1. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的概率是 （）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$

1. A

【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路为：先利用分步乘法计数原理确定小明和小红所有可能的分班情况总数，再找出两人分在同一个班的情况数，最后根据古典概型概率公式计算概率，从而得出答案。
【解析】
设四个班分别为1、2、3、4班。
1. 计算总事件数：小明可选择的班级有4种，小红可选择的班级也有4种，根据分步乘法计数原理，两人分班的总情况数为 $4 × 4 = 16$ 种，且每种情况等可能发生。
2. 计算符合条件的事件数：小明和小红分在同一个班的情况有：都在1班、都在2班、都在3班、都在4班，共4种。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式 $P = \frac{\mathrm{符合条件的事件数}}{\mathrm{总事件数}}$，可得两人同班的概率为 $P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型、分步乘法计数原理
【点评】
本题是古典概型的基础应用，核心是准确计算总事件数和符合条件的事件数，属于概率模块的入门题型，难度较低，适合巩固概率基本概念。
【难度系数】
0.8

2. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4. 若随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球标号之和等于 5 的概率为（）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{3}{16}$

2. C

【分析】
要计算两次摸球标号之和为5的概率，需先确定不放回摸球的总等可能结果数，再找出其中标号和为5的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）求解。由于是不放回摸球，第一次摸球有4种选择，第二次摸球有3种选择，总结果数为两者乘积；再逐一分析或列举和为5的组合，统计符合条件的结果数。
【解析】
解：1. 计算总结果数：不放回摸两次，第一次有4种摸法，第二次有3种摸法，总等可能结果数为 $4 × 3 = 12$ 种。
2. 统计符合条件的结果：两次标号和为5的情况有：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种。
3. 计算概率：所求概率为 $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、不放回抽样的概率问题
【点评】
本题是基础概率应用题，考查用列举法计算简单事件的概率，关键在于准确统计总结果数和符合条件的结果数，需注意“不放回”对总结果数的影响，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6

3. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征. 如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同. 若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（）


A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{5}$

3. A 提示:列表如下：
| 第二张 \ 第一张 | 火药 | 印刷术 | 造纸术 | 指南针 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 火药 | --- | (印刷术,火药) | (造纸术,火药) | (指南针,火药) |
| 印刷术 | (火药,印刷术) | --- | (造纸术,印刷术) | (指南针,印刷术) |
| 造纸术 | (火药,造纸术) | (印刷术,造纸术) | --- | (指南针,造纸术) |
| 指南针 | (火药,指南针) | (印刷术,指南针) | (造纸术,指南针) | --- |
共有12种等可能的结果,符合题意的有6种,所以这两张卡片中有“指南针”的概率是$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】要计算随机抽取两张卡片中有“指南针”的概率，需先确定从四张卡片中抽取两张的所有等可能结果总数，再找出包含“指南针”的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）求解。采用列表法可清晰、不重复不遗漏地呈现所有抽取情况，便于统计结果。
【解析】我们通过列表法列举所有等可能的抽取结果：
| 第二张\第一张 | 火药 | 印刷术 | 造纸术 | 指南针 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 火药 | - | (印刷术,火药) | (造纸术,火药) | (指南针,火药) |
| 印刷术 | (火药,印刷术) | - | (造纸术,印刷术) | (指南针,印刷术) |
| 造纸术 | (火药,造纸术) | (印刷术,造纸术) | - | (指南针,造纸术) |
| 指南针 | (火药,指南针) | (印刷术,指南针) | (造纸术,指南针) | - |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中包含“指南针”的结果有6种，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】A
【知识点】概率计算、列表法求概率
【点评】本题属于基础概率应用题，核心是通过列举法明确所有等可能结果，再统计符合条件的结果数，计算过程简单，是概率部分的典型基础题型，需注意列举时避免重复或遗漏。
【难度系数】0.3

4. 甲、乙两人玩猜数字游戏,游戏规则如下：有四个数字 0,1,2,3,甲先在心中任选一个数字,记为 m,再由乙猜甲刚才所选的数字,记为 n. 若 m,n 满足$|m-n|≤ 1$,则称甲、乙两人“心有灵犀”,那么甲、乙两人“心有灵犀”的概率是.

4. $\dfrac{5}{8}$ 提示:列表如下：
| n \ m | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 |
共有16种等可能的结果,而其中符合$|m-n|≤1$的结果有10种,所以P(甲、乙两人“心有灵犀”)$=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}$.

【分析】这是一道古典概型的概率计算题，解题思路是：先确定甲选数字$m$和乙猜数字$n$的所有等可能结果总数，再从中筛选出满足$|m-n|≤1$的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算所求概率。由于$m$和$n$各有4种选择，总结果数为$4×4=16$种，再通过列举或列表法找出符合条件的结果即可。
【解析】解：甲选数字$m$有4种等可能的结果，乙猜数字$n$也有4种等可能的结果，因此总共有$4×4=16$种等可能的$(m,n)$组合。
接下来找出满足$|m-n|≤1$的组合：
当$m=0$时，$n$可取0、1（共2种）；
当$m=1$时，$n$可取0、1、2（共3种）；
当$m=2$时，$n$可取1、2、3（共3种）；
当$m=3$时，$n$可取2、3（共2种）；
满足条件的组合总数为$2+3+3+2=10$种。
根据概率公式，$P(\mathrm{甲、乙两人“心有灵犀”})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】$\dfrac{5}{8}$
【知识点】古典概型，列举法求概率
【点评】本题是古典概型的基础应用，通过列举法清晰呈现所有等可能结果，筛选符合条件的结果时需注意绝对值不等式的取值范围，整体难度较低，适合巩固概率计算的基础知识点。
【难度系数】0.6

5. 某班在2026年元旦进行了新年抽奖祈福活动，活动前老师在不透明的抽奖盒中放入3个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后，一个同学从中摸出2个球，记录颜色后放回抽奖箱中，再次搅匀后，下一个同学继续摸. 如果某同学摸到1个红球和1个白球，则可获得小马祈福挂件一个，否则需表演一个节目.
(1) 求该班甲同学获得小马祈福挂件的概率.
(2) 该班甲、乙2名同学都获得小马祈福挂件的概率是.

5. (1)解:根据题意可列表如下：
| 摸到的球 | 白1 | 白2 | 白3 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白1 | --- | 白2,白1 | 白3,白1 | 红,白1 |
| 白2 | 白1,白2 | --- | 白3,白2 | 红,白2 |
| 白3 | 白1,白3 | 白2,白3 | --- | 红,白3 |
| 红 | 白1,红 | 白2,红 | 白3,红 | --- |
根据表格可知,共有12种等可能的结果,其中摸到1个红球和1个白球的结果有6种,所以该班甲同学获得小马祈福挂件的概率为$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
(2) $\dfrac{1}{4}$

【分析】
要解决这道概率题，首先明确：(1)求甲同学获得挂件的概率，需先列出从3个白球和1个红球共4个球中摸2个球的所有等可能结果，再找出“1红1白”的结果数，根据概率公式计算；(2)甲、乙同学摸球是独立事件，两人都获得挂件的概率等于各自获得概率的乘积。
【解析】
(1) 将3个白球分别记为白1、白2、白3，红球记为红，列表如下：
| 摸到的球 | 白1 | 白2 | 白3 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白1 | --- | (白2,白1) | (白3,白1) | (红,白1) |
| 白2 | (白1,白2) | --- | (白3,白2) | (红,白2) |
| 白3 | (白1,白3) | (白2,白3) | --- | (红,白3) |
| 红 | (白1,红) | (白2,红) | (白3,红) | --- |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中摸到1个红球和1个白球的结果有6种，因此甲同学获得小马祈福挂件的概率为 $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
(2) 甲同学获得挂件的概率为$\frac{1}{2}$，乙同学摸球与甲独立，其获得挂件的概率也为$\frac{1}{2}$，所以甲、乙都获得挂件的概率为 $\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
概率的计算、独立事件的概率
【点评】
本题考查用列表法求等可能事件的概率以及独立事件概率的乘法，属于概率基础题型，需掌握列举所有等可能结果的方法，以及独立事件概率的计算规则，难度适中。
【难度系数】
0.6

6. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于五一期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球.若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小、质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球.若摸得的2个球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1) 求该顾客首次摸球中奖的概率.
(2) 假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.

6. 解:(1) 顾客首次摸球的所有可能结果为红,黄①,黄②,黄③,共4种等可能的结果,记“首次摸得红球”为事件A,则事件A发生的结果只有1种,所以$P(A)=\dfrac{1}{4}$,所以顾客首次摸球中奖的概率为$\dfrac{1}{4}$.
(2) 他应往袋中加入黄球.理由如下：
记往袋中加入的球为“新”,摸得的两球所有可能的结果列表如下：
| 第一次 \ 第二次 | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | --- | 红,黄① | 红,黄② | 红,黄③ | 红,新 |
| 黄① | 黄①,红 | --- | 黄①,黄② | 黄①,黄③ | 黄①,新 |
| 黄② | 黄②,红 | 黄②,黄① | --- | 黄②,黄③ | 黄②,新 |
| 黄③ | 黄③,红 | 黄③,黄① | 黄③,黄② | --- | 黄③,新 |
| 新 | 新,红 | 新,黄① | 新,黄② | 新,黄③ | --- |
共有20种等可能结果.
若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$;若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$.
因为$\dfrac{2}{5}＜\dfrac{3}{5}$,所以$P_1＜P_2$,所以他应往袋中加入黄球.

【分析】
第(1)问，首次摸球时袋中共有1个红球和3个黄球，共4个等可能的球，直接利用古典概型计算摸红球（中奖）的概率；第(2)问，首次未中奖后，需分加入红球、加入黄球两种情况，通过列举所有等可能的摸球结果，统计两次摸球颜色相同的结果数，计算对应概率，比较概率大小确定应加入的球的颜色。
【解析】
(1) 顾客首次摸球时，袋中共有1个红球、3个黄球，共4个等可能的结果，记“首次摸得红球（中奖）”为事件A，事件A包含1种结果，根据古典概型概率公式，$P(A)=\frac{1}{4}$，即首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 该顾客首次未中奖，此时袋中有1个红球、3个黄球，再加入1个球后共5个球，分两种情况计算两次摸球颜色相同的概率：
① 若加入红球：袋中有2个红球、3个黄球，不放回摸两次，所有等可能结果共20种，其中两球颜色相同的结果共8种，故概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；
② 若加入黄球：袋中有1个红球、4个黄球，不放回摸两次，所有等可能结果共20种，其中两球颜色相同的结果共12种，故概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，所以应往袋中加入黄球。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 应往袋中加入黄球，理由见解析。
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题结合实际抽奖场景考查古典概型的应用，需要学生掌握古典概型的计算方法，能通过分类讨论分析不同情况的概率，用列举法统计等可能结果，培养逻辑分析与概率计算能力，是基础概率应用题。
【难度系数】
0.5