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5. 如下图斜线方向所示,第12斜行各数的和是多少?
答案
5. 按斐波那契数列计算,和是144
解析
【分析】
要计算第12斜行各数的和，我们可以先从简单的前几个斜行入手，先分别算出前几个斜行的和，观察和的规律再推算结果。首先顺着图中斜线方向，依次计算前6个斜行的和：
第1斜行只有数字1，和为1；
第2斜行只有数字1，和为1；
第3斜行有1、1两个数，和为1+1=2；
第4斜行有1、2两个数，和为1+2=3；
第5斜行有1、3、1三个数，和为1+3+1=5；
第6斜行有1、4、3三个数，和为1+4+3=8；
观察这些和：1、1、2、3、5、8，可发现从第3个和开始，每个和都等于它前面两个和的和，按照这个规律递推就能得到第12斜行的和。
【解析】
通过计算前几个斜行的和，可发现规律：从第3斜行开始，每个斜行的和等于前两个斜行的和相加。
按照规律依次计算：
第1斜行和：1
第2斜行和：1
第3斜行和：$1+1=2$
第4斜行和：$1+2=3$
第5斜行和：$2+3=5$
第6斜行和：$3+5=8$
第7斜行和：$5+8=13$
第8斜行和：$8+13=21$
第9斜行和：$13+21=34$
第10斜行和：$21+34=55$
第11斜行和：$34+55=89$
第12斜行和：$55+89=144$
【答案】
144
【知识点】
杨辉三角规律；数列找规律；斐波那契数列
【点评】
本题主要考察对数字规律的观察和归纳能力，通过计算前几项的和找到递推规律，再利用规律递推得到结果，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算第12斜行各数的和，我们可以先从简单的前几个斜行入手，先分别算出前几个斜行的和，观察和的规律再推算结果。首先顺着图中斜线方向，依次计算前6个斜行的和：
第1斜行只有数字1，和为1；
第2斜行只有数字1，和为1；
第3斜行有1、1两个数，和为1+1=2；
第4斜行有1、2两个数，和为1+2=3；
第5斜行有1、3、1三个数，和为1+3+1=5；
第6斜行有1、4、3三个数，和为1+4+3=8；
观察这些和：1、1、2、3、5、8，可发现从第3个和开始，每个和都等于它前面两个和的和，按照这个规律递推就能得到第12斜行的和。
【解析】
通过计算前几个斜行的和，可发现规律：从第3斜行开始，每个斜行的和等于前两个斜行的和相加。
按照规律依次计算：
第1斜行和：1
第2斜行和：1
第3斜行和：$1+1=2$
第4斜行和：$1+2=3$
第5斜行和：$2+3=5$
第6斜行和：$3+5=8$
第7斜行和：$5+8=13$
第8斜行和：$8+13=21$
第9斜行和：$13+21=34$
第10斜行和：$21+34=55$
第11斜行和：$34+55=89$
第12斜行和：$55+89=144$
【答案】
144
【知识点】
杨辉三角规律；数列找规律；斐波那契数列
【点评】
本题主要考察对数字规律的观察和归纳能力，通过计算前几项的和找到递推规律，再利用规律递推得到结果，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
6. 数学家华罗庚在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中，对杨辉三角的构成提出了一种有趣的问题：在游艺场，可以看到如图所示的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物时，等可能地向两侧跌落；碰到第二层阻挡物时，再等可能地向两侧跌落。如是一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。为什么跌落两边区的奖品金额高于中间区？
答案
6. 小球落到各个交叉点处的可能性如下图,落于两边区域的可能性比中间区域的可能性小
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是明确奖品金额和获奖难度的关联：获奖难度越高，奖品金额越高，而获奖难度由小球落入对应区域的可能性大小决定。首先我们先明确小球的跌落规则：每次碰到阻挡物时向左、向右跌落的可能性相等，每个位置的到达可能性等于它上方两个相邻位置的可能性之和，计算出底层各区域的落入可能性后，对比两边和中间的可能性大小，就能解释奖品金额的设置逻辑。
【解析】
1. 首先明确小球跌落规则：小球每次碰到阻挡物时，向左侧、右侧跌落的可能性相等，各占一半。
2. 按照规则逐层计算小球到达各位置的可能性，最终可得底层各区域的落入概率：最左侧和最右侧区域的概率仅为$\frac{1}{16}$，越靠近中间区域概率越高，中间区域的概率最高可达$\frac{6}{16}$。
3. 由此可得：小球落入两边区域的可能性远小于中间区域，即顾客拿到两边区域奖品的难度更大，所以两边区域的奖品金额设置得更高。
【答案】
6. 小球落到各个交叉点处的可能性如下图,落于两边区域的可能性比中间区域的可能性小
【知识点】
可能性大小、概率计算、杨辉三角
【点评】
这道题将数学知识和生活中游艺场景结合，既考察了学生对可能性大小的理解，也能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心是明确奖品金额和获奖难度的关联：获奖难度越高，奖品金额越高，而获奖难度由小球落入对应区域的可能性大小决定。首先我们先明确小球的跌落规则：每次碰到阻挡物时向左、向右跌落的可能性相等，每个位置的到达可能性等于它上方两个相邻位置的可能性之和，计算出底层各区域的落入可能性后，对比两边和中间的可能性大小，就能解释奖品金额的设置逻辑。
【解析】
1. 首先明确小球跌落规则：小球每次碰到阻挡物时，向左侧、右侧跌落的可能性相等，各占一半。
2. 按照规则逐层计算小球到达各位置的可能性，最终可得底层各区域的落入概率：最左侧和最右侧区域的概率仅为$\frac{1}{16}$，越靠近中间区域概率越高，中间区域的概率最高可达$\frac{6}{16}$。
3. 由此可得：小球落入两边区域的可能性远小于中间区域，即顾客拿到两边区域奖品的难度更大，所以两边区域的奖品金额设置得更高。
【答案】
6. 小球落到各个交叉点处的可能性如下图,落于两边区域的可能性比中间区域的可能性小
【知识点】
可能性大小、概率计算、杨辉三角
【点评】
这道题将数学知识和生活中游艺场景结合，既考察了学生对可能性大小的理解，也能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
7. 计算机科学大师唐纳德·克努特指出，杨辉三角中存在着不计其数的关系式，而计算机图像显示是一种再好不过的方法，通过它可以使杨辉三角中存在的神奇模式突显出来。最常见的构造方法如下图所示：把一个边长为1厘米的等边三角形分成四等份，去掉中间那一份，然后继续对另外三个三角形进行这样的操作，并且无限地递归下去。到第4次后，一共去掉了多少个三角形？去掉的所有三角形的边长之和是多少？
答案
7. 去掉的三角形个数
边长之和(单位:厘米)
第1次:1
$\frac{1}{2}×3$
第2次:1+3
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3$
第3次:1+3+3×3
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3+\frac{1}{8}×3×3×3$
第4次:1+3+3×3+3×3×3=40
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3+\frac{1}{8}×3×3×3+\frac{1}{16}×3×3×3×3=\frac{195}{16}$
边长之和(单位:厘米)
第1次:1
$\frac{1}{2}×3$
第2次:1+3
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3$
第3次:1+3+3×3
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3+\frac{1}{8}×3×3×3$
第4次:1+3+3×3+3×3×3=40
$\frac{1}{2}×3+\frac{1}{4}×3×3+\frac{1}{8}×3×3×3+\frac{1}{16}×3×3×3×3=\frac{195}{16}$
解析
【分析】
我们先观察每次操作的规律：每次对现存的每个小等边三角形四等分后，都会去掉中间1个三角形。首先解决去掉的总个数问题：先找每次新增的去掉的三角形数量，第1次新增1个，之后每次新增的数量是上一次新增数量的3倍，把4次的数量相加就是总个数。再解决边长之和问题：每次去掉的三角形边长是上一次去掉的三角形边长的$\frac{1}{2}$，每个等边三角形有3条边，先算出每次去掉的所有三角形的边长总和，再把4次的和相加即可。
【解析】
1. 计算一共去掉的三角形个数：
第1次去掉的个数：1个
第2次新增去掉的个数：3个
第3次新增去掉的个数：$3×3=9$个
第4次新增去掉的个数：$3×3×3=27$个
总个数：$1+3+9+27=40$个
2. 计算去掉的所有三角形的边长之和：
原三角形边长为1厘米，
第1次去掉的1个三角形边长为$\frac{1}{2}$厘米，边长和为：$3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$厘米
第2次去掉的3个三角形边长为$\frac{1}{4}$厘米，边长和为：$3×(3×\frac{1}{4})=\frac{9}{4}$厘米
第3次去掉的9个三角形边长为$\frac{1}{8}$厘米，边长和为：$9×(3×\frac{1}{8})=\frac{27}{8}$厘米
第4次去掉的27个三角形边长为$\frac{1}{16}$厘米，边长和为：$27×(3×\frac{1}{16})=\frac{81}{16}$厘米
总边长和：$\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{27}{8}+\frac{81}{16}=\frac{24}{16}+\frac{36}{16}+\frac{54}{16}+\frac{81}{16}=\frac{195}{16}$厘米
【答案】
一共去掉了40个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是$\frac{195}{16}$厘米。
【知识点】
图形规律探究，分数四则运算，递推计数
【点评】
本题结合图形操作考查规律探究能力，需要先通过观察前几次操作的特点，归纳出每次新增去掉的三角形数量、边长的变化规律，再逐步计算累加，能有效提升观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
我们先观察每次操作的规律：每次对现存的每个小等边三角形四等分后，都会去掉中间1个三角形。首先解决去掉的总个数问题：先找每次新增的去掉的三角形数量，第1次新增1个，之后每次新增的数量是上一次新增数量的3倍，把4次的数量相加就是总个数。再解决边长之和问题：每次去掉的三角形边长是上一次去掉的三角形边长的$\frac{1}{2}$，每个等边三角形有3条边，先算出每次去掉的所有三角形的边长总和，再把4次的和相加即可。
【解析】
1. 计算一共去掉的三角形个数：
第1次去掉的个数：1个
第2次新增去掉的个数：3个
第3次新增去掉的个数：$3×3=9$个
第4次新增去掉的个数：$3×3×3=27$个
总个数：$1+3+9+27=40$个
2. 计算去掉的所有三角形的边长之和：
原三角形边长为1厘米，
第1次去掉的1个三角形边长为$\frac{1}{2}$厘米，边长和为：$3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$厘米
第2次去掉的3个三角形边长为$\frac{1}{4}$厘米，边长和为：$3×(3×\frac{1}{4})=\frac{9}{4}$厘米
第3次去掉的9个三角形边长为$\frac{1}{8}$厘米，边长和为：$9×(3×\frac{1}{8})=\frac{27}{8}$厘米
第4次去掉的27个三角形边长为$\frac{1}{16}$厘米，边长和为：$27×(3×\frac{1}{16})=\frac{81}{16}$厘米
总边长和：$\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{27}{8}+\frac{81}{16}=\frac{24}{16}+\frac{36}{16}+\frac{54}{16}+\frac{81}{16}=\frac{195}{16}$厘米
【答案】
一共去掉了40个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是$\frac{195}{16}$厘米。
【知识点】
图形规律探究，分数四则运算，递推计数
【点评】
本题结合图形操作考查规律探究能力，需要先通过观察前几次操作的特点，归纳出每次新增去掉的三角形数量、边长的变化规律，再逐步计算累加，能有效提升观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
