解得 $x=270. \therefore$ 该户去年一年的用水量是 270 立方米
(2) $\because 220＜250＜300, \therefore$ 将 $x=250$ 代入 $y=4.83x-303.6$, 得 $y=4.83 × 250-303.6=903.9. \therefore$ 该户这一年的水费是 903.9 元
(3) $\because 3.45 × 220=759$(元), $3.45 × 220+4.83 ×(300-220)=1145.4$(元), 且 $759＜1000.5＜1145.4, \therefore$ 该户年用水量属于第二档. $\therefore$ 将 $y=1000.5$ 代入 $y=4.83x-303.6$, 得 $4.83x-303.6=1000.5$, 解得 $x=270. \therefore$ 该户去年一年的用水量是 270 立方米
16. (16 分) 如图, 一次函数 $y=-\dfrac{5}{4}x+8$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $A,B$, 与一次函数 $y=\dfrac{3}{4}x$ 的图象相交于点 $C$.
(1) 求点 $C$ 的坐标.
(2) 若点 $Q$ 在直线 $AB$ 上, 且 $△ OCQ$ 的面积等于 12 , 请求出点 $Q$ 的坐标.
(3) 小明在探究中发现: 若 $P$ 为 $x$ 轴上一动点, 将线段 $PC$ 绕点 $P$ 按顺时针方向旋转 $90°$ 得线段 $PC'$, 在点 $P$ 的运动过程中, 点 $C'$ 始终在某一直线上运动. 请直接写出该直线对应的函数表达式:
(1) 求点 $C$ 的坐标.
(2) 若点 $Q$ 在直线 $AB$ 上, 且 $△ OCQ$ 的面积等于 12 , 请求出点 $Q$ 的坐标.
(3) 小明在探究中发现: 若 $P$ 为 $x$ 轴上一动点, 将线段 $PC$ 绕点 $P$ 按顺时针方向旋转 $90°$ 得线段 $PC'$, 在点 $P$ 的运动过程中, 点 $C'$ 始终在某一直线上运动. 请直接写出该直线对应的函数表达式:
$y=x-7$
.答案
16. (1) 联立 $\begin{cases} y=-\dfrac{5}{4}x+8, \\ y=\dfrac{3}{4}x, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$ $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$
(2) $\because$ 一次函数 $y=-\dfrac{5}{4}x+8$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $A,B, \therefore A(\dfrac{32}{5},0), B(0,8)$. $\therefore OB=8, OA=\dfrac{32}{5}. \because$ 点 $Q$ 在直线 $AB$ 上, $\therefore$ 设 $Q(x,-\dfrac{5}{4}x+8)$. ① 当点 $Q$ 在点 $C$ 的上方时, $\because S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2} × 8 × 4=16,16＞12, \therefore$ 有 $S_{△ OCQ}=S_{△ OBC}-S_{△ OBQ}=12$, 即 $16-\dfrac{1}{2} × 8 · x=12$, 解得 $x=1$, 此时点 $Q$ 的坐标为 $(1,\dfrac{27}{4})$. ② 当点 $Q$ 在点 $C$ 的下方时, $\because S_{△ OCA}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{32}{5} × 3=\dfrac{48}{5}, \dfrac{48}{5}＜12, \therefore$ 有 $S_{△ OCQ}=S_{△ OCA}+S_{△ OAQ}=12$, 即 $\dfrac{48}{5}+\dfrac{1}{2} × \dfrac{32}{5} ×(\dfrac{5}{4}x-8)=12$, 解得 $x=7$, 此时点 $Q$ 的坐标为 $(7,-\dfrac{3}{4})$. 综上所述, 点 $Q$ 的坐标为 $(1,\dfrac{27}{4})$ 或 $(7,-\dfrac{3}{4})$
(3) $y=x-7$
解析: 如图, 设点 $P$ 的坐标为 $(m,0)$, 过点 $C$ 作 $CM ⊥ x$ 轴于点 $M$, 过点 $C'$ 作 $C'N ⊥ x$ 轴于点 $N. \because C(4,3), \therefore OM=4, CM=3. \therefore PM=|4-m|$. 易证 $△ C'PN ≌ △ PCM$, 得 $PN=CM=3, C'N=PM=|4-m|$. $\therefore$ 易得 $C'(3+m,m-4). \therefore \begin{cases} 3+m=x, \\ m-4=y. \end{cases}$ 消去 $m$, 得 $y=x-7$, 即点 $C'$ 始终在直线 $y=x-7$ 上运动.
