登录
杨辉,钱塘(今浙江杭州)人,中国南宋末年数学家、数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》两卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》两卷、《续古摘奇算法》两卷。其中后三种合称《杨辉算法》,朝鲜、日本等国均有译本出版,流传世界。
杨辉三角出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中(如下图),此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于()。杨辉指出,这个方法出自《释锁算书》,且我国北宋数学家贾宪大约于1050年使用过它,这表明我国发现这个三角形不晚于11世纪。
从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩”出发,向右(左)上方作一条和左(右)斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数。我们可以得出一般性的结论:一般来说,第$m$条斜线上(从右上到左下)前$n$个数字的和,等于第()条斜线上的第()个数。
1. 根据你发现的规律,把上图三角形中第7行的数填完整。
2. 你能发现杨辉三角中的哪些数学规律? 请分别用画示意图或文字描述的方法在每个杨辉三角中说明。
杨辉三角出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中(如下图),此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于()。杨辉指出,这个方法出自《释锁算书》,且我国北宋数学家贾宪大约于1050年使用过它,这表明我国发现这个三角形不晚于11世纪。
从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩”出发,向右(左)上方作一条和左(右)斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数。我们可以得出一般性的结论:一般来说,第$m$条斜线上(从右上到左下)前$n$个数字的和,等于第()条斜线上的第()个数。
1. 根据你发现的规律,把上图三角形中第7行的数填完整。
2. 你能发现杨辉三角中的哪些数学规律? 请分别用画示意图或文字描述的方法在每个杨辉三角中说明。
答案
它上方两个数的和
m+n-1
n
1. 第7行的数：1，7，21，35，35，21，7，1
2. 规律：
规律1：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。（例：第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和）
规律2：第n行（n从0开始）有n+1个数，第n行所有数字的和是2ⁿ。（例：第0行和为1=2⁰，第1行和为2=2¹，第2行和为4=2²）
规律3：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
m+n-1
n
1. 第7行的数：1，7，21，35，35，21，7，1
2. 规律：
规律1：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。（例：第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和）
规律2：第n行（n从0开始）有n+1个数，第n行所有数字的和是2ⁿ。（例：第0行和为1=2⁰，第1行和为2=2¹，第2行和为4=2²）
规律3：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
解析
【分析】
解题时我们从观察杨辉三角已有的数字特征入手：1. 先看非1的数和它上方数的关系，比如第2行的2，上方刚好是两个1，相加等于2，就能推出第一个空的答案；2. 探究斜线上数字和的规律时，可以举具体例子验证，比如第2条斜线上前2个数字1+1=2，刚好对应第2+2-1=3条斜线上的第2个数，就能总结出通用结论；3. 填第7行的数时，利用“每个数等于上方两个数的和”的规律，从第6行的数依次相加就能得到；4. 找规律时可以从对称性、每行数字个数、每行数字和、斜线上数字特点等角度观察总结。
【解析】
题干填空部分：
1. 观察杨辉三角的数，除首尾的1外，任意数都等于它正上方左右两个数的和，比如第3行的3=第2行的1+2，因此第一个空填“它上方两个数的和”。
2. 举例验证斜线和规律：取第m=2条斜线上前n=3个数字，和为1+1+1=3，对应第m+n-1=2+3-1=4条斜线上的第n=3个数，符合规律，因此两个空依次填$m+n-1$、$n$。
问题1：填第7行的数
我们先列出前几行的数，按照“每个数等于上方相邻两数之和”的规律推导：
第0行：1（共1个数）
第1行：1，1（共2个数）
第2行：1，2，1（共3个数）
第3行：1，3，3，1（共4个数）
第4行：1，4，6，4，1（共5个数）
第5行：1，5，10，10，5，1（共6个数）
第6行：1，6，15，20，15，6，1（共7个数）
第7行首尾都是1，中间数依次计算：
第二个数：$1+6=7$，第三个数：$6+15=21$，第四个数：$15+20=35$，第五个数：$20+15=35$，第六个数：$15+6=21$，第七个数：$6+1=7$，即第7行的数为1，7，21，35，35，21，7，1。
问题2：找杨辉三角的规律
从不同维度观察可得到以下规律：
1. 对称规律：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。例如第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和。
2. 行数相关规律：第n行（n从0开始计数）有$n+1$个数，第n行所有数字的和是$2^n$（即n个2相乘）。例如第0行和为$1=2^0$，第1行和为$2=2^1$，第2行和为$4=2^2$。
3. 斜线规律：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（连续自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
【答案】
它上方两个数的和
$m+n-1$
$n$
1. 第7行的数：1，7，21，35，35，21，7，1
2. 规律：
规律1：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。（例：第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和）
规律2：第n行（n从0开始）有n+1个数，第n行所有数字的和是$2^n$。（例：第0行和为$1=2^0$，第1行和为$2=2^1$，第2行和为$4=2^2$）
规律3：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
【知识点】
杨辉三角规律、归纳推理、整数加法
【点评】
本题结合我国古代数学成就杨辉三角命题，既考察学生对数字规律的观察、归纳总结能力，也能让学生了解我国古代数学的突出贡献，激发数学学习兴趣。规律探究类问题需要从多个角度观察数字特征，逐步推导验证即可得到结论。
【难度系数】
0.7
解题时我们从观察杨辉三角已有的数字特征入手：1. 先看非1的数和它上方数的关系，比如第2行的2，上方刚好是两个1，相加等于2，就能推出第一个空的答案；2. 探究斜线上数字和的规律时，可以举具体例子验证，比如第2条斜线上前2个数字1+1=2，刚好对应第2+2-1=3条斜线上的第2个数，就能总结出通用结论；3. 填第7行的数时，利用“每个数等于上方两个数的和”的规律，从第6行的数依次相加就能得到；4. 找规律时可以从对称性、每行数字个数、每行数字和、斜线上数字特点等角度观察总结。
【解析】
题干填空部分：
1. 观察杨辉三角的数，除首尾的1外，任意数都等于它正上方左右两个数的和，比如第3行的3=第2行的1+2，因此第一个空填“它上方两个数的和”。
2. 举例验证斜线和规律：取第m=2条斜线上前n=3个数字，和为1+1+1=3，对应第m+n-1=2+3-1=4条斜线上的第n=3个数，符合规律，因此两个空依次填$m+n-1$、$n$。
问题1：填第7行的数
我们先列出前几行的数，按照“每个数等于上方相邻两数之和”的规律推导：
第0行：1（共1个数）
第1行：1，1（共2个数）
第2行：1，2，1（共3个数）
第3行：1，3，3，1（共4个数）
第4行：1，4，6，4，1（共5个数）
第5行：1，5，10，10，5，1（共6个数）
第6行：1，6，15，20，15，6，1（共7个数）
第7行首尾都是1，中间数依次计算：
第二个数：$1+6=7$，第三个数：$6+15=21$，第四个数：$15+20=35$，第五个数：$20+15=35$，第六个数：$15+6=21$，第七个数：$6+1=7$，即第7行的数为1，7，21，35，35，21，7，1。
问题2：找杨辉三角的规律
从不同维度观察可得到以下规律：
1. 对称规律：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。例如第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和。
2. 行数相关规律：第n行（n从0开始计数）有$n+1$个数，第n行所有数字的和是$2^n$（即n个2相乘）。例如第0行和为$1=2^0$，第1行和为$2=2^1$，第2行和为$4=2^2$。
3. 斜线规律：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（连续自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
【答案】
它上方两个数的和
$m+n-1$
$n$
1. 第7行的数：1，7，21，35，35，21，7，1
2. 规律：
规律1：每行数字左右对称，首尾都是1，中间的数等于它上方相邻两个数的和。（例：第2行的2=第1行两个1的和，第3行的3=第2行1和2的和）
规律2：第n行（n从0开始）有n+1个数，第n行所有数字的和是$2^n$。（例：第0行和为$1=2^0$，第1行和为$2=2^1$，第2行和为$4=2^2$）
规律3：从右上到左下的斜线上，第1、2条斜线的数都是1，第3条斜线的数是1、2、3、4…（自然数），第4条斜线的数是1、3、6、10…（三角形数）。
【知识点】
杨辉三角规律、归纳推理、整数加法
【点评】
本题结合我国古代数学成就杨辉三角命题，既考察学生对数字规律的观察、归纳总结能力，也能让学生了解我国古代数学的突出贡献，激发数学学习兴趣。规律探究类问题需要从多个角度观察数字特征，逐步推导验证即可得到结论。
【难度系数】
0.7
