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3. 对于实数$a,b$，定义：$a*b=a+b,a\#b=ab$。若$x＞0$，且满足$(1*x)\#(1\#x)=1$，则$x=$
4. 若方程$x^{2}+mx+1=0$和$x^{2}+x+m=0$有公共根，则常数$m$的值是
5. 【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程。
【观察与分析】
小张在解方程$x^{2}-6x=7$时，他的解答过程如下：
解：因为$a=1,b=-6,c=7$，（第一步）
所以$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×7=8＞0$。（第二步）
所以方程有两个不相等的实数根，
$x=\dfrac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\dfrac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$。（第三步）
所以$x_{1}=3+\sqrt{2},x_{2}=3-\sqrt{2}$。（第四步）
【思考与应用】
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程。
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
。4. 若方程$x^{2}+mx+1=0$和$x^{2}+x+m=0$有公共根，则常数$m$的值是
$-2$
。5. 【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程。
【观察与分析】
小张在解方程$x^{2}-6x=7$时，他的解答过程如下：
解：因为$a=1,b=-6,c=7$，（第一步）
所以$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×7=8＞0$。（第二步）
所以方程有两个不相等的实数根，
$x=\dfrac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\dfrac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$。（第三步）
所以$x_{1}=3+\sqrt{2},x_{2}=3-\sqrt{2}$。（第四步）
【思考与应用】
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程。
答案
3. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 提示:因为$(1*x)\#(1\#x)=1$,所以$(1+x)\#(1· x)=1$,所以$(1+x)x=1$,即$x^{2}+x-1=0$,解得$x_{1}=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2},x_{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.因为$x＞0$,所以$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
4. $-2$ 提示:设方程$x^{2}+mx+1=0$和$x^{2}+x+m=0$的公共根为$t$,则$t^{2}+mt+1=0$①,$t^{2}+t+m=0$②.①$-$②,得$(m-1)t=m-1$,分情况求解:(1)如果$m=1$,那么两个方程均为$x^{2}+x+1=0$,$b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×1=-3＜0$,不符合题意;
(2)如果$m≠1$,那么$t=1$,把$t=1$代入①,得$1+m+1=0$,解得$m=-2$.综上所述,常数$m$的值为$-2$.
5. 解:(1) 小张的解答过程不正确.
(2) 小张从第一步开始出错.方程可变形为$x^{2}-6x-7=0$.因为$a=1,b=-6,c=-7$,所以$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(-7)=64＞0$,所以方程有两个不相等的实数根,$x=\dfrac{6\pm\sqrt{64}}{2×1}=\dfrac{6\pm8}{2}$,所以$x_{1}=7$,$x_{2}=-1$.
4. $-2$ 提示:设方程$x^{2}+mx+1=0$和$x^{2}+x+m=0$的公共根为$t$,则$t^{2}+mt+1=0$①,$t^{2}+t+m=0$②.①$-$②,得$(m-1)t=m-1$,分情况求解:(1)如果$m=1$,那么两个方程均为$x^{2}+x+1=0$,$b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×1=-3＜0$,不符合题意;
(2)如果$m≠1$,那么$t=1$,把$t=1$代入①,得$1+m+1=0$,解得$m=-2$.综上所述,常数$m$的值为$-2$.
5. 解:(1) 小张的解答过程不正确.
(2) 小张从第一步开始出错.方程可变形为$x^{2}-6x-7=0$.因为$a=1,b=-6,c=-7$,所以$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(-7)=64＞0$,所以方程有两个不相等的实数根,$x=\dfrac{6\pm\sqrt{64}}{2×1}=\dfrac{6\pm8}{2}$,所以$x_{1}=7$,$x_{2}=-1$.
解析
【分析】本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，需先根据新运算规则转化代数式，再解方程并根据条件筛选解。
【解析】根据新运算定义：$a*b=a+b$，$a\#b=ab$，因此$(1*x)=1+x$，$(1\#x)=1·x=x$。代入等式得：$(1+x)·x=1$，整理为一元二次方程$x^2+x-1=0$。用公式法求解，其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5$，则$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。因$x＞0$，舍去负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，故$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】新定义运算、一元二次方程解法
【点评】本题关键是正确转化新运算为常规代数式，再结合条件筛选解，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】本题考查一元二次方程公共根问题，利用公共根的性质建立方程，分情况讨论求解。
【解析】设公共根为$t$，则$t$满足两个方程：$t^2+mt+1=0$①，$t^2+t+m=0$②。①-②得：$(m-1)t=m-1$。分情况讨论：当$m=1$时，两方程均为$x^2+x+1=0$，判别式$\Delta=1-4=-3＜0$，无实根，不符合题意；当$m≠1$时，$t=1$，代入①得$1+m+1=0$，解得$m=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】一元二次方程公共根
【点评】核心是利用公共根建立方程，分情况讨论避免错解，难度中等。
【难度系数】0.4
【分析】本题考查一元二次方程的解法，需先判断小张的错误，再按正确步骤解方程。
【解析】(1)小张的解答过程不正确；(2)小张从第一步开始出错，原方程$x^2-6x=7$需化为标准形式$x^2-6x-7=0$，此时$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，小张误将$c$取为7。重新用公式法：$\Delta=(-6)^2-4×1×(-7)=64＞0$，则$x=\frac{6±\sqrt{64}}{2}=\frac{6±8}{2}$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
【答案】(1)不正确；(2)小张从第一步开始出错，正确解为$x_1=7$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程标准形式、公式法解一元二次方程
【点评】重点考查方程标准形式的转化，注意常数项符号，难度中等。
【难度系数】0.5
【解析】根据新运算定义：$a*b=a+b$，$a\#b=ab$，因此$(1*x)=1+x$，$(1\#x)=1·x=x$。代入等式得：$(1+x)·x=1$，整理为一元二次方程$x^2+x-1=0$。用公式法求解，其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5$，则$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。因$x＞0$，舍去负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，故$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】新定义运算、一元二次方程解法
【点评】本题关键是正确转化新运算为常规代数式，再结合条件筛选解，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】本题考查一元二次方程公共根问题，利用公共根的性质建立方程，分情况讨论求解。
【解析】设公共根为$t$，则$t$满足两个方程：$t^2+mt+1=0$①，$t^2+t+m=0$②。①-②得：$(m-1)t=m-1$。分情况讨论：当$m=1$时，两方程均为$x^2+x+1=0$，判别式$\Delta=1-4=-3＜0$，无实根，不符合题意；当$m≠1$时，$t=1$，代入①得$1+m+1=0$，解得$m=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】一元二次方程公共根
【点评】核心是利用公共根建立方程，分情况讨论避免错解，难度中等。
【难度系数】0.4
【分析】本题考查一元二次方程的解法，需先判断小张的错误，再按正确步骤解方程。
【解析】(1)小张的解答过程不正确；(2)小张从第一步开始出错，原方程$x^2-6x=7$需化为标准形式$x^2-6x-7=0$，此时$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，小张误将$c$取为7。重新用公式法：$\Delta=(-6)^2-4×1×(-7)=64＞0$，则$x=\frac{6±\sqrt{64}}{2}=\frac{6±8}{2}$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
【答案】(1)不正确；(2)小张从第一步开始出错，正确解为$x_1=7$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程标准形式、公式法解一元二次方程
【点评】重点考查方程标准形式的转化，注意常数项符号，难度中等。
【难度系数】0.5
6. 先阅读下列材料,然后回答问题:
在一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$中,若各项的系数之和为零,即$a+b+c=$0,则有一个根为 1,另一个根为$\dfrac{c}{a}$.
证明:设方程的两个根分别为$x_{1}$,$x_{2}$.
由$a+b+c=0$,
可知$b=-(a+c)$.
因为
所以$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{c}{a}$.
(1) 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠$0)的各项系数满足$a-b+c=0$,则两个根有什么规律?试说明你的结论.
(2) 已知方程$(ac-bc)x^{2}+(bc-ab)x+$$(ab-ac)=0(abc ≠ 0)$有两个相等的实数根,运用上述结论证明:$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$.
在一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$中,若各项的系数之和为零,即$a+b+c=$0,则有一个根为 1,另一个根为$\dfrac{c}{a}$.
证明:设方程的两个根分别为$x_{1}$,$x_{2}$.
由$a+b+c=0$,
可知$b=-(a+c)$.
因为
所以$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{c}{a}$.
(1) 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠$0)的各项系数满足$a-b+c=0$,则两个根有什么规律?试说明你的结论.
(2) 已知方程$(ac-bc)x^{2}+(bc-ab)x+$$(ab-ac)=0(abc ≠ 0)$有两个相等的实数根,运用上述结论证明:$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$.
答案
6. (1) 解:若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的各项系数满足$a-b+c=0$,则有一个根为$-1$,另一个根为$-\dfrac{c}{a}$.理由如下:
设方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$.由$a-b+c=0$,可得$b=a+c$.因为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-(a+c)\pm(a-c)}{2a}$,所以$x_{1}=-1,x_{2}=-\dfrac{c}{a}$.
(2) 证明:因为方程$(ac-bc)x^{2}+(bc-ab)x+(ab-ac)=0$有两个相等的实数根,且$ac-bc+bc-ab+ab-ac=0$,所以$x_{1}=x_{2}=1$,所以$\dfrac{ab-ac}{ac-bc}=1$,即$ab+bc=2ac$,两边都除以$abc$,得$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$.
设方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$.由$a-b+c=0$,可得$b=a+c$.因为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-(a+c)\pm(a-c)}{2a}$,所以$x_{1}=-1,x_{2}=-\dfrac{c}{a}$.
(2) 证明:因为方程$(ac-bc)x^{2}+(bc-ab)x+(ab-ac)=0$有两个相等的实数根,且$ac-bc+bc-ab+ab-ac=0$,所以$x_{1}=x_{2}=1$,所以$\dfrac{ab-ac}{ac-bc}=1$,即$ab+bc=2ac$,两边都除以$abc$,得$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$.
解析
【分析】
首先，问题(1)参考材料中“若$a+b+c=0$，则方程有一个根为1，另一个根为$\dfrac{c}{a}$”的结论，当条件变为$a-b+c=0$时，通过变形得到$b$的表达式，代入求根公式推导根的规律；问题(2)先计算给定方程的各项系数和，发现和为0，根据材料结论得方程有一个根为1，结合“两个相等实根”得两根均为1，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）化简证明目标等式。
【解析】
(1) 结论：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，则有一个根为$-1$，另一个根为$-\dfrac{c}{a}$。
理由：由$a-b+c=0$得$b=a+c$，代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{-(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac}}{2a}$，
化简根号内：$(a+c)^2-4ac=(a-c)^2$，
故$x=\dfrac{-(a+c)\pm(a-c)}{2a}$，
取“$+$”时：$x=\dfrac{-2c}{2a}=-\dfrac{c}{a}$；取“$-$”时：$x=\dfrac{-2a}{2a}=-1$，
因此方程两根为$-1$和$-\dfrac{c}{a}$。
(2) 证明：方程$(ac-bc)x^2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0$的系数和为：
$(ac-bc)+(bc-ab)+(ab-ac)=0$，根据材料结论，方程有一个根为1；
又因方程有两个相等实根，故两根均为1。
对一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之积为$\dfrac{C}{A}$，此处两根之积为$1×1=1$，
则$\dfrac{ab-ac}{ac-bc}=1$，整理得$ab-ac=ac-bc$，即$ab+bc=2ac$；
因$abc≠0$，两边同除以$abc$，得$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}$，即$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$，得证。
【答案】
(1) 一个根为$-1$，另一个根为$-\dfrac{c}{a}$；(2) 证明成立，$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$。
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题为规律探究题，先类比材料结论推导新条件下的根的规律，再结合韦达定理证明等式，考查对一元二次方程根的性质的应用，需具备类比推理和代数化简能力。
【难度系数】
0.5
首先，问题(1)参考材料中“若$a+b+c=0$，则方程有一个根为1，另一个根为$\dfrac{c}{a}$”的结论，当条件变为$a-b+c=0$时，通过变形得到$b$的表达式，代入求根公式推导根的规律；问题(2)先计算给定方程的各项系数和，发现和为0，根据材料结论得方程有一个根为1，结合“两个相等实根”得两根均为1，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）化简证明目标等式。
【解析】
(1) 结论：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，则有一个根为$-1$，另一个根为$-\dfrac{c}{a}$。
理由：由$a-b+c=0$得$b=a+c$，代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{-(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac}}{2a}$，
化简根号内：$(a+c)^2-4ac=(a-c)^2$，
故$x=\dfrac{-(a+c)\pm(a-c)}{2a}$，
取“$+$”时：$x=\dfrac{-2c}{2a}=-\dfrac{c}{a}$；取“$-$”时：$x=\dfrac{-2a}{2a}=-1$，
因此方程两根为$-1$和$-\dfrac{c}{a}$。
(2) 证明：方程$(ac-bc)x^2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0$的系数和为：
$(ac-bc)+(bc-ab)+(ab-ac)=0$，根据材料结论，方程有一个根为1；
又因方程有两个相等实根，故两根均为1。
对一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之积为$\dfrac{C}{A}$，此处两根之积为$1×1=1$，
则$\dfrac{ab-ac}{ac-bc}=1$，整理得$ab-ac=ac-bc$，即$ab+bc=2ac$；
因$abc≠0$，两边同除以$abc$，得$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}$，即$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$，得证。
【答案】
(1) 一个根为$-1$，另一个根为$-\dfrac{c}{a}$；(2) 证明成立，$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$。
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题为规律探究题，先类比材料结论推导新条件下的根的规律，再结合韦达定理证明等式，考查对一元二次方程根的性质的应用，需具备类比推理和代数化简能力。
【难度系数】
0.5
