3. 在杨辉三角中,第 10 行各数的和是多少?

3. 1024

【分析】
我们可以先从杨辉三角的基础特征入手，杨辉三角每行首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。先计算前几行所有数字的和，观察和的变化规律：最顶端的1所在行的和是1，下一行的和是2，再下一行的和是4，再下一行是8……会发现后一行的和始终是前一行和的2倍，因为下一行每个数都是上一行两个数相加，上一行每个数都被累加了2次，所以总和是上一行的2倍。按照这个规律就能推算出第10行的和。
【解析】
1. 先列举杨辉三角前几行，计算每行和找规律：
第0行：1，和为$1=2^0$
第1行：1、1，和为$2=2^1$
第2行：1、2、1，和为$4=2^2$
第3行：1、3、3、1，和为$8=2^3$
……
2. 总结规律：第n行各数的和为$2^n$
3. 计算第10行的和：当n=10时，和为$2^{10}=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024$
【答案】
1024
【知识点】
杨辉三角规律，乘方计算，归纳找规律
【点评】
本题需要先通过观察、计算前几行的和总结出杨辉三角每行和的变化规律，再运用规律计算目标行的和，能够很好地锻炼逻辑归纳和推理能力。
【难度系数】
0.7

4. 在杨辉三角第5行中，除两端的数字1以外，行数5能被其余所有的数整除。你还能找出具有类似性质的三行吗？这时的行数p是什么数？

4. 如2,3,7,11等行,行数p是质数

【分析】
解题时首先要回忆杨辉三角的排列规律，先从较小的行数开始逐一写出每行的数字，排除两端的数字1后，验证剩下的数是否都能被行数整除，筛选出符合要求的行数后，再观察这些行数的共同特点，归纳出p的性质。
【解析】
我们先写出杨辉三角的部分行，逐一验证规律：
1. 第2行：数字为1、2、1，去掉两端的1后剩下2，2÷2=1，能被2整除，符合要求；
2. 第3行：数字为1、3、3、1，去掉两端的1后剩下3、3，3÷3=1，都能被3整除，符合要求；
3. 第4行：数字为1、4、6、4、1，去掉两端的1后剩下4、6、4，其中6不能被4整除，不符合要求；
4. 第7行：数字为1、7、21、35、35、21、7、1，去掉两端的1后剩下的数都能被7整除，符合要求；
5. 第11行同理，中间的数都能被11整除，符合要求。
观察符合要求的行数2、3、7、11，这些数都只有1和它本身两个因数，属于质数。
【答案】
如2,3,7,11等行,行数p是质数
【知识点】
杨辉三角规律，质数的认识，整除的判断
【点评】
本题将杨辉三角的数字规律与数论基础结合，需要通过枚举验证找规律，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和数感。
【难度系数】
0.6