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1. (宁夏中考)某学习小组做摸球试验,在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20 个,除颜色外都相同.将球搅匀后,随机摸出5 个球,发现 3 个是红球,估计袋中红球的个数是（
A.12
B.9
C.8
D.6
A
）A.12
B.9
C.8
D.6
答案
解析:摸到红球的频率为 3÷5=0.6,估计袋中红球的个数是 20×0.6=12,故选 A.
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路是：先通过摸球试验中摸到红球的次数与摸球总次数的比值，计算出摸到红球的频率，再利用“总体中某类个体的数量=总体总数×该类个体的频率”，估计袋中红球的个数。
【解析】
1. 计算摸到红球的频率：随机摸出5个球，其中3个是红球，因此摸到红球的频率为 $ \frac{3}{5} = 0.6 $；
2. 估计袋中红球的个数：用总球数乘以红球的频率，即 $ 20 × 0.6 = 12 $。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；样本估计总体
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，通过摸球试验的频率估计总体中红球的数量，贴近生活实际，考查学生对频率与概率关系的理解及简单计算能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路是：先通过摸球试验中摸到红球的次数与摸球总次数的比值，计算出摸到红球的频率，再利用“总体中某类个体的数量=总体总数×该类个体的频率”，估计袋中红球的个数。
【解析】
1. 计算摸到红球的频率：随机摸出5个球，其中3个是红球，因此摸到红球的频率为 $ \frac{3}{5} = 0.6 $；
2. 估计袋中红球的个数：用总球数乘以红球的频率，即 $ 20 × 0.6 = 12 $。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；样本估计总体
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，通过摸球试验的频率估计总体中红球的数量，贴近生活实际，考查学生对频率与概率关系的理解及简单计算能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.（2025·连云港期中）育种实验室在相同的条件下对某品种小麦发芽情况进行测试，得到如下数据：
则$a$的值最有可能是（
A.3 600
B.3 720
C.3 880
D.3 970
则$a$的值最有可能是（
C
）A.3 600
B.3 720
C.3 880
D.3 970
答案
解析:96÷100=0.96,489÷500=0.978,967÷1 000=0.967,1 940÷2 000=0.97,2 908÷3 000≈0.969,由抽取的样本数据,我们发现小麦发芽的频率稳定在 0.97 左右,即用频率估计概率,我们可求出 a 的值最有可能是 4 000×0.97=3 880.
解析
【分析】要确定a的值，需先计算不同抽查粒数对应的小麦发芽频率，观察频率的稳定值，利用“用频率估计概率”的方法，用稳定的频率乘以总抽查粒数4000，即可得到a的近似值。
【解析】首先计算各次抽查的发芽频率：
抽查100粒时，发芽频率为 $ 96 ÷ 100 = 0.96 $；
抽查500粒时，发芽频率为 $ 489 ÷ 500 = 0.978 $；
抽查1000粒时，发芽频率为 $ 967 ÷ 1000 = 0.967 $；
抽查2000粒时，发芽频率为 $ 1940 ÷ 2000 = 0.97 $；
抽查3000粒时，发芽频率为 $ 2908 ÷ 3000 \approx 0.969 $；
观察这些频率，发现随着抽查粒数增加，发芽频率逐渐稳定在0.97左右，因此可估计该小麦发芽的概率约为0.97。
那么当抽查4000粒时，发芽粒数 $ a \approx 4000 × 0.97 = 3880 $。
【答案】C
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查用频率估计概率的应用，核心是通过多次试验的频率找到稳定值，以此估计总体的发芽粒数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】首先计算各次抽查的发芽频率：
抽查100粒时，发芽频率为 $ 96 ÷ 100 = 0.96 $；
抽查500粒时，发芽频率为 $ 489 ÷ 500 = 0.978 $；
抽查1000粒时，发芽频率为 $ 967 ÷ 1000 = 0.967 $；
抽查2000粒时，发芽频率为 $ 1940 ÷ 2000 = 0.97 $；
抽查3000粒时，发芽频率为 $ 2908 ÷ 3000 \approx 0.969 $；
观察这些频率，发现随着抽查粒数增加，发芽频率逐渐稳定在0.97左右，因此可估计该小麦发芽的概率约为0.97。
那么当抽查4000粒时，发芽粒数 $ a \approx 4000 × 0.97 = 3880 $。
【答案】C
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查用频率估计概率的应用，核心是通过多次试验的频率找到稳定值，以此估计总体的发芽粒数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
3.(鞍山中考)某鱼塘里养了1 600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼,该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现,捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右,若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼,则捕捞到鲤鱼的概率约为
$\frac{1}{3}$
.答案
解析:
∵捕捞到草鱼的频率稳定在 0.5 左右,
∴设草鱼的条数为 x,可得$\frac{x}{1\ 600+x+800}=0.5$,解得 x=2 400,经检验:x=2 400 是原方程的解且符合实际意义,
∴由题意可得,捕捞到鲤鱼的概率为$\frac{1\ 600}{1\ 600+2\ 400+800}=\frac{1}{3}$.
∵捕捞到草鱼的频率稳定在 0.5 左右,
∴设草鱼的条数为 x,可得$\frac{x}{1\ 600+x+800}=0.5$,解得 x=2 400,经检验:x=2 400 是原方程的解且符合实际意义,
∴由题意可得,捕捞到鲤鱼的概率为$\frac{1\ 600}{1\ 600+2\ 400+800}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题需利用频率估计概率的知识先求出草鱼的数量，再根据概率公式计算捕捞到鲤鱼的概率。首先，当试验次数足够多时，频率的稳定值可近似等于概率，据此设草鱼数量为未知数，结合草鱼的频率列方程求解；再计算鱼塘中鱼的总数量，最后用鲤鱼数量除以总鱼数得到捕捞到鲤鱼的概率。
【解析】
解：
∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，根据频率估计概率，可知草鱼的概率约为0.5。
设草鱼的条数为$ x $，则鱼塘中鱼的总条数为$ 1600 + x + 800 $，因此可列方程：
$\frac{x}{1600 + x + 800} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5 × (2400 + x) \x = 1200 + 0.5x \\0.5x = 1200 \x = 2400$
经检验，$ x = 2400 $是原方程的解且符合实际意义。
鱼塘中鱼的总条数为：$ 1600 + 2400 + 800 = 4800 $（条）
因此，捕捞到鲤鱼的概率为：
$\frac{1600}{4800} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题结合频率与概率的关系，先通过频率求出未知的草鱼数量，再利用概率公式计算目标事件的概率，是概率知识的基础应用，关键在于理解频率稳定时可近似为概率，进而建立方程求解。
【难度系数】
0.5
本题需利用频率估计概率的知识先求出草鱼的数量，再根据概率公式计算捕捞到鲤鱼的概率。首先，当试验次数足够多时，频率的稳定值可近似等于概率，据此设草鱼数量为未知数，结合草鱼的频率列方程求解；再计算鱼塘中鱼的总数量，最后用鲤鱼数量除以总鱼数得到捕捞到鲤鱼的概率。
【解析】
解：
∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，根据频率估计概率，可知草鱼的概率约为0.5。
设草鱼的条数为$ x $，则鱼塘中鱼的总条数为$ 1600 + x + 800 $，因此可列方程：
$\frac{x}{1600 + x + 800} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5 × (2400 + x) \x = 1200 + 0.5x \\0.5x = 1200 \x = 2400$
经检验，$ x = 2400 $是原方程的解且符合实际意义。
鱼塘中鱼的总条数为：$ 1600 + 2400 + 800 = 4800 $（条）
因此，捕捞到鲤鱼的概率为：
$\frac{1600}{4800} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题结合频率与概率的关系，先通过频率求出未知的草鱼数量，再利用概率公式计算目标事件的概率，是概率知识的基础应用，关键在于理解频率稳定时可近似为概率，进而建立方程求解。
【难度系数】
0.5
4. (2025·深圳期中)4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,不放回,再随机抽取1件进行检测.请用列表或画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率.(解答时可用A表示1件不合格品,用B,C,D分别表示3件合格品)
(2)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回.通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,不放回,再随机抽取1件进行检测.请用列表或画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率.(解答时可用A表示1件不合格品,用B,C,D分别表示3件合格品)
(2)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回.通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
答案
(1)画树状图如图：
共有 12 种等可能的情况,两次抽到的都是合格品的情况有6 种,则 P(两次抽到的都是合格品)=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2)
∵大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,
∴估计抽到合格品的概率等于 0.95,
∴$\frac{x+3}{x+4}=0.95$,解得 x=16.
解析
【分析】
第(1)问需用树状图或列表法列举不放回抽样的所有等可能结果，再找出两次都是合格品的结果数，根据概率公式计算；第(2)问利用大量重复试验中频率稳定值等于概率的特点，结合概率公式列方程求解x。
【解析】
(1) 画树状图：第一次抽取有A、B、C、D4种等可能结果，因是不放回抽样，第二次抽取对应第一次的结果，总共有$4×3=12$种等可能情况。其中两次抽到的都是合格品（B、C、D）的情况有6种，根据概率公式得：
$P(两次抽到的都是合格品)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) 大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，故估计抽到合格品的概率为0.95。加入x件合格品后，总产品数为$(4+x)$件，合格品数为$(3+x)$件，根据概率公式列方程：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解方程得：$x=16$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) 16
【知识点】
树状图求概率、频率估计概率、概率公式
【点评】
本题考查概率的基础应用，第(1)问通过树状图清晰列举结果，第(2)问结合频率与概率的关系列方程，考查学生对概率基本概念的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问需用树状图或列表法列举不放回抽样的所有等可能结果，再找出两次都是合格品的结果数，根据概率公式计算；第(2)问利用大量重复试验中频率稳定值等于概率的特点，结合概率公式列方程求解x。
【解析】
(1) 画树状图：第一次抽取有A、B、C、D4种等可能结果，因是不放回抽样，第二次抽取对应第一次的结果，总共有$4×3=12$种等可能情况。其中两次抽到的都是合格品（B、C、D）的情况有6种，根据概率公式得：
$P(两次抽到的都是合格品)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) 大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，故估计抽到合格品的概率为0.95。加入x件合格品后，总产品数为$(4+x)$件，合格品数为$(3+x)$件，根据概率公式列方程：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解方程得：$x=16$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) 16
【知识点】
树状图求概率、频率估计概率、概率公式
【点评】
本题考查概率的基础应用，第(1)问通过树状图清晰列举结果，第(2)问结合频率与概率的关系列方程，考查学生对概率基本概念的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. (2025·徐州校级月考)如图①,有一不规则图案(图中阴影部分),数学小组为了探究该不规则图案的面积,进行了模拟试验,将不规则图案放在边长为2 cm的正方形内部.通过计算机随机投放一个点到正方形内部,并记录该点落在不规则图案上的次数,得到如下数据.
由此可估计不规则图案的面积大约为（
A.$1.36\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$1.08\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$1.2\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$2\ \mathrm{cm^{2}}$
由此可估计不规则图案的面积大约为（
C
）A.$1.36\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$1.08\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$1.2\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$2\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
解析:由折线统计图知,随着试验次数的增加,点落在不规则图案内的频率稳定在 0.3 左右,于是把 0.3 作为概率.设不规则图案的面积为 x cm²,则有$\frac{x}{2×2}=0.3$,解得 x=1.2,即不规则图案的面积大约为 1.2 cm².故选 C.
解析
【分析】
要估计不规则图案的面积，可利用“频率估计概率”的几何概率应用思路：当随机试验次数足够多时，点落在不规则图案上的频率会趋近于其概率，而该概率等于不规则图案面积与正方形面积的比值。首先从折线统计图中找到稳定的频率值作为概率，再设不规则图案面积为未知数，根据概率公式列方程求解即可。
【解析】
由折线统计图可知，随着试验次数增加，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此将0.3作为点落在不规则图案内的概率。
已知正方形边长为2 cm，其面积为 $2 × 2 = 4\ \mathrm{cm^2}$。
设不规则图案的面积为 $x\ \mathrm{cm^2}$，根据几何概率公式：
$\frac{\mathrm{不规则图案面积}}{\mathrm{正方形面积}} = \mathrm{概率}$
代入数据得：
$\frac{x}{4} = 0.3$
解得 $x = 1.2$，即不规则图案的面积大约为 $1.2\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率、几何概率
【点评】
本题是利用模拟试验估算不规则图形面积的典型题，结合频率估计概率和几何概率公式即可快速求解，属于基础题型，考查概率知识的实际应用。
【难度系数】
0.6
要估计不规则图案的面积，可利用“频率估计概率”的几何概率应用思路：当随机试验次数足够多时，点落在不规则图案上的频率会趋近于其概率，而该概率等于不规则图案面积与正方形面积的比值。首先从折线统计图中找到稳定的频率值作为概率，再设不规则图案面积为未知数，根据概率公式列方程求解即可。
【解析】
由折线统计图可知，随着试验次数增加，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此将0.3作为点落在不规则图案内的概率。
已知正方形边长为2 cm，其面积为 $2 × 2 = 4\ \mathrm{cm^2}$。
设不规则图案的面积为 $x\ \mathrm{cm^2}$，根据几何概率公式：
$\frac{\mathrm{不规则图案面积}}{\mathrm{正方形面积}} = \mathrm{概率}$
代入数据得：
$\frac{x}{4} = 0.3$
解得 $x = 1.2$，即不规则图案的面积大约为 $1.2\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率、几何概率
【点评】
本题是利用模拟试验估算不规则图形面积的典型题，结合频率估计概率和几何概率公式即可快速求解，属于基础题型，考查概率知识的实际应用。
【难度系数】
0.6
6. (2025·盐城模拟)动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率为 0.5,据此若设刚出生的这种动物共有 $a$ 只,则 20 年后存活的有
0.8a
只,现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是$\frac{5}{8}$
.答案
解析:共有 a 只这种动物,
∵这种动物活到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率为 0.5,
∴这种动物 20 年后存活的有 0.8a 只,活到 25 岁的有 0.5a 只,
∴现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是$\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{5}{8}$.
∵这种动物活到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率为 0.5,
∴这种动物 20 年后存活的有 0.8a 只,活到 25 岁的有 0.5a 只,
∴现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是$\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{5}{8}$.
解析
【分析】要解决本题，首先明确两个核心逻辑：①事件发生的数量等于总数量乘以该事件发生的概率，因此求20年后存活的动物数量，用总数量a乘以活到20岁的概率即可；②求“现年20岁的动物活到25岁的概率”是条件概率，此时样本空间是“活到20岁的动物”，而非所有刚出生的动物，需用“活到25岁的动物数量”除以“活到20岁的动物数量”，计算时总数量a会约去简化结果。
【解析】设刚出生的动物共有$a$只，根据概率与数量的关系：
1. 活到20岁的动物数量 = 总数量×活到20岁的概率 = $a×0.8 = 0.8a$，即20年后存活的有$0.8a$只；
2. 活到25岁的动物数量 = $a×0.5 = 0.5a$；
3. 现年20岁的动物活到25岁的概率 = $\frac{活到25岁的动物数量}{活到20岁的动物数量} = \frac{0.5a}{0.8a} = \frac{5}{8}$。
【答案】$0.8a$；$\frac{5}{8}$
【知识点】概率的意义、条件概率
【点评】本题结合实际场景考查概率的应用，核心是区分普通概率与条件概率的计算逻辑，属于基础题型，需准确把握事件的前提条件。
【难度系数】0.4
【解析】设刚出生的动物共有$a$只，根据概率与数量的关系：
1. 活到20岁的动物数量 = 总数量×活到20岁的概率 = $a×0.8 = 0.8a$，即20年后存活的有$0.8a$只；
2. 活到25岁的动物数量 = $a×0.5 = 0.5a$；
3. 现年20岁的动物活到25岁的概率 = $\frac{活到25岁的动物数量}{活到20岁的动物数量} = \frac{0.5a}{0.8a} = \frac{5}{8}$。
【答案】$0.8a$；$\frac{5}{8}$
【知识点】概率的意义、条件概率
【点评】本题结合实际场景考查概率的应用，核心是区分普通概率与条件概率的计算逻辑，属于基础题型，需准确把握事件的前提条件。
【难度系数】0.4
