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9.(2025·宿迁宿城区期中)如图,正方形ABCD,等边三角形AEF内接于同一个圆,则$\overset{\frown}{BE}$的度数为
$30°$
.答案
9.$30°$
10.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE.
(1)$∠ CAE=$
(2)若$AE=4$,则$AC=$
(1)$∠ CAE=$
45
$°$;(2)若$AE=4$,则$AC=$
$2\sqrt{2}$
.答案
10.(1)45 (2)$2\sqrt{2}$
11.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形的面积平分,则直线l被正六边形所截得的线段长是
$4\sqrt{7}$
.答案
11.$4\sqrt{7}$
12. 如图，M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.
(1)求证: $△ ABM ≌ △ BCN$；
(2)求$∠ APN$的度数.
(1)求证: $△ ABM ≌ △ BCN$；
(2)求$∠ APN$的度数.
答案
12.(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠BCN.
在△ABM和△BCN中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠BCN, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)解:
∵△ABM≌△BCN,
∴∠MBP=∠BAP.
∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°,
∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°,
∴∠BPM=∠MBA.
∵∠BPM=∠APN，
∴∠APN=∠MBA=$\frac{(5-2)×180°}{5}$=108°.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠BCN.
在△ABM和△BCN中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠BCN, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)解:
∵△ABM≌△BCN,
∴∠MBP=∠BAP.
∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°,
∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°,
∴∠BPM=∠MBA.
∵∠BPM=∠APN，
∴∠APN=∠MBA=$\frac{(5-2)×180°}{5}$=108°.
13.如图,在边长为2 cm 的正六边形 ABCDEF 中,点 P 在 BC 边上,求△PEF 的面积.
答案
13.解:如答图,连接BE,BF.
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=120°,且 AB=AF.
∴∠ABF=∠AFB=30°,
∴∠CBF=∠EFB=90°,
∴BC//EF,
∴$S_{△PEF}=S_{△BEF}$.
∵直线 BE 是正六边形 ABCDEF 的对称轴，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°,
∴∠EBF=∠ABE-∠ABF=30°,
∴BF=$\sqrt{3}EF=2\sqrt{3}$ cm,
∴$S_{△PEF}=S_{△BEF}=\frac{1}{2}EF·BF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}(cm^2)$.
14.如图，P为正方形ABCD的外接圆的$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，求证：$\frac{PA+PC}{PB}$为定值。
第14题图
第14题图答案
14.证明:如答图,延长 PA 到点 E,使 AE=PC,连接 BE.
∵∠BAE+∠BAP=180°,∠BAP+∠PCB=180°,
∴∠BAE=∠PCB.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
在△ABE 和△CBP 中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠BAE=∠BCP, \\ AE=CP, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBP(SAS),
∴∠ABE=∠CBP,BE=BP,
∴∠ABE+∠ABP=∠ABP+∠CBP=90°,
∴△BEP 是等腰直角三角形，
∴PA+PC=PE=$\sqrt{2}PB$,即$\frac{PA+PC}{PB}=\sqrt{2}$,
∴$\frac{PA+PC}{PB}$为定值.
