登录
1.(2025·宿迁泗阳县期中)圆心角为$120°$的扇形的半径是3 cm,则这个扇形的面积是 (
A.$6π\ \mathrm{cm}^2$
B.$3π\ \mathrm{cm}^2$
C.$9π\ \mathrm{cm}^2$
D.$π\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$6π\ \mathrm{cm}^2$
B.$3π\ \mathrm{cm}^2$
C.$9π\ \mathrm{cm}^2$
D.$π\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.B
解析
【分析】
本题要求已知圆心角和半径的扇形面积，解题思路如下：首先回忆扇形面积的计算公式，当已知扇形的圆心角度数$n$和半径$R$时，可直接选用公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$计算；接下来明确题目给出的已知量：圆心角$n=120°$，半径$R=3\mathrm{cm}$，将数值代入公式计算后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径）。
由题可知$n=120°$，$R=3\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S=\frac{120×π×3^2}{360}=\frac{120×π×9}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查扇形面积公式的应用，只要熟练掌握对应公式，代入数值时注意计算准确，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
本题要求已知圆心角和半径的扇形面积，解题思路如下：首先回忆扇形面积的计算公式，当已知扇形的圆心角度数$n$和半径$R$时，可直接选用公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$计算；接下来明确题目给出的已知量：圆心角$n=120°$，半径$R=3\mathrm{cm}$，将数值代入公式计算后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径）。
由题可知$n=120°$，$R=3\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S=\frac{120×π×3^2}{360}=\frac{120×π×9}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查扇形面积公式的应用，只要熟练掌握对应公式，代入数值时注意计算准确，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
2.(2025·宿迁宿城区期中)如图,正方形ABCD的边长为2,$\overset{\frown}{AC}$是以点B为圆心,BC长为半径的一段圆弧,则弧$\overset{\frown}{AC}$的长为 （
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
A
）A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
2.A
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所在扇形的圆心角度数，$r$是扇形半径），因此需要先确定两个关键量：①弧$\overset{\frown}{AC}$所在扇形的圆心角度数；②扇形的半径。结合图形可知弧$\overset{\frown}{AC}$以B为圆心，BC为半径，且ABCD是正方形，可推出圆心角∠B=90°，半径等于正方形边长2，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴∠ABC=90°，扇形半径$r=BC=2$，即弧$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$n=90°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数值可得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式、正方形的性质
【点评】
本题属于弧长计算的基础题型，解题核心是结合正方形的性质准确找到弧对应扇形的圆心角和半径，再代入公式计算即可，解题时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【难度系数】
0.9
要计算弧$\overset{\frown}{AC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所在扇形的圆心角度数，$r$是扇形半径），因此需要先确定两个关键量：①弧$\overset{\frown}{AC}$所在扇形的圆心角度数；②扇形的半径。结合图形可知弧$\overset{\frown}{AC}$以B为圆心，BC为半径，且ABCD是正方形，可推出圆心角∠B=90°，半径等于正方形边长2，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴∠ABC=90°，扇形半径$r=BC=2$，即弧$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$n=90°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数值可得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式、正方形的性质
【点评】
本题属于弧长计算的基础题型，解题核心是结合正方形的性质准确找到弧对应扇形的圆心角和半径，再代入公式计算即可，解题时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【难度系数】
0.9
3.若一扇形的弧长为$6π$，半径为6，则该扇形的面积为
18π
，扇形圆心角的度数为180°
.答案
3. 18π，180°
解析
【分析】
解题时可分两步计算：第一步求扇形面积，已知扇形的弧长和半径，可直接选用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）计算，步骤更简便；第二步求扇形圆心角，可选用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），将已知的弧长、半径代入公式，解出$n$的值即可得到圆心角的度数。
【解析】
1. 计算扇形面积：
已知弧长$l=6π$，半径$r=6$，代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2} × 6π × 6 = 18π$
2. 计算扇形圆心角的度数：
设圆心角的度数为$n$，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$6π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时约去$π$，得：$6 = \frac{6n}{180}$
解得：$n=180$，即圆心角为$180°$
【答案】
$18π$，$180°$
【知识点】
扇形面积计算、弧长公式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形相关公式的直接应用，只要熟练记忆弧长和扇形面积的计算公式，代入数值计算即可得出结果，计算时注意约分化简，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步计算：第一步求扇形面积，已知扇形的弧长和半径，可直接选用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）计算，步骤更简便；第二步求扇形圆心角，可选用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），将已知的弧长、半径代入公式，解出$n$的值即可得到圆心角的度数。
【解析】
1. 计算扇形面积：
已知弧长$l=6π$，半径$r=6$，代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2} × 6π × 6 = 18π$
2. 计算扇形圆心角的度数：
设圆心角的度数为$n$，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$6π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时约去$π$，得：$6 = \frac{6n}{180}$
解得：$n=180$，即圆心角为$180°$
【答案】
$18π$，$180°$
【知识点】
扇形面积计算、弧长公式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形相关公式的直接应用，只要熟练记忆弧长和扇形面积的计算公式，代入数值计算即可得出结果，计算时注意约分化简，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
4.(2025·凉山州)如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2√2，则BC的长为
π
.答案
4.π
解析
【分析】要计算劣弧BC的长，需先明确弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，因此需要先求出弧BC所对的圆心角的度数$ n $和⊙O的半径$ r $。第一步先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数，再根据圆周角定理得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步结合已知BC的长度，在等腰△OBC中求解半径$ r $；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 求∠A的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为$ 180° $得：
$ ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 70° = 45° $
2. 求弧BC对应的圆心角∠BOC的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$ ∠ BOC = 2∠ A = 2×45° = 90° $
3. 求⊙O的半径$ r $：
设⊙O的半径为$ r $，则$ OB=OC=r $，又$ ∠ BOC=90° $，故△BOC是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$ OB^2 + OC^2 = BC^2 $，代入$ BC=2\sqrt{2} $：
$ r^2 + r^2 = (2\sqrt{2})^2 $
$ 2r^2 = 8 $
解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负根）
4. 计算劣弧BC的长：
代入弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n=90° $，$ r=2 $）：
$ l_{\overset{\frown}{BC}} = \frac{90×π×2}{180} = π $
【答案】π
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】本题核心是结合圆的性质和弧长公式求解，解题关键是通过圆周角定理建立圆周角和圆心角的联系，再结合特殊三角形的性质求出半径，是圆章节的基础常规题型。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求∠A的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为$ 180° $得：
$ ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 70° = 45° $
2. 求弧BC对应的圆心角∠BOC的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$ ∠ BOC = 2∠ A = 2×45° = 90° $
3. 求⊙O的半径$ r $：
设⊙O的半径为$ r $，则$ OB=OC=r $，又$ ∠ BOC=90° $，故△BOC是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$ OB^2 + OC^2 = BC^2 $，代入$ BC=2\sqrt{2} $：
$ r^2 + r^2 = (2\sqrt{2})^2 $
$ 2r^2 = 8 $
解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负根）
4. 计算劣弧BC的长：
代入弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n=90° $，$ r=2 $）：
$ l_{\overset{\frown}{BC}} = \frac{90×π×2}{180} = π $
【答案】π
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】本题核心是结合圆的性质和弧长公式求解，解题关键是通过圆周角定理建立圆周角和圆心角的联系，再结合特殊三角形的性质求出半径，是圆章节的基础常规题型。
【难度系数】0.7
5.(2025·宿迁泗阳县三模)如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,$\odot A$与$BC$相切于点$D$.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设$\odot A$上有一动点$P$,连接$CP$,$BP$.当$CP$的长最大时,求$BP$的长.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设$\odot A$上有一动点$P$,连接$CP$,$BP$.当$CP$的长最大时,求$BP$的长.
答案
5.解:(1)如答图,连接AD. $\because AB=3,AC=4,BC=5$,
$\therefore AC^2+AB^2=BC^2,\therefore ∠ BAC=90°$.
$\because \odot A$与BC相切于点D,$\therefore AD⊥ BC$,
$\therefore AD=\frac{AC· AB}{BC}=2.4$,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}× 4× 3-\frac{90π× 2.4^2}{360}=6-1.44π$.
(2)如答图,延长CA交$\odot A$于点P,连接PB,则CP的长最大,$AP=2.4$.
在Rt$△ ABP$中,由勾股定理,得$PB=\sqrt{3^2+2.4^2}=\frac{3\sqrt{41}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积=△ABC的面积-圆心角为∠BAC的扇形面积。首先根据△ABC的三边长为3、4、5，利用勾股逆定理可判断△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即扇形的圆心角为90°；再由⊙A与BC相切，可知切点D到圆心A的距离AD是⊙A的半径，且AD是BC边上的高，用面积法即可求出AD的长度；最后分别计算三角形和扇形的面积，相减即可得到阴影面积。
(2) 求CP最长时BP的长：圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此延长CA交⊙A于点P时，CP的长度最大。此时∠BAP=90°，已知AB和AP（即半径）的长度，利用勾股定理即可求出BP的长度。
【解析】
(1) 连接AD，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴$AC^2+AB^2=4^2+3^2=25=BC^2$，
∴∠BAC=90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，AD为⊙A的半径，
由三角形面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AD$，解得$AD=2.4$，
∴$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{90π×2.4^2}{360}=6-1.44π$。
(2) 延长CA交⊙A于点P，此时CP的长最大，$AP=AD=2.4$，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{3^2+2.4^2}=\frac{3\sqrt{41}}{5}$。
【答案】
(1) 阴影部分面积为$6-1.44π$；
(2) BP的长为$\frac{3\sqrt{41}}{5}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形判定、切线性质、扇形面积计算以及圆外点到圆上点的最值问题，解题时需先明确几何图形的性质，准确找到最值对应的点的位置，是较为典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积=△ABC的面积-圆心角为∠BAC的扇形面积。首先根据△ABC的三边长为3、4、5，利用勾股逆定理可判断△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即扇形的圆心角为90°；再由⊙A与BC相切，可知切点D到圆心A的距离AD是⊙A的半径，且AD是BC边上的高，用面积法即可求出AD的长度；最后分别计算三角形和扇形的面积，相减即可得到阴影面积。
(2) 求CP最长时BP的长：圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此延长CA交⊙A于点P时，CP的长度最大。此时∠BAP=90°，已知AB和AP（即半径）的长度，利用勾股定理即可求出BP的长度。
【解析】
(1) 连接AD，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴$AC^2+AB^2=4^2+3^2=25=BC^2$，
∴∠BAC=90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，AD为⊙A的半径，
由三角形面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AD$，解得$AD=2.4$，
∴$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{90π×2.4^2}{360}=6-1.44π$。
(2) 延长CA交⊙A于点P，此时CP的长最大，$AP=AD=2.4$，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{3^2+2.4^2}=\frac{3\sqrt{41}}{5}$。
【答案】
(1) 阴影部分面积为$6-1.44π$；
(2) BP的长为$\frac{3\sqrt{41}}{5}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形判定、切线性质、扇形面积计算以及圆外点到圆上点的最值问题，解题时需先明确几何图形的性质，准确找到最值对应的点的位置，是较为典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁泗洪县期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$∠ C=70°$,以$AB$为直径作半圆,与$AC$,$BC$分别相交于点$D$,$E$,则$\overset{\frown}{DE}$的长度为（
A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{5π}{9}$
C.$\frac{10π}{9}$
D.$\frac{25π}{9}$
C
）A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{5π}{9}$
C.$\frac{10π}{9}$
D.$\frac{25π}{9}$
答案
6.C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的长度，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此我们需要分别求出半圆的半径和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角的度数。首先由AB是直径可直接得到半径；再结合等腰三角形的内角性质求出$△ ABC$的各内角度数，利用同圆半径相等得到两个等腰三角形，求出其顶角后即可推出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$OD$、$OE$。
1. 求$△ ABC$的内角：
$\because AB=AC=10$，$∠ C=70°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=70°$，$∠ BAC=180° - 70° × 2=40°$。
2. 确定圆的半径：
$\because AB$是半圆$O$的直径，
$\therefore OA=OD=OB=OE=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 求$∠ AOD$和$∠ BOE$的度数：
$\because OA=OD$，$∠ OAD=40°$，
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD=40°$，$∠ AOD=180° - 40° × 2=100°$。
同理，$\because OB=OE$，$∠ OBE=70°$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OBE=70°$，$∠ BOE=180° - 70° × 2=40°$。
4. 求$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角$∠ DOE$：
$\because ∠ AOB$是平角，为$180°$，
$\therefore ∠ DOE=180° - ∠ AOD - ∠ BOE=180° - 100° - 40°=40°$。
5. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{40π × 5}{180}=\frac{10π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题解题的核心是明确弧长的计算条件，通过连接半径构造等腰三角形求出目标弧对应的圆心角，同时要熟练运用等腰三角形内角和性质、圆的半径相等等基础知识。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DE}$的长度，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此我们需要分别求出半圆的半径和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角的度数。首先由AB是直径可直接得到半径；再结合等腰三角形的内角性质求出$△ ABC$的各内角度数，利用同圆半径相等得到两个等腰三角形，求出其顶角后即可推出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$OD$、$OE$。
1. 求$△ ABC$的内角：
$\because AB=AC=10$，$∠ C=70°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=70°$，$∠ BAC=180° - 70° × 2=40°$。
2. 确定圆的半径：
$\because AB$是半圆$O$的直径，
$\therefore OA=OD=OB=OE=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 求$∠ AOD$和$∠ BOE$的度数：
$\because OA=OD$，$∠ OAD=40°$，
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD=40°$，$∠ AOD=180° - 40° × 2=100°$。
同理，$\because OB=OE$，$∠ OBE=70°$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OBE=70°$，$∠ BOE=180° - 70° × 2=40°$。
4. 求$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角$∠ DOE$：
$\because ∠ AOB$是平角，为$180°$，
$\therefore ∠ DOE=180° - ∠ AOD - ∠ BOE=180° - 100° - 40°=40°$。
5. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{40π × 5}{180}=\frac{10π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题解题的核心是明确弧长的计算条件，通过连接半径构造等腰三角形求出目标弧对应的圆心角，同时要熟练运用等腰三角形内角和性质、圆的半径相等等基础知识。
【难度系数】
0.7
