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1. 若关于 $x$ 的方程 $kx^2+2x-1=0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是 （
A.$k＞-1$
B.$k≥-1$
C.$k＞-1$ 且 $k≠0$
D.$k≥-1$ 且 $k≠0$
B
）A.$k＞-1$
B.$k≥-1$
C.$k＞-1$ 且 $k≠0$
D.$k≥-1$ 且 $k≠0$
答案
1.B
解析
【分析】
要确定方程$kx^2+2x-1=0$有实数根时$k$的取值范围，需先明确方程的类型：当$k=0$时，方程为一元一次方程；当$k≠0$时，方程为一元二次方程，需分两种情况讨论，避免直接按一元二次方程求解导致漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$2x -1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，一元二次方程有实数根需满足判别式$\Delta≥0$，其中$\Delta=b^2-4ac$，这里$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=2^2 -4×k×(-1)=4 +4k ≥0$，
解得$k≥-1$，且$k≠0$；
综合两种情况，$k$的取值范围是$k≥-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的根、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易因忽略$k=0$的情况，直接将方程视为一元二次方程，错选D，需掌握分类讨论思想，明确方程类型的判断依据，结合根的判别式求解，是基础易错题。
【难度系数】
0.4
要确定方程$kx^2+2x-1=0$有实数根时$k$的取值范围，需先明确方程的类型：当$k=0$时，方程为一元一次方程；当$k≠0$时，方程为一元二次方程，需分两种情况讨论，避免直接按一元二次方程求解导致漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$2x -1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，一元二次方程有实数根需满足判别式$\Delta≥0$，其中$\Delta=b^2-4ac$，这里$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=2^2 -4×k×(-1)=4 +4k ≥0$，
解得$k≥-1$，且$k≠0$；
综合两种情况，$k$的取值范围是$k≥-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的根、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易因忽略$k=0$的情况，直接将方程视为一元二次方程，错选D，需掌握分类讨论思想，明确方程类型的判断依据，结合根的判别式求解，是基础易错题。
【难度系数】
0.4
2. (2025 南京市建邺区期中)对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$($a,b,c$ 为常数,且 $a ≠$0),有下列条件: ① $ac＜0$; ② $abc＞0$;③$2a-b+c=0$. 若只添加一个条件就可以判定方程有实数根,则所有正确条件的序号是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2.B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确一元二次方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$（其中$a≠0$）。接下来分别分析三个条件，结合判别式公式，通过代数变形或举反例判断每个条件是否能使$\Delta ≥ 0$，进而确定符合要求的条件序号。
【解析】
一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，逐一分析各条件：
1. 条件①：$ac＜0$
因为$ac＜0$，所以$-4ac＞0$，又$b^2 ≥ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 + (-4ac) ＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
2. 条件②：$abc＞0$
举反例：取$a=1$，$b=1$，$c=1$，此时$abc=1×1×1=1＞0$，但$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3＜0$，方程无实数根，不符合要求。
3. 条件③：$2a - b + c = 0$，即$c = b - 2a$
将$c = b - 2a$代入判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4a(b - 2a) = b^2 - 4ab + 8a^2 = (b - 2a)^2 + 4a^2$
因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$(b - 2a)^2 ≥ 0$，因此$\Delta = (b - 2a)^2 + 4a^2 ＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
综上，符合要求的条件是①和③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是利用判别式的性质，结合给定条件分析判别式的符号，需掌握代数变形和举反例的方法，属于期中常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确一元二次方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$（其中$a≠0$）。接下来分别分析三个条件，结合判别式公式，通过代数变形或举反例判断每个条件是否能使$\Delta ≥ 0$，进而确定符合要求的条件序号。
【解析】
一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，逐一分析各条件：
1. 条件①：$ac＜0$
因为$ac＜0$，所以$-4ac＞0$，又$b^2 ≥ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 + (-4ac) ＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
2. 条件②：$abc＞0$
举反例：取$a=1$，$b=1$，$c=1$，此时$abc=1×1×1=1＞0$，但$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3＜0$，方程无实数根，不符合要求。
3. 条件③：$2a - b + c = 0$，即$c = b - 2a$
将$c = b - 2a$代入判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4a(b - 2a) = b^2 - 4ab + 8a^2 = (b - 2a)^2 + 4a^2$
因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，又$(b - 2a)^2 ≥ 0$，因此$\Delta = (b - 2a)^2 + 4a^2 ＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
综上，符合要求的条件是①和③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是利用判别式的性质，结合给定条件分析判别式的符号，需掌握代数变形和举反例的方法，属于期中常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.5
3. 已知关于$x$的方程$(a+3)x=10$有正整数解,且关于$y$的一元二次方程$y^{2}-3y+$$a-1=0$有两个实数根,则所有符合条件的整数$a$有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3.B 提示:解关于x的方程$(a+3)x=10$,得$x=\frac{10}{a+3}$.因为该方程有正整数解,所以整数a的值为-2,-1,2,7.因为关于y的一元二次方程$y^2-3y+a-1=0$有两个实数根,所以$(-3)^2-4(a-1)≥0$,解得$a≤\frac{13}{4}$.所以符合条件的整数a的值为-2,-1,2,共3个.
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步分析：第一步，根据关于x的一元一次方程有正整数解，确定整数a的可能取值；第二步，根据关于y的一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式确定a的取值范围，再结合第一步的结果筛选出符合条件的整数a，最后统计个数即可。
【解析】
1. 处理关于x的方程：
解方程$(a+3)x=10$，得$x=\frac{10}{a+3}$。
因为方程有正整数解，所以$a+3$是10的正因数，10的正因数为1、2、5、10，因此：
当$a+3=1$时，$a=-2$；
当$a+3=2$时，$a=-1$；
当$a+3=5$时，$a=2$；
当$a+3=10$时，$a=7$；
即整数a的可能值为：-2、-1、2、7。
2. 处理关于y的一元二次方程：
方程$y^2 - 3y + a -1=0$是一元二次方程，有两个实数根，需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(a-1) = 9 -4(a-1) =13 -4a ≥0$，
解得$a ≤ \frac{13}{4}=3.25$。
3. 筛选符合条件的a：
结合上述结果，在-2、-1、2、7中，满足$a ≤3.25$的整数为-2、-1、2，共3个，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、整数解问题
【点评】
本题综合考查一元一次方程的正整数解和一元二次方程根的判别式，解题关键是分别根据两个方程的条件确定a的取值范围，再取交集筛选符合条件的整数，需注意一元二次方程根的判别式的应用规则，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分两步分析：第一步，根据关于x的一元一次方程有正整数解，确定整数a的可能取值；第二步，根据关于y的一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式确定a的取值范围，再结合第一步的结果筛选出符合条件的整数a，最后统计个数即可。
【解析】
1. 处理关于x的方程：
解方程$(a+3)x=10$，得$x=\frac{10}{a+3}$。
因为方程有正整数解，所以$a+3$是10的正因数，10的正因数为1、2、5、10，因此：
当$a+3=1$时，$a=-2$；
当$a+3=2$时，$a=-1$；
当$a+3=5$时，$a=2$；
当$a+3=10$时，$a=7$；
即整数a的可能值为：-2、-1、2、7。
2. 处理关于y的一元二次方程：
方程$y^2 - 3y + a -1=0$是一元二次方程，有两个实数根，需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(a-1) = 9 -4(a-1) =13 -4a ≥0$，
解得$a ≤ \frac{13}{4}=3.25$。
3. 筛选符合条件的a：
结合上述结果，在-2、-1、2、7中，满足$a ≤3.25$的整数为-2、-1、2，共3个，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、整数解问题
【点评】
本题综合考查一元一次方程的正整数解和一元二次方程根的判别式，解题关键是分别根据两个方程的条件确定a的取值范围，再取交集筛选符合条件的整数，需注意一元二次方程根的判别式的应用规则，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 对于函数 $y = x^{n} + x^{m}$，我们定义 $y' =$
$nx^{n-1} + mx^{m-1}$（$m,n$ 为常数）. 例如：$y =$
$x^{4} + x^{2}$，则 $y' = 4x^{3} + 2x$. 已知 $y = \dfrac{1}{3}x^{3} +$
$(m-1)x^{2} + m^{2}x$，若方程 $y' = 0$ 有两个相
等的实数根，则 $m$ 的值为
$nx^{n-1} + mx^{m-1}$（$m,n$ 为常数）. 例如：$y =$
$x^{4} + x^{2}$，则 $y' = 4x^{3} + 2x$. 已知 $y = \dfrac{1}{3}x^{3} +$
$(m-1)x^{2} + m^{2}x$，若方程 $y' = 0$ 有两个相
等的实数根，则 $m$ 的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
4.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】首先根据题目给出的新定义求函数$y$的导数$y'$，得到关于$x$的一元二次方程；再利用一元二次方程有两个相等实数根的条件（判别式$\Delta=0$），代入系数计算求解$m$的值。
【解析】
1. 求导数$y'$：
根据题目定义，对函数$ y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + m^2x $逐项求导：
第一项$\dfrac{1}{3}x^3$的导数：$3 × \dfrac{1}{3}x^{3-1} = x^2$；
第二项$(m-1)x^2$的导数：$2 × (m-1)x^{2-1} = 2(m-1)x$；
第三项$m^2x$的导数：$1 × m^2x^{1-1} = m^2$；
因此，$ y' = x^2 + 2(m-1)x + m^2 $。
2. 利用方程有两个相等实根的条件求解$m$：
方程$ y' = 0 $即$ x^2 + 2(m-1)x + m^2 = 0 $，该一元二次方程有两个相等实数根，故判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m-1)]^2 - 4 × 1 × m^2 \\&= 4(m^2 - 2m +1) -4m^2 \\&=4m^2 -8m +4 -4m^2 \\&=-8m +4\end{aligned}$
令$\Delta=0$，则$-8m +4=0$，解得$m=\dfrac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程判别式、新定义运算
【点评】本题结合新定义的导数运算，考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是正确根据新定义求出导数，再利用判别式为0建立方程求解，属于基础综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 求导数$y'$：
根据题目定义，对函数$ y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + m^2x $逐项求导：
第一项$\dfrac{1}{3}x^3$的导数：$3 × \dfrac{1}{3}x^{3-1} = x^2$；
第二项$(m-1)x^2$的导数：$2 × (m-1)x^{2-1} = 2(m-1)x$；
第三项$m^2x$的导数：$1 × m^2x^{1-1} = m^2$；
因此，$ y' = x^2 + 2(m-1)x + m^2 $。
2. 利用方程有两个相等实根的条件求解$m$：
方程$ y' = 0 $即$ x^2 + 2(m-1)x + m^2 = 0 $，该一元二次方程有两个相等实数根，故判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m-1)]^2 - 4 × 1 × m^2 \\&= 4(m^2 - 2m +1) -4m^2 \\&=4m^2 -8m +4 -4m^2 \\&=-8m +4\end{aligned}$
令$\Delta=0$，则$-8m +4=0$，解得$m=\dfrac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程判别式、新定义运算
【点评】本题结合新定义的导数运算，考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是正确根据新定义求出导数，再利用判别式为0建立方程求解，属于基础综合题。
【难度系数】0.5
5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2\sqrt{2}mx+$
$m^{2}+m-1+k=0$($m,k$ 为常数)有两个相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是
$m^{2}+m-1+k=0$($m,k$ 为常数)有两个相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是
$k≥\frac{3}{4}$
.答案
5.$k≥\frac{3}{4}$ 提示:因为关于x的一元二次方程$x^2-2\sqrt{2}mx+m^2+m-1+k=0$有两个相等的实数根,所以$(-2\sqrt{2}m)^2-4(m^2+m-1+k)=0$,所以$m^2-m+1-k=0$.因为$m^2-m+1-k=0$有解,所以$(-1)^2-4(1-k)≥0$,所以$k≥\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两步运用一元二次方程根的判别式：首先，一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式Δ=0，据此得到关于m和k的等式；其次，该等式是关于m的一元二次方程，需有实数解，因此再次利用根的判别式，即可求出k的取值范围。
【解析】
解：因为关于x的一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{2}mx + m^2 + m -1 +k=0$有两个相等的实数根，所以根的判别式$\Delta=0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2\sqrt{2}m)^2 -4×1×(m^2 + m -1 +k)\\&=8m^2 -4(m^2 + m -1 +k)\\&=8m^2 -4m^2 -4m +4 -4k\\&=4m^2 -4m +4 -4k\end{aligned}$
令$\Delta=0$，两边同除以4得：$m^2 -m +1 -k=0$。
该方程是关于m的一元二次方程，且有实数解，因此其判别式$\Delta'≥0$：
$\begin{aligned}\Delta'&=(-1)^2 -4×1×(1 -k)\\&=1 -4 +4k\\&=4k -3\end{aligned}$
令$\Delta'≥0$，即$4k -3≥0$，解得$k≥\frac{3}{4}$。
【答案】
$k≥\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是两次运用判别式条件：一次针对原方程的等根条件，一次针对关于m的方程的有解条件，需注意计算时的化简准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需分两步运用一元二次方程根的判别式：首先，一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式Δ=0，据此得到关于m和k的等式；其次，该等式是关于m的一元二次方程，需有实数解，因此再次利用根的判别式，即可求出k的取值范围。
【解析】
解：因为关于x的一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{2}mx + m^2 + m -1 +k=0$有两个相等的实数根，所以根的判别式$\Delta=0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2\sqrt{2}m)^2 -4×1×(m^2 + m -1 +k)\\&=8m^2 -4(m^2 + m -1 +k)\\&=8m^2 -4m^2 -4m +4 -4k\\&=4m^2 -4m +4 -4k\end{aligned}$
令$\Delta=0$，两边同除以4得：$m^2 -m +1 -k=0$。
该方程是关于m的一元二次方程，且有实数解，因此其判别式$\Delta'≥0$：
$\begin{aligned}\Delta'&=(-1)^2 -4×1×(1 -k)\\&=1 -4 +4k\\&=4k -3\end{aligned}$
令$\Delta'≥0$，即$4k -3≥0$，解得$k≥\frac{3}{4}$。
【答案】
$k≥\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是两次运用判别式条件：一次针对原方程的等根条件，一次针对关于m的方程的有解条件，需注意计算时的化简准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.5
6. (2024 盐城市东台市期中)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-x-(m+2)=0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 若 $m$ 为符合条件的最小整数,求此方程的根.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 若 $m$ 为符合条件的最小整数,求此方程的根.
答案
解:(1) 因为关于x的方程$x^2-x-(m+2)=0$有两个不相等的实数根,所以$1+4(m+2)=9+4m＞0$,解得$m＞-\frac{9}{4}$.
(2) 因为m为符合条件的最小整数,所以$m=-2$.此时原方程为$x^2-x=0$,解得$x_1=0,x_2=1$.
(2) 因为m为符合条件的最小整数,所以$m=-2$.此时原方程为$x^2-x=0$,解得$x_1=0,x_2=1$.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。第(1)问先确定方程的$a、b、c$，计算判别式并令其大于0，解不等式得$m$的取值范围；第(2)问在$m$的取值范围内找最小整数，代入原方程后用因式分解法解方程求根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - (m+2)=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-(m+2)$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×[-(m+2)] = 1 + 4(m+2) = 9 + 4m$
令$9 + 4m ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 由第(1)问知$m ＞ -\frac{9}{4}$，符合条件的最小整数为$-2$。
将$m=-2$代入原方程，得：
$x^2 - x - (-2 + 2) = x^2 - x = 0$
因式分解得$x(x - 1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $m ＞ -\frac{9}{4}$；(2) $x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用及简单一元二次方程的求解，属于基础题型，需牢记判别式与根的关系，准确计算判别式、解不等式，再代入求解方程即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。第(1)问先确定方程的$a、b、c$，计算判别式并令其大于0，解不等式得$m$的取值范围；第(2)问在$m$的取值范围内找最小整数，代入原方程后用因式分解法解方程求根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - (m+2)=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-(m+2)$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×[-(m+2)] = 1 + 4(m+2) = 9 + 4m$
令$9 + 4m ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 由第(1)问知$m ＞ -\frac{9}{4}$，符合条件的最小整数为$-2$。
将$m=-2$代入原方程，得：
$x^2 - x - (-2 + 2) = x^2 - x = 0$
因式分解得$x(x - 1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $m ＞ -\frac{9}{4}$；(2) $x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用及简单一元二次方程的求解，属于基础题型，需牢记判别式与根的关系，准确计算判别式、解不等式，再代入求解方程即可。
【难度系数】
0.7
7. (2025 南京市秦淮区期中)将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调,得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”.
(1) 写出方程 $2x^{2}-3x+1=0$ 的逆方程.
(2) 已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根,求证:其逆方程也没有实数根.
(1) 写出方程 $2x^{2}-3x+1=0$ 的逆方程.
(2) 已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根,求证:其逆方程也没有实数根.
答案
(1) 解:$x^2-3x+2=0$.
(2) 证明:设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0)$.因为它没有实数根,所以它的根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$.
又根据题意,它的逆方程为$cx^2+bx+a=0$.其根的判别式$\Delta=b^2-4ca=b^2-4ac＜0$,所以方程$cx^2+bx+a=0$也没有实数根.
(2) 证明:设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0)$.因为它没有实数根,所以它的根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$.
又根据题意,它的逆方程为$cx^2+bx+a=0$.其根的判别式$\Delta=b^2-4ca=b^2-4ac＜0$,所以方程$cx^2+bx+a=0$也没有实数根.
解析
【分析】首先明确“逆方程”的定义：将原一元二次方程的二次项系数与常数项对调得到的新方程。第(1)问直接根据定义对调原方程的二次项系数和常数项即可；第(2)问需利用一元二次方程根的判别式，先设原方程，根据原方程无实根得判别式小于0，再写出逆方程，计算逆方程的判别式，发现其与原方程判别式相同，从而证明逆方程也无实根。
【解析】(1) 根据“逆方程”的定义，原方程$2x^2 -3x +1=0$的二次项系数为2，常数项为1，对调后得到的逆方程为$x^2 -3x +2=0$。(2) 设该一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0$（$a≠0$，$c≠0$），因为它没有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ＜0$。其逆方程为$cx^2 +bx +a=0$，该方程的根的判别式$\Delta' = b^2 -4ca = b^2 -4ac$，由于$b^2 -4ac ＜0$，所以$\Delta' ＜0$，因此逆方程也没有实数根。
【答案】(1) $x^2 -3x +2=0$；(2) 证明：设该一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0(a≠0,c≠0)$，因为它没有实数根，所以$\Delta = b^2 -4ac ＜0$。其逆方程为$cx^2 +bx +a=0$，该方程的判别式$\Delta' = b^2 -4ca = b^2 -4ac ＜0$，故逆方程也没有实数根。
【知识点】一元二次方程定义、根的判别式
【点评】本题为新定义题型，考查对“逆方程”定义的理解及一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确把握定义，熟练运用判别式判断方程根的情况，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 根据“逆方程”的定义，原方程$2x^2 -3x +1=0$的二次项系数为2，常数项为1，对调后得到的逆方程为$x^2 -3x +2=0$。(2) 设该一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0$（$a≠0$，$c≠0$），因为它没有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ＜0$。其逆方程为$cx^2 +bx +a=0$，该方程的根的判别式$\Delta' = b^2 -4ca = b^2 -4ac$，由于$b^2 -4ac ＜0$，所以$\Delta' ＜0$，因此逆方程也没有实数根。
【答案】(1) $x^2 -3x +2=0$；(2) 证明：设该一元二次方程为$ax^2 +bx +c=0(a≠0,c≠0)$，因为它没有实数根，所以$\Delta = b^2 -4ac ＜0$。其逆方程为$cx^2 +bx +a=0$，该方程的判别式$\Delta' = b^2 -4ca = b^2 -4ac ＜0$，故逆方程也没有实数根。
【知识点】一元二次方程定义、根的判别式
【点评】本题为新定义题型，考查对“逆方程”定义的理解及一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确把握定义，熟练运用判别式判断方程根的情况，难度适中。
【难度系数】0.6
8. (2024 无锡市宜兴市期中)已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2kx+k=0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$k$的取值范围.
(2) 若整数$k＜5$,且两个实数根中有一个根是整数,求$k$的值.
(1) 求$k$的取值范围.
(2) 若整数$k＜5$,且两个实数根中有一个根是整数,求$k$的值.
答案
解:(1) 因为关于x的一元二次方程$(k-1)x^2-2kx+k=0$有两个不相等的实数根,所以$(-2k)^2-4(k-1)＞0$且$k-1≠0$,解得$k＞0$且$k≠1$.
(2) 由(1)得$k＞0$且$k≠1$.又因为$k＜5$,且k为整数,所以$k=2$或$k=3$或$k=4$.
当$k=2$时,原方程为$x^2-4x+2=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=3$时,原方程为$2x^2-6x+3=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=4$时,原方程为$3x^2-8x+4=0$,此方程的两根分别为2和$\frac{2}{3}$,故符合题意.所以k的值为4.
(2) 由(1)得$k＞0$且$k≠1$.又因为$k＜5$,且k为整数,所以$k=2$或$k=3$或$k=4$.
当$k=2$时,原方程为$x^2-4x+2=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=3$时,原方程为$2x^2-6x+3=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=4$时,原方程为$3x^2-8x+4=0$,此方程的两根分别为2和$\frac{2}{3}$,故符合题意.所以k的值为4.
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：(1) 对于一元二次方程有两个不相等的实数根，需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0（保证是一元二次方程），二是判别式Δ＞0，据此可求出k的取值范围；(2) 在(1)确定的k范围内，结合k是整数且小于5的条件，找出可能的k值，再将每个k代入原方程，判断方程是否存在整数根，进而确定符合要求的k值。
【解析】
(1) 因为方程$(k-1)x^2 - 2kx + k = 0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，所以：
① 二次项系数不为0：$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$；
② 判别式$\Delta ＞ 0$：$\Delta = (-2k)^2 - 4(k - 1)k = 4k^2 - 4k^2 + 4k = 4k$，令$\Delta ＞ 0$，得$4k ＞ 0$，即$k ＞ 0$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 0$且$k ≠ 1$。
(2) 由(1)知$k ＞ 0$且$k ≠ 1$，又整数$k ＜ 5$，所以$k$的可能值为2、3、4。
当$k = 2$时，原方程为$x^2 - 4x + 2 = 0$，解得$x = 2 ± \sqrt{2}$，两根均不是整数，不符合题意；
当$k = 3$时，原方程为$2x^2 - 6x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3 ± \sqrt{3}}{2}$，两根均不是整数，不符合题意；
当$k = 4$时，原方程为$3x^2 - 8x + 4 = 0$，因式分解得$(3x - 2)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{2}{3}$，存在整数根，符合题意。
故$k$的值为4。
【答案】
(1) $k ＞ 0$且$k ≠ 1$；(2) $k = 4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏；筛选整数k值后，需准确计算方程的根来判断是否符合要求，整体难度适中，属于期中常考题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分两步思考：(1) 对于一元二次方程有两个不相等的实数根，需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0（保证是一元二次方程），二是判别式Δ＞0，据此可求出k的取值范围；(2) 在(1)确定的k范围内，结合k是整数且小于5的条件，找出可能的k值，再将每个k代入原方程，判断方程是否存在整数根，进而确定符合要求的k值。
【解析】
(1) 因为方程$(k-1)x^2 - 2kx + k = 0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，所以：
① 二次项系数不为0：$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$；
② 判别式$\Delta ＞ 0$：$\Delta = (-2k)^2 - 4(k - 1)k = 4k^2 - 4k^2 + 4k = 4k$，令$\Delta ＞ 0$，得$4k ＞ 0$，即$k ＞ 0$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 0$且$k ≠ 1$。
(2) 由(1)知$k ＞ 0$且$k ≠ 1$，又整数$k ＜ 5$，所以$k$的可能值为2、3、4。
当$k = 2$时，原方程为$x^2 - 4x + 2 = 0$，解得$x = 2 ± \sqrt{2}$，两根均不是整数，不符合题意；
当$k = 3$时，原方程为$2x^2 - 6x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3 ± \sqrt{3}}{2}$，两根均不是整数，不符合题意；
当$k = 4$时，原方程为$3x^2 - 8x + 4 = 0$，因式分解得$(3x - 2)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{2}{3}$，存在整数根，符合题意。
故$k$的值为4。
【答案】
(1) $k ＞ 0$且$k ≠ 1$；(2) $k = 4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏；筛选整数k值后，需准确计算方程的根来判断是否符合要求，整体难度适中，属于期中常考题型。
【难度系数】
0.6
