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1.（2025 南京市联合体期中）一元二次方程
$x^{2}+2x-1=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
$x^{2}+2x-1=0$的根的情况是 （
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
1.A
解析
【分析】
这道题是判断一元二次方程根的情况，解题思路是利用一元二次方程根的判别式来判断。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况由判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。接下来确定题目中方程的$a$、$b$、$c$的值，计算判别式，再根据结果对应选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$。因为$\Delta = 8 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题，是初中数学核心知识点之一，只要掌握判别式的计算方法和根的情况判断规则，就能快速得出正确答案，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
这道题是判断一元二次方程根的情况，解题思路是利用一元二次方程根的判别式来判断。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况由判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。接下来确定题目中方程的$a$、$b$、$c$的值，计算判别式，再根据结果对应选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$。因为$\Delta = 8 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题，是初中数学核心知识点之一，只要掌握判别式的计算方法和根的情况判断规则，就能快速得出正确答案，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
2. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+$$3=0$有实数根,则整数$a$的最大值是（
A.2
B.1
C.0
D.$-1$
C
）A.2
B.1
C.0
D.$-1$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个核心条件：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，需满足根的判别式大于等于0。先根据这两个条件确定整数a的取值范围，再找出符合条件的最大整数a，对应选项即可。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：对于方程$(a-1)x^2 -2x +3=0$，是一元二次方程需满足二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$。
2. 利用根的判别式：一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$有实数根的条件是$\Delta = B^2 -4AC ≥0$。本题中$A=a-1$，$B=-2$，$C=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×(a-1)×3 = 4 -12(a-1)$
因为方程有实数根，所以$\Delta ≥0$，即：
$4 -12(a-1) ≥0$
化简不等式：
$4 -12a +12 ≥0$
$16 -12a ≥0$
$12a ≤16$
$a ≤ \frac{4}{3} ≈1.333$
3. 结合两个条件：$a≤1.333$且$a≠1$，那么整数a的可能取值为0，-1，-2……，其中最大的整数是0。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题时需注意两个易错点：一是不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件；二是正确计算判别式并解不等式，整体难度适中，需细心审题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确两个核心条件：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，需满足根的判别式大于等于0。先根据这两个条件确定整数a的取值范围，再找出符合条件的最大整数a，对应选项即可。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：对于方程$(a-1)x^2 -2x +3=0$，是一元二次方程需满足二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$。
2. 利用根的判别式：一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$有实数根的条件是$\Delta = B^2 -4AC ≥0$。本题中$A=a-1$，$B=-2$，$C=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×(a-1)×3 = 4 -12(a-1)$
因为方程有实数根，所以$\Delta ≥0$，即：
$4 -12(a-1) ≥0$
化简不等式：
$4 -12a +12 ≥0$
$16 -12a ≥0$
$12a ≤16$
$a ≤ \frac{4}{3} ≈1.333$
3. 结合两个条件：$a≤1.333$且$a≠1$，那么整数a的可能取值为0，-1，-2……，其中最大的整数是0。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题时需注意两个易错点：一是不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件；二是正确计算判别式并解不等式，整体难度适中，需细心审题。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+b+$ $2=0$ 有两个不相等的实数根,则一次函数$y=x+b$ 的图象一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.B 提示:根据题意,得$(-2)^{2}-4(b+2)＞0$,解得$b＜-1$,所以一次函数$y=x+b$的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，根据一元二次方程根的判别式，由“有两个不相等的实数根”求出参数$b$的取值范围；第二步，根据一次函数的系数符号判断其图象经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x + b +2 =0$，因为它有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta ＞0$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 -4×1×(b+2)=4 -4(b+2)$
令$\Delta ＞0$，即：
$4 -4(b+2) ＞0$
化简不等式：
$4 -4b -8 ＞0$
$-4b -4 ＞0$
移项得：$-4b ＞4$
两边同时除以$-4$（不等号方向改变）：$b ＜ -1$
对于一次函数$y=x+b$，一次项系数$k=1＞0$，函数图象从左到右上升，经过第一、三象限；又因为$b ＜ -1 ＜0$，函数图象与$y$轴交于负半轴，所以还经过第四象限。因此，该一次函数图象一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一次函数的图象性质
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与一次函数图象性质，考查基础知识点的综合应用，解题关键是先利用判别式求出参数范围，再判断一次函数象限，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，根据一元二次方程根的判别式，由“有两个不相等的实数根”求出参数$b$的取值范围；第二步，根据一次函数的系数符号判断其图象经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x + b +2 =0$，因为它有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta ＞0$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 -4×1×(b+2)=4 -4(b+2)$
令$\Delta ＞0$，即：
$4 -4(b+2) ＞0$
化简不等式：
$4 -4b -8 ＞0$
$-4b -4 ＞0$
移项得：$-4b ＞4$
两边同时除以$-4$（不等号方向改变）：$b ＜ -1$
对于一次函数$y=x+b$，一次项系数$k=1＞0$，函数图象从左到右上升，经过第一、三象限；又因为$b ＜ -1 ＜0$，函数图象与$y$轴交于负半轴，所以还经过第四象限。因此，该一次函数图象一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一次函数的图象性质
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与一次函数图象性质，考查基础知识点的综合应用，解题关键是先利用判别式求出参数范围，再判断一次函数象限，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
4. 定义新运算“$*$”: 对于任意实数$a,b$,都有$a*b=(a+b)(a-b)-1$,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算. 例如:$4*3=(4+3) × (4-3)-1=7-1=6$.若$x*k=x$($k$为实数)是关于$x$的方程,则它的根的情况为（
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
C
）A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
答案
4.C
解析
【分析】首先根据题目定义的新运算“*”，将方程中的“x*k”转化为常规代数式，整理得到一元二次方程的一般形式；再利用一元二次方程根的判别式，判断判别式的正负，进而确定方程根的情况，即可选出答案。
【解析】根据新运算“*”的定义，$a*b=(a+b)(a-b)-1$，则$x*k=(x+k)(x-k)-1$。
已知$x*k=x$，代入得：
$(x+k)(x-k)-1 = x$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - k^2 -1 = x$
即$x^2 - x - (k^2 +1) = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$，这里$a=1$，$b=-1$，$c=-(k^2+1)$，则：
$\Delta = (-1)^2 -4×1×[-(k^2+1)] =1 +4(k^2+1)=4k^2 +5$
因为$k$为实数，所以$k^2≥0$，则$4k^2 +5≥5＞0$，即$\Delta＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】定义新运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查定义新运算与一元二次方程根的判别式，解题关键是正确转化新运算为常规代数式，再通过判别式判断根的情况，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】根据新运算“*”的定义，$a*b=(a+b)(a-b)-1$，则$x*k=(x+k)(x-k)-1$。
已知$x*k=x$，代入得：
$(x+k)(x-k)-1 = x$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - k^2 -1 = x$
即$x^2 - x - (k^2 +1) = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$，这里$a=1$，$b=-1$，$c=-(k^2+1)$，则：
$\Delta = (-1)^2 -4×1×[-(k^2+1)] =1 +4(k^2+1)=4k^2 +5$
因为$k$为实数，所以$k^2≥0$，则$4k^2 +5≥5＞0$，即$\Delta＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】定义新运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查定义新运算与一元二次方程根的判别式，解题关键是正确转化新运算为常规代数式，再通过判别式判断根的情况，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
5. (2024 连云港市中考)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-x+c=0$有两个相等的实数根，则$c$的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
5.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程是$x^2 - x + c = 0$，先确定$a=1$，$b=-1$，结合方程有两个相等实根的条件，令判别式等于0，代入计算即可求出$c$的值。
【解析】
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + c = 0$有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中$a=1$，$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×1×c = 0$
计算得：$1 - 4c = 0$
解得：$c = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于中考基础题，只要牢记判别式与根的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程是$x^2 - x + c = 0$，先确定$a=1$，$b=-1$，结合方程有两个相等实根的条件，令判别式等于0，代入计算即可求出$c$的值。
【解析】
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + c = 0$有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中$a=1$，$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×1×c = 0$
计算得：$1 - 4c = 0$
解得：$c = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于中考基础题，只要牢记判别式与根的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. (2024 南通市中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+k=0$有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的$k$的值:
$-1$(答案不唯一)
.答案
6.$-1$(答案不唯一) 提示:因为关于x的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根,所以$(-2)^2-4k=4-4k＞0$,解得$k＜1$.
解析
【分析】首先，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta =b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题中方程$x^2-2x+k=0$是一元二次方程，要满足有两个不相等的实数根，需让判别式$\Delta＞0$，代入系数计算后得到$k$的取值范围，再在该范围内任选一个数即可。
【解析】解：
∵一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×k ＞ 0$，
即$4 - 4k ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ -4$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得$k ＜ 1$，
∴取$k=-1$（答案不唯一，只要$k＜1$即可）。
【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题是基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，确定参数$k$的取值范围后即可选取符合条件的值，难度较低，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×k ＞ 0$，
即$4 - 4k ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ -4$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得$k ＜ 1$，
∴取$k=-1$（答案不唯一，只要$k＜1$即可）。
【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题是基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，确定参数$k$的取值范围后即可选取符合条件的值，难度较低，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.8
7. 已知 $a,b,c$ 是 $△ ABC$ 三条边的长，则关于
$x$ 的方程 $cx^{2}+(a+b)x+\dfrac{c}{4}=0$ 的根的情况是
$x$ 的方程 $cx^{2}+(a+b)x+\dfrac{c}{4}=0$ 的根的情况是
有两个不相等的实数根
.答案
7.有两个不相等的实数根 提示:因为a,b,c是$△ ABC$三条边的长,所以$a+b＞0,c＞0,a+b-c＞0$,所以$(a+b)^2＞c^2$.因为$(a+b)^2-4c×\frac{c}{4}=(a+b)^2-c^2＞0$,所以原方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式；已知a,b,c是三角形三边，需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）推导判别式的符号，进而确定根的情况。首先确认方程为一元二次方程（c≠0），再计算判别式，结合三边关系判断其正负即可。
【解析】因为a,b,c是△ABC的三条边长，所以c＞0，a+b＞0，且根据三角形三边关系，a+b＞c。对于方程$cx^{2}+(a+b)x+\dfrac{c}{4}=0$，其判别式$\Delta=(a+b)^2 - 4· c· \dfrac{c}{4}=(a+b)^2 - c^2$。由$a+b＞c＞0$，可得$(a+b)^2＞c^2$，因此$\Delta=(a+b)^2 - c^2＞0$，故原方程有两个不相等的实数根。
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】本题综合考查三角形三边关系与一元二次方程根的判别式，核心是利用三角形两边之和大于第三边推导判别式的符号，属于基础综合题，需掌握两个知识点的关联应用。
【难度系数】0.5
【解析】因为a,b,c是△ABC的三条边长，所以c＞0，a+b＞0，且根据三角形三边关系，a+b＞c。对于方程$cx^{2}+(a+b)x+\dfrac{c}{4}=0$，其判别式$\Delta=(a+b)^2 - 4· c· \dfrac{c}{4}=(a+b)^2 - c^2$。由$a+b＞c＞0$，可得$(a+b)^2＞c^2$，因此$\Delta=(a+b)^2 - c^2＞0$，故原方程有两个不相等的实数根。
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】本题综合考查三角形三边关系与一元二次方程根的判别式，核心是利用三角形两边之和大于第三边推导判别式的符号，属于基础综合题，需掌握两个知识点的关联应用。
【难度系数】0.5
8. (2024 常州市期中) 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-$ $4x+2(m+1)=0$ 有两个实数根.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 当 $m$ 为正整数时,求此时方程的根.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 当 $m$ 为正整数时,求此时方程的根.
答案
解:(1) 因为关于x的方程$x^2-4x+2(m+1)=0$有两个实数根,所以$(-4)^2-4×1×2(m+1)≥0$,解得$m≤1$.
(2) 由(1)可知,$m≤1$.因为m为正整数,所以$m=1$.所以原方程为$x^2-4x+4=0$,解得$x_1=x_2=2$.
(2) 由(1)可知,$m≤1$.因为m为正整数,所以$m=1$.所以原方程为$x^2-4x+4=0$,解得$x_1=x_2=2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，据此可求出$m$的取值范围；再根据$m$为正整数的条件确定$m$的具体值，代入原方程后求解方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 4x + 2(m+1)=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=2(m+1)$。因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$(-4)^2 - 4 × 1 × 2(m+1) ≥ 0$
计算得：
$16 - 8(m+1) ≥ 0 \\16 - 8m -8 ≥ 0 \\8 -8m ≥0 \\8m ≤8 \m ≤1$
(2) 由(1)知$m ≤1$，又因为$m$为正整数，所以$m=1$。将$m=1$代入原方程得：
$x^2 -4x +2(1+1)=0 \x^2 -4x +4=0$
该方程可化为完全平方形式：$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$。
【答案】
(1) $m ≤1$；(2) $x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查根的判别式的应用，以及根据参数范围确定参数值后求解方程，难度较低，只要掌握判别式与根的关系、一元二次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，据此可求出$m$的取值范围；再根据$m$为正整数的条件确定$m$的具体值，代入原方程后求解方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 4x + 2(m+1)=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=2(m+1)$。因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$(-4)^2 - 4 × 1 × 2(m+1) ≥ 0$
计算得：
$16 - 8(m+1) ≥ 0 \\16 - 8m -8 ≥ 0 \\8 -8m ≥0 \\8m ≤8 \m ≤1$
(2) 由(1)知$m ≤1$，又因为$m$为正整数，所以$m=1$。将$m=1$代入原方程得：
$x^2 -4x +2(1+1)=0 \x^2 -4x +4=0$
该方程可化为完全平方形式：$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$。
【答案】
(1) $m ≤1$；(2) $x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查根的判别式的应用，以及根据参数范围确定参数值后求解方程，难度较低，只要掌握判别式与根的关系、一元二次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于 $x$ 的方程 $(a-1)x^2+2x+a-1=0$.
(1) 若该方程有一个根为 $x=2$,求 $a$ 的值及方程的另一个根.
(2) 若该方程有实数根,求 $a$ 的取值范围.
(1) 若该方程有一个根为 $x=2$,求 $a$ 的值及方程的另一个根.
(2) 若该方程有实数根,求 $a$ 的取值范围.
答案
解:(1) 将$x=2$代入方程$(a-1)x^2+2x+a-1=0$,得$4(a-1)+4+a-1=0$,解得$a=\frac{1}{5}$.将$a=\frac{1}{5}$代入原方程,得$-\frac{4}{5}x^2+2x-\frac{4}{5}=0$,解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$.所以a的值为$\frac{1}{5}$,方程的另一个根为$\frac{1}{2}$.
(2) ①当$a=1$时,方程为$2x=0$,解得$x=0$,满足题意.
②当$a≠1$时,由方程有实数根,得$4-4(a-1)^2≥0$.整理,得$a(a-2)≤0$.若$a≤0$,则$a-2≥0$,所以$a≥2$,此时不等式无解;若$a≥0$,则$a-2≤0$,解得$0≤ a≤2$,因为$a≠1$,所以$0≤ a≤2$且$a≠1$.
综上所述,若该方程有实数根,则a的取值范围为$0≤ a≤2$.
(2) ①当$a=1$时,方程为$2x=0$,解得$x=0$,满足题意.
②当$a≠1$时,由方程有实数根,得$4-4(a-1)^2≥0$.整理,得$a(a-2)≤0$.若$a≤0$,则$a-2≥0$,所以$a≥2$,此时不等式无解;若$a≥0$,则$a-2≤0$,解得$0≤ a≤2$,因为$a≠1$,所以$0≤ a≤2$且$a≠1$.
综上所述,若该方程有实数根,则a的取值范围为$0≤ a≤2$.
解析
【分析】
第(1)问，已知方程的一个根，将该根代入原方程可求出参数$a$的值，再将$a$代入原方程求解，即可得到另一个根；第(2)问，方程有实数根时，需分情况讨论方程类型：当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，一定有实根；当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式$\Delta≥0$求解参数范围，最后综合两种情况得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=2$代入方程$(a-1)x^2+2x+a-1=0$，得：
$4(a-1)+4+a-1=0$，
化简得$5a -1=0$，解得$a=\frac{1}{5}$。
将$a=\frac{1}{5}$代入原方程，得：
$-\frac{4}{5}x^2 +2x -\frac{4}{5}=0$，
两边同乘$-5$得$4x^2 -10x +4=0$，化简为$2x^2 -5x +2=0$，
因式分解得$(2x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，
故方程的另一个根为$\frac{1}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a=1$时，原方程变为$2x=0$，解得$x=0$，有实数根，符合题意；
② 当$a≠1$时，原方程为一元二次方程，由方程有实数根，得判别式$\Delta=2^2 -4(a-1)(a-1)≥0$，
即$4 -4(a-1)^2≥0$，化简得$a(a-2)≤0$，
解得$0≤a≤2$，又$a≠1$，故$0≤a≤2$且$a≠1$。
综合①②，若方程有实数根，则$a$的取值范围为$0≤a≤2$。
【答案】
(1) $a$的值为$\frac{1}{5}$，方程的另一个根为$\frac{1}{2}$；(2) $a$的取值范围为$0≤a≤2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的根与根的判别式，解题关键是分情况讨论二次项系数是否为0，避免忽略一元一次方程的特殊情况，需熟练掌握判别式的应用及不等式的求解。
【难度系数】
0.5
第(1)问，已知方程的一个根，将该根代入原方程可求出参数$a$的值，再将$a$代入原方程求解，即可得到另一个根；第(2)问，方程有实数根时，需分情况讨论方程类型：当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，一定有实根；当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式$\Delta≥0$求解参数范围，最后综合两种情况得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=2$代入方程$(a-1)x^2+2x+a-1=0$，得：
$4(a-1)+4+a-1=0$，
化简得$5a -1=0$，解得$a=\frac{1}{5}$。
将$a=\frac{1}{5}$代入原方程，得：
$-\frac{4}{5}x^2 +2x -\frac{4}{5}=0$，
两边同乘$-5$得$4x^2 -10x +4=0$，化简为$2x^2 -5x +2=0$，
因式分解得$(2x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，
故方程的另一个根为$\frac{1}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a=1$时，原方程变为$2x=0$，解得$x=0$，有实数根，符合题意；
② 当$a≠1$时，原方程为一元二次方程，由方程有实数根，得判别式$\Delta=2^2 -4(a-1)(a-1)≥0$，
即$4 -4(a-1)^2≥0$，化简得$a(a-2)≤0$，
解得$0≤a≤2$，又$a≠1$，故$0≤a≤2$且$a≠1$。
综合①②，若方程有实数根，则$a$的取值范围为$0≤a≤2$。
【答案】
(1) $a$的值为$\frac{1}{5}$，方程的另一个根为$\frac{1}{2}$；(2) $a$的取值范围为$0≤a≤2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的根与根的判别式，解题关键是分情况讨论二次项系数是否为0，避免忽略一元一次方程的特殊情况，需熟练掌握判别式的应用及不等式的求解。
【难度系数】
0.5
