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1. 判断下列各命题是否正确(正确的在括号里打“√”，错误的打“×”)。
（1）任意两个直角三角形相似。（
（2）有一个角相等的等腰三角形相似。（
（3）任意两个等腰直角三角形相似。（
（4）有一个角为$150°$的两个等腰三角形相似。（
（1）任意两个直角三角形相似。（
×
）（2）有一个角相等的等腰三角形相似。（
×
）（3）任意两个等腰直角三角形相似。（
√
）（4）有一个角为$150°$的两个等腰三角形相似。（
√
）答案
1. (1) × (2) × (3) √ (4) √
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，核心判定依据为“两角分别相等的两个三角形相似”，解题时需结合等腰三角形、直角三角形的角的特征，逐一分析每个命题：①判断直角三角形是否相似，需确认除直角外是否还有一组锐角对应相等；②判断等腰三角形是否相似，要注意相等的角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理验证角是否对应相等。
【解析】
（1）任意两个直角三角形仅直角对应相等，另外两组锐角不一定对应相等，例如一个直角三角形的锐角为30°、60°，另一个直角三角形的锐角为45°、45°，二者无两组角对应相等，不相似，故命题错误。
（2）有一个角相等的等腰三角形，相等的角可能一个为顶角、一个为底角：例如一个等腰三角形顶角为30°，三个内角为30°、75°、75°；另一个等腰三角形底角为30°，三个内角为30°、30°、120°，二者无两组角对应相等，不相似，故命题错误。
（3）任意等腰直角三角形的三个内角固定为90°、45°、45°，满足两组角对应相等，根据相似三角形判定定理，可知任意两个等腰直角三角形都相似，故命题正确。
（4）等腰三角形中150°的角只能是顶角（若为底角，则两个底角之和为300°，超过三角形内角和180°，不成立），因此这两个等腰三角形的顶角均为150°，底角均为(180°-150°)÷2=15°，三组角都对应相等，满足相似判定条件，故命题正确。
【答案】
(1) × (2) × (3) √ (4) √
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是明确等腰三角形中已知角的位置（顶角/底角），避免因未分类讨论相等角的类型而判断错误。
【难度系数】
0.75
本题考查相似三角形的判定，核心判定依据为“两角分别相等的两个三角形相似”，解题时需结合等腰三角形、直角三角形的角的特征，逐一分析每个命题：①判断直角三角形是否相似，需确认除直角外是否还有一组锐角对应相等；②判断等腰三角形是否相似，要注意相等的角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理验证角是否对应相等。
【解析】
（1）任意两个直角三角形仅直角对应相等，另外两组锐角不一定对应相等，例如一个直角三角形的锐角为30°、60°，另一个直角三角形的锐角为45°、45°，二者无两组角对应相等，不相似，故命题错误。
（2）有一个角相等的等腰三角形，相等的角可能一个为顶角、一个为底角：例如一个等腰三角形顶角为30°，三个内角为30°、75°、75°；另一个等腰三角形底角为30°，三个内角为30°、30°、120°，二者无两组角对应相等，不相似，故命题错误。
（3）任意等腰直角三角形的三个内角固定为90°、45°、45°，满足两组角对应相等，根据相似三角形判定定理，可知任意两个等腰直角三角形都相似，故命题正确。
（4）等腰三角形中150°的角只能是顶角（若为底角，则两个底角之和为300°，超过三角形内角和180°，不成立），因此这两个等腰三角形的顶角均为150°，底角均为(180°-150°)÷2=15°，三组角都对应相等，满足相似判定条件，故命题正确。
【答案】
(1) × (2) × (3) √ (4) √
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是明确等腰三角形中已知角的位置（顶角/底角），避免因未分类讨论相等角的类型而判断错误。
【难度系数】
0.75
2. 如图，已知△MNP。下列四个三角形，与△MNP相似的是（
A.5，75°，5，5
B.5，5，5，
C.5，30°，5，5
D.5，5，40°
C
）。A.5，75°，5，5
B.5，5，5，
C.5，30°，5，5
D.5，5，40°
答案
2. C
解析
【分析】
首先分析已知△MNP的特征：△MNP中PM=MN=6，是等腰三角形，已知底角∠P=75°，先根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理算出△MNP的三个内角度数，再根据相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似），逐一比对四个选项的三角形内角，即可找到符合要求的图形。
【解析】
步骤1：计算△MNP的各内角度数
在△MNP中，PM=MN=6，因此△MNP是等腰三角形，两底角相等，即∠P=∠N=75°。
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠M=180°-∠P-∠N=180°-75°-75°=30°，即△MNP的三个内角为30°、75°、75°。
步骤2：逐一分析各选项
A. 该三角形两边长为5、5，夹角为75°，因此另外两个内角均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个角为75°、52.5°、52.5°，和△MNP角度不对应，不相似。
B. 该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，和△MNP角度不对应，不相似。
C. 该三角形两边长为5、5，夹角为30°，因此另外两个内角均为(180°-30°)÷2=75°，三个角为30°、75°、75°，与△MNP的三个内角对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知该三角形与△MNP相似。
D. 该三角形两边长为5、5，顶角为40°，因此另外两个内角均为(180°-40°)÷2=70°，三个角为40°、70°、70°，和△MNP角度不对应，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是先求出已知三角形的三个内角度数，再结合相似三角形的判定条件比对选项即可，注意不要看错等腰三角形的腰和底，避免算错角度。
【难度系数】
0.7
首先分析已知△MNP的特征：△MNP中PM=MN=6，是等腰三角形，已知底角∠P=75°，先根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理算出△MNP的三个内角度数，再根据相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似），逐一比对四个选项的三角形内角，即可找到符合要求的图形。
【解析】
步骤1：计算△MNP的各内角度数
在△MNP中，PM=MN=6，因此△MNP是等腰三角形，两底角相等，即∠P=∠N=75°。
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠M=180°-∠P-∠N=180°-75°-75°=30°，即△MNP的三个内角为30°、75°、75°。
步骤2：逐一分析各选项
A. 该三角形两边长为5、5，夹角为75°，因此另外两个内角均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个角为75°、52.5°、52.5°，和△MNP角度不对应，不相似。
B. 该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，和△MNP角度不对应，不相似。
C. 该三角形两边长为5、5，夹角为30°，因此另外两个内角均为(180°-30°)÷2=75°，三个角为30°、75°、75°，与△MNP的三个内角对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知该三角形与△MNP相似。
D. 该三角形两边长为5、5，顶角为40°，因此另外两个内角均为(180°-40°)÷2=70°，三个角为40°、70°、70°，和△MNP角度不对应，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是先求出已知三角形的三个内角度数，再结合相似三角形的判定条件比对选项即可，注意不要看错等腰三角形的腰和底，避免算错角度。
【难度系数】
0.7
3. 已知:如图,在ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,E是AB的中点,点F在BC上,CF=1 cm。求证:△ADE∽△CDF。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
解析
【分析】
要证明△ADE∽△CDF，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用平行四边形的性质，可得一组对应角∠A=∠C，同时得到AD、CD的边长；再结合E是AB中点的条件求出AE的长度，分别计算∠A的两条夹边与∠C的两条夹边的比值，验证两组对应边的比值相等，即可完成相似的证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又
∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又
∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和相似三角形判定定理的综合运用，解题的关键是找准对应角和对应边，验证相似的判定条件，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE∽△CDF，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用平行四边形的性质，可得一组对应角∠A=∠C，同时得到AD、CD的边长；再结合E是AB中点的条件求出AE的长度，分别计算∠A的两条夹边与∠C的两条夹边的比值，验证两组对应边的比值相等，即可完成相似的证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又
∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC = 8 cm，CD = AB = 4 cm。
∵ E是AB的中点，AB = 4 cm，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm。
又
∵ CF = 1 cm，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{2}{1}$，$\frac{AD}{CD} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ △ADE∽△CDF。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和相似三角形判定定理的综合运用，解题的关键是找准对应角和对应边，验证相似的判定条件，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且$AC^2=AB·AD$,$∠ACD=50°$。求∠B的度数。
答案
4. $∠B=50°$
解析
【分析】
首先根据角平分线的定义可得∠BAC=∠CAD，再将题中的等积式$AC^2=AB·AD$转化为三角形对应边的比例式，结合得到的等角，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明$△ ABC$与$△ ACD$相似，最后根据相似三角形对应角相等即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
解：$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ CAD$，
$\because AC^2 = AB·AD$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}\\∠ BAC=∠ CAD\end{cases}$
$\therefore △ ABC ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ B = ∠ ACD$，
$\because ∠ ACD=50°$，
$\therefore ∠ B=50°$。
【答案】
$∠ B=50°$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是将等积式转化为比例式，结合角平分线的性质构造相似三角形，再利用相似的性质求解角度，是相似三角形部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的定义可得∠BAC=∠CAD，再将题中的等积式$AC^2=AB·AD$转化为三角形对应边的比例式，结合得到的等角，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明$△ ABC$与$△ ACD$相似，最后根据相似三角形对应角相等即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
解：$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ CAD$，
$\because AC^2 = AB·AD$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}\\∠ BAC=∠ CAD\end{cases}$
$\therefore △ ABC ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ B = ∠ ACD$，
$\because ∠ ACD=50°$，
$\therefore ∠ B=50°$。
【答案】
$∠ B=50°$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是将等积式转化为比例式，结合角平分线的性质构造相似三角形，再利用相似的性质求解角度，是相似三角形部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
