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10. 如图①所示为第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形$OABC$.若$AB=BC=1$,$∠ AOB=30°$,则$OC$的长为
√5
.答案
10. √5
11. 如图, 在 $△ ABC$ 中, 边 $AB, AC$ 的垂直平分线交于点 $O$. 若 $∠ BOC=80°$, 则 $∠ A$ 的度数为
40°
.答案
11. 40°
12. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,$CE$为$△ ACD$的角平分线. 若$CD=12$,$BC=13$,且$△ BCE$的面积为 48,则点$E$到$AC$的距离为
3
.答案
12. 3
三、解答题(共52分)
13. (10分)
(1) 计算: $-2^{2}+2^{3} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}}-\sqrt[3]{-27}$;
(2) 求 $x$ 的值: $(2x-1)^{3}-27=0$.
13. (10分)
(1) 计算: $-2^{2}+2^{3} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}}-\sqrt[3]{-27}$;
(2) 求 $x$ 的值: $(2x-1)^{3}-27=0$.
答案
13. (1) 31
(2) $\because (2x-1)^3-27=0,\therefore (2x-1)^3=27.\therefore 2x-1=3$,解得 $x=2$
(2) $\because (2x-1)^3-27=0,\therefore (2x-1)^3=27.\therefore 2x-1=3$,解得 $x=2$
14. (12 分) 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ B=90°$,$AC$ 平分 $∠ DAB$, $DE ⊥ AC$, 垂足为 $E$, 且 $AB=AE$.
(1) 请找出图中的全等三角形,并给予证明;
(2) 若 $∠ DAC=30°$, 求 $∠ ACD$ 的度数.
(1) 请找出图中的全等三角形,并给予证明;
(2) 若 $∠ DAC=30°$, 求 $∠ ACD$ 的度数.
答案
14. (1) $△ ABC ≌ △ AED$
$\because AC$ 平分 $∠ DAB$, $\therefore ∠ BAC=∠ EAD. \because DE ⊥ AC, ∠ B=90°, \therefore ∠ B=∠ AED. \because AB=AE, \therefore △ ABC ≌ △ AED (\mathrm{ASA})$
(2) $\because △ ABC ≌ △ AED, \therefore AC=AD. \therefore ∠ ACD=∠ ADC. \because △ ACD$ 的内角和为 $180°, ∠ DAC=30°$, $\therefore ∠ ACD=\dfrac{1}{2}×(180°-30°)=75°$
$\because AC$ 平分 $∠ DAB$, $\therefore ∠ BAC=∠ EAD. \because DE ⊥ AC, ∠ B=90°, \therefore ∠ B=∠ AED. \because AB=AE, \therefore △ ABC ≌ △ AED (\mathrm{ASA})$
(2) $\because △ ABC ≌ △ AED, \therefore AC=AD. \therefore ∠ ACD=∠ ADC. \because △ ACD$ 的内角和为 $180°, ∠ DAC=30°$, $\therefore ∠ ACD=\dfrac{1}{2}×(180°-30°)=75°$
