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1. 两个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球,将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为 1,2,3. 从这两个口袋中分别摸出一个乒乓球,出现的数字正好能与 3 组成等腰三角形三边长的概率是（
A.$\dfrac{4}{9}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{17}{27}$
D.$\dfrac{7}{9}$
B
）A.$\dfrac{4}{9}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{17}{27}$
D.$\dfrac{7}{9}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决该问题，需分三步思考：①先确定从两个口袋摸球的所有等可能结果；②结合等腰三角形的定义和三角形三边关系，筛选出能与3组成等腰三角形三边长的结果；③用符合条件的结果数除以总结果数，得到所求概率。
【解析】
1. 计算总结果数：每个口袋有标号为1、2、3的3个球，从两个口袋各摸1个球，所有等可能的结果为：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)，共9种。
2. 筛选符合条件的结果：需同时满足两个条件：①三边中有两边相等（等腰三角形定义）；②任意两边之和大于第三边（三角形三边关系）。逐个验证：
(1,1)：三边1,1,3，1+1=2＜3，不满足三边关系，排除；
(1,2)：三边1,2,3，1+2=3，不满足三边关系，排除；
(1,3)：三边1,3,3，有两边相等，且1+3＞3，满足，保留；
(2,1)：三边2,1,3，2+1=3，不满足三边关系，排除；
(2,2)：三边2,2,3，有两边相等，且2+2＞3，满足，保留；
(2,3)：三边2,3,3，有两边相等，且2+3＞3，满足，保留；
(3,1)：三边3,1,3，有两边相等，且1+3＞3，满足，保留；
(3,2)：三边3,2,3，有两边相等，且2+3＞3，满足，保留；
(3,3)：三边3,3,3，等边三角形（特殊等腰），满足，保留；
符合条件的结果共6种。
3. 计算概率：概率=符合条件的结果数÷总结果数=6÷9=2/3。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题结合概率与三角形的性质，需先列举所有等可能结果，再依据等腰三角形定义和三边关系筛选，易因忽略三边关系出错，是一道综合基础题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需分三步思考：①先确定从两个口袋摸球的所有等可能结果；②结合等腰三角形的定义和三角形三边关系，筛选出能与3组成等腰三角形三边长的结果；③用符合条件的结果数除以总结果数，得到所求概率。
【解析】
1. 计算总结果数：每个口袋有标号为1、2、3的3个球，从两个口袋各摸1个球，所有等可能的结果为：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)，共9种。
2. 筛选符合条件的结果：需同时满足两个条件：①三边中有两边相等（等腰三角形定义）；②任意两边之和大于第三边（三角形三边关系）。逐个验证：
(1,1)：三边1,1,3，1+1=2＜3，不满足三边关系，排除；
(1,2)：三边1,2,3，1+2=3，不满足三边关系，排除；
(1,3)：三边1,3,3，有两边相等，且1+3＞3，满足，保留；
(2,1)：三边2,1,3，2+1=3，不满足三边关系，排除；
(2,2)：三边2,2,3，有两边相等，且2+2＞3，满足，保留；
(2,3)：三边2,3,3，有两边相等，且2+3＞3，满足，保留；
(3,1)：三边3,1,3，有两边相等，且1+3＞3，满足，保留；
(3,2)：三边3,2,3，有两边相等，且2+3＞3，满足，保留；
(3,3)：三边3,3,3，等边三角形（特殊等腰），满足，保留；
符合条件的结果共6种。
3. 计算概率：概率=符合条件的结果数÷总结果数=6÷9=2/3。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题结合概率与三角形的性质，需先列举所有等可能结果，再依据等腰三角形定义和三边关系筛选，易因忽略三边关系出错，是一道综合基础题。
【难度系数】
0.5
2. 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图.市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$
A
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$
答案
2. A 提示:画树状图如下：
共有9种等可能的结果,其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种,所以他们恰好从同一出口走出的概率是$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】要计算甲、乙恰好从同一出口走出的概率，需先通过树状图列举所有等可能的结果，再找出两人从同一出口走出的结果数量，最后利用概率公式求解。
【解析】甲、乙从同一入口进入，出口共有3种：D、E、C。用树状图列举所有可能的情况：
甲选择出口有3种可能，乙选择出口也有3种可能，因此总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能的结果，分别为：(D,D)、(D,E)、(D,C)、(E,D)、(E,E)、(E,C)、(C,D)、(C,E)、(C,C)。
其中，两人恰好从同一出口走出的结果有：(D,D)、(E,E)、(C,C)，共3种。
根据概率公式：$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】A
【知识点】树状图法求概率、概率计算
【点评】本题考查用树状图法计算简单事件的概率，解题关键是准确列举所有等可能的结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】甲、乙从同一入口进入，出口共有3种：D、E、C。用树状图列举所有可能的情况：
甲选择出口有3种可能，乙选择出口也有3种可能，因此总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能的结果，分别为：(D,D)、(D,E)、(D,C)、(E,D)、(E,E)、(E,C)、(C,D)、(C,E)、(C,C)。
其中，两人恰好从同一出口走出的结果有：(D,D)、(E,E)、(C,C)，共3种。
根据概率公式：$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】A
【知识点】树状图法求概率、概率计算
【点评】本题考查用树状图法计算简单事件的概率，解题关键是准确列举所有等可能的结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
3. 如图,正六边形$ABCDEF$顶点处各有一个圈,小雅设计了一个跳圈游戏,规则是投掷两枚六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6的骰子,向上的一面上的点数是几,玩家就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长,如若从圈$A$起跳,骰子一个掷得3,另一个掷得4,就先顺时针连续跳3个边长落到圈$D$,再从$D$开始顺时针连续跳4个边长落到圈$B$.设玩家从圈$A$起跳,则一次游戏后能够回到圈$A$的概率是 （
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{12}$
D.$\dfrac{1}{4}$
B
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{12}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
3. B 提示:根据题意,列表如下：
| 第一枚骰子上的点数 | μlticolumn{6}{c}{第二枚骰子上的点数} |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
共有36种等可能的结果,当两次掷得的数字和为6的倍数,即6,12时,才可落回A圈,共6种,所以一次游戏后能够回到圈A的概率是$\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
| 第一枚骰子上的点数 | μlticolumn{6}{c}{第二枚骰子上的点数} |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
共有36种等可能的结果,当两次掷得的数字和为6的倍数,即6,12时,才可落回A圈,共6种,所以一次游戏后能够回到圈A的概率是$\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
首先，正六边形有6个顶点，从圈A起跳，顺时针跳的总步数是两枚骰子的点数之和，要回到圈A，总步数必须是6的倍数（因为每跳6步就回到起点）。接下来，先计算投掷两枚骰子的所有等可能结果数，再找出点数和为6的倍数的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
解：投掷两枚骰子，每枚骰子有6种等可能的结果，因此总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
要使一次游戏后回到圈A，需两次掷得的点数之和为6的倍数（正六边形有6个顶点，跳6的整数倍步数回到起点）：
点数和为6的情况：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种；
点数和为12的情况：(6,6)，共1种。
符合条件的结果共 $5 + 1 = 6$ 种，根据概率公式，所求概率为 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、正六边形性质
【点评】
本题结合正六边形特点考查概率的基本计算，关键是理解回到起点的条件是总步数为6的倍数，通过列举等可能结果，利用概率公式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
首先，正六边形有6个顶点，从圈A起跳，顺时针跳的总步数是两枚骰子的点数之和，要回到圈A，总步数必须是6的倍数（因为每跳6步就回到起点）。接下来，先计算投掷两枚骰子的所有等可能结果数，再找出点数和为6的倍数的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
解：投掷两枚骰子，每枚骰子有6种等可能的结果，因此总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
要使一次游戏后回到圈A，需两次掷得的点数之和为6的倍数（正六边形有6个顶点，跳6的整数倍步数回到起点）：
点数和为6的情况：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种；
点数和为12的情况：(6,6)，共1种。
符合条件的结果共 $5 + 1 = 6$ 种，根据概率公式，所求概率为 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、正六边形性质
【点评】
本题结合正六边形特点考查概率的基本计算，关键是理解回到起点的条件是总步数为6的倍数，通过列举等可能结果，利用概率公式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
4. 有3张正面分别写有数字-1,1,2的卡片，它们背面完全相同. 现将这3张卡片背面朝上洗匀后随机抽取1张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的2张卡片中随机抽取1张，以其正面的数字作为b的值，则点$(a,b)$在第二象限的概率为 （
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
）A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
4. B 提示:列表如下：
| b \ a | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | --- | $(1,-1)$ | $(2,-1)$ |
| 1 | $(-1,1)$ | --- | $(2,1)$ |
| 2 | $(-1,2)$ | $(1,2)$ | --- |
共有6种等可能的结果,而在第二象限的点有$(-1,1),(-1,2)$,共2种结果,所以所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
| b \ a | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | --- | $(1,-1)$ | $(2,-1)$ |
| 1 | $(-1,1)$ | --- | $(2,1)$ |
| 2 | $(-1,2)$ | $(1,2)$ | --- |
共有6种等可能的结果,而在第二象限的点有$(-1,1),(-1,2)$,共2种结果,所以所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确不放回抽取卡片时所有可能的(a,b)组合，再根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正）筛选符合条件的点，最后利用概率公式计算概率。具体思路：1. 列举所有等可能的(a,b)结果；2. 找出满足第二象限条件的点；3. 用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
第一次抽取a有3种可能（-1、1、2），第二次从剩余2张卡片中抽取b，因此所有等可能的(a,b)组合为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)，共6种。
第二象限的点需满足横坐标a＜0、纵坐标b＞0，符合条件的点为(-1,1)、(-1,2)，共2种。
根据概率公式：$ P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数} $，可得所求概率为$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题为初中概率模块的基础题型，需掌握不放回抽样的结果列举方法，以及第二象限点的坐标性质，难度适中，适合巩固概率计算的基础应用。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先明确不放回抽取卡片时所有可能的(a,b)组合，再根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正）筛选符合条件的点，最后利用概率公式计算概率。具体思路：1. 列举所有等可能的(a,b)结果；2. 找出满足第二象限条件的点；3. 用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
第一次抽取a有3种可能（-1、1、2），第二次从剩余2张卡片中抽取b，因此所有等可能的(a,b)组合为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)，共6种。
第二象限的点需满足横坐标a＜0、纵坐标b＞0，符合条件的点为(-1,1)、(-1,2)，共2种。
根据概率公式：$ P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数} $，可得所求概率为$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题为初中概率模块的基础题型，需掌握不放回抽样的结果列举方法，以及第二象限点的坐标性质，难度适中，适合巩固概率计算的基础应用。
【难度系数】
0.6
5. 一个盒子中装有标号分别为 1,2,3,4,5 的五个小球,这些球除了标号外都相同. 从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为
$\dfrac{2}{5}$
.答案
5. $\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】本题是古典概型的概率计算问题，解题思路为：①先确定从5个小球中随机摸出2个的所有可能组合（总基本事件数）；②再从中找出标号之和大于6的组合（符合条件的基本事件数）；③根据古典概型概率公式，用符合条件的事件数除以总事件数，得到所求概率。
【解析】解：从标号为1,2,3,4,5的5个小球中随机摸出2个，所有可能的组合为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种，即总基本事件数为10。其中标号之和大于6的组合为：(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共4种，即符合条件的基本事件数为4。根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】$\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型、组合计数
【点评】本题考查古典概型的实际应用，核心是准确列举所有基本事件并筛选符合条件的事件，属于概率基础题型，计算过程简单，易掌握。
【难度系数】0.7
【解析】解：从标号为1,2,3,4,5的5个小球中随机摸出2个，所有可能的组合为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种，即总基本事件数为10。其中标号之和大于6的组合为：(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共4种，即符合条件的基本事件数为4。根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】$\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型、组合计数
【点评】本题考查古典概型的实际应用，核心是准确列举所有基本事件并筛选符合条件的事件，属于概率基础题型，计算过程简单，易掌握。
【难度系数】0.7
6. 为了全面推进素质教育,助力学生健康成长,某学校开设了多门选修课程,南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中任意选修一门课程,两名同学恰好选修同一门课程的概率为
$\dfrac{1}{4}$
.答案
6. $\dfrac{1}{4}$ 提示:用A,B,C,D分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊,画树状图如下：
共有16种等可能的结果,其中他们两人恰好选修同一门课程的结果有4种,所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】要计算两名同学恰好选修同一门课程的概率，需先确定所有等可能的选课结果总数，再找出两人选同一门课程的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）求解。这里通过树状图法列举所有结果：第一名同学有4种选课选择，第二名同学同样有4种，总共有4×4=16种等可能结果；两人选同一门课程的情况有：都选A、都选B、都选C、都选D，共4种，代入公式即可算出概率。
【解析】用A、B、C、D分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的选课结果，其中两名同学恰好选修同一门课程的结果有4种，根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题是概率的基础应用题，通过树状图清晰列举所有等可能结果，进而计算符合条件的概率，考查学生对概率基本概念和计算方法的掌握，属于基础题。
【难度系数】0.7
【解析】用A、B、C、D分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的选课结果，其中两名同学恰好选修同一门课程的结果有4种，根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题是概率的基础应用题，通过树状图清晰列举所有等可能结果，进而计算符合条件的概率，考查学生对概率基本概念和计算方法的掌握，属于基础题。
【难度系数】0.7
7. 随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念. 超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的支付方式有以下四种：A. 现金支付，B. 刷卡支付，C. 微信支付，D. 支付宝支付. 将正面分别写有付款方式的四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上（卡片除正面外其他完全相同）.
（1）小明妈妈随机抽取一张卡片，抽中“C. 微信支付”的概率为
（2）小明妈妈随机抽取一张卡片后放回，洗匀卡片，小明姑姑再随机抽取一张卡片，请你通过列表或画树状图的方法，求小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的概率.
（1）小明妈妈随机抽取一张卡片，抽中“C. 微信支付”的概率为
$\dfrac{1}{4}$
.（2）小明妈妈随机抽取一张卡片后放回，洗匀卡片，小明姑姑再随机抽取一张卡片，请你通过列表或画树状图的方法，求小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的概率.
答案
7. (1) $\dfrac{1}{4}$
(2)解:列表如下：
| 妈妈 \ 姑姑 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | $(B,B)$ | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | $(C,C)$ | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | $(D,D)$ |
由列表可知,共有16种等可能的结果,其中小明妈妈和小明姑姑选择不同付款方式的结果有12种,故小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的概率为$\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$.
(2)解:列表如下：
| 妈妈 \ 姑姑 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | $(B,B)$ | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | $(C,C)$ | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | $(D,D)$ |
由列表可知,共有16种等可能的结果,其中小明妈妈和小明姑姑选择不同付款方式的结果有12种,故小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的概率为$\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
第（1）问：明确总共有4种等可能的支付方式，随机抽取一张时，每种支付方式被抽中的概率相等，直接利用概率公式计算抽中“C.微信支付”的概率。
第（2）问：由于是抽取后放回再抽，属于放回试验，两次抽取的结果相互独立，采用列表法列出所有等可能的结果，再从中找出两人抽中不同付款方式的结果数，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】
（1）总共有4种等可能的支付方式，其中抽中“C.微信支付”的情况有1种，根据概率公式 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} $，可得抽中“C.微信支付”的概率为 $ \frac{1}{4} $。
（2）通过列表法列出所有可能的结果：
| 妈妈 \ 姑姑 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的结果有12种，因此所求概率为 $ \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，涉及放回试验的概率求解，通过列表法直观呈现所有等可能结果，是初中概率部分的常规题型，注重对基础概念和方法的掌握。
【难度系数】
0.6
第（1）问：明确总共有4种等可能的支付方式，随机抽取一张时，每种支付方式被抽中的概率相等，直接利用概率公式计算抽中“C.微信支付”的概率。
第（2）问：由于是抽取后放回再抽，属于放回试验，两次抽取的结果相互独立，采用列表法列出所有等可能的结果，再从中找出两人抽中不同付款方式的结果数，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】
（1）总共有4种等可能的支付方式，其中抽中“C.微信支付”的情况有1种，根据概率公式 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} $，可得抽中“C.微信支付”的概率为 $ \frac{1}{4} $。
（2）通过列表法列出所有可能的结果：
| 妈妈 \ 姑姑 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明妈妈和小明姑姑抽中不同付款方式的结果有12种，因此所求概率为 $ \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，涉及放回试验的概率求解，通过列表法直观呈现所有等可能结果，是初中概率部分的常规题型，注重对基础概念和方法的掌握。
【难度系数】
0.6
