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13.【数学应用】若“!”表示一种新运算，并且$1!=1$，$2!=2×1$，$3!=3×2×1$，则$100!÷99!$的运算结果是多少？
答案
13.解:$100!÷99!=100×99!÷99!=100$。
解析
【分析】首先要明确题目给出的新运算“!”的定义：n!表示从正整数n开始，依次乘比前一个数小1的正整数，直到乘到1为止。观察所求算式中的100!和99!，可发现100!可以拆分为100乘以99!，二者相除时相同的99!部分可以直接抵消，不需要计算复杂的大数乘积就能快速得出结果。
【解析】根据新运算的规则可得：
$100! = 100×99×98×\dots×1 = 100×99!$
因此$100!÷99! = 100×99!÷99! = 100$
【答案】100
【知识点】新定义运算，有理数乘除运算
【点评】本题重点考查对新运算规则的理解能力，解题的关键是找到不同阶乘之间的内在联系，通过转化简化计算，避免了计算超大数乘积的繁琐。
【难度系数】0.9
【解析】根据新运算的规则可得：
$100! = 100×99×98×\dots×1 = 100×99!$
因此$100!÷99! = 100×99!÷99! = 100$
【答案】100
【知识点】新定义运算，有理数乘除运算
【点评】本题重点考查对新运算规则的理解能力，解题的关键是找到不同阶乘之间的内在联系，通过转化简化计算，避免了计算超大数乘积的繁琐。
【难度系数】0.9
14.【综合与实践】阅读下列材料：
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一：原式$=\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=24×\frac{1}{3}-24×\frac{1}{4}+24×\frac{1}{12}=4$，所以原式$=\frac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同，解法
(2)请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一：原式$=\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=24×\frac{1}{3}-24×\frac{1}{4}+24×\frac{1}{12}=4$，所以原式$=\frac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同，解法
一
是错误的；(2)请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
答案
14.解:(1)一
(2)原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，
所以原式$=-\frac{1}{14}$。
(2)原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，
所以原式$=-\frac{1}{14}$。
解析
【分析】
(1) 运算律中只有乘法存在分配律，除法没有分配律，解法一错误地将除法套用乘法分配律，把被除数分别除以括号内的每一项，不符合除法运算法则，因此解法一错误。
(2) 对于被除数为单个数、除数为多个分数和差的运算，直接计算括号内的结果需要通分，计算量较大。我们可以利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法，此时就可以运用乘法分配律简化计算，算出倒数的结果后再取倒数，即可得到原式的结果，这种方法更简便且不易出错。
【解析】
(1) 除法不满足分配律，不能将被除数拆分后分别除以括号内的各项，解法一错误使用运算律，因此解法一是错误的。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{split}$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式$=1÷(-14)=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 一；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题考查有理数除法的运算技巧，解题时要注意除法不满足分配律，切勿错误套用运算律导致计算出错；当除数为多个分数的和差形式时，通过求倒数转化为可使用乘法分配律的运算，能大幅简化计算过程，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 运算律中只有乘法存在分配律，除法没有分配律，解法一错误地将除法套用乘法分配律，把被除数分别除以括号内的每一项，不符合除法运算法则，因此解法一错误。
(2) 对于被除数为单个数、除数为多个分数和差的运算，直接计算括号内的结果需要通分，计算量较大。我们可以利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法，此时就可以运用乘法分配律简化计算，算出倒数的结果后再取倒数，即可得到原式的结果，这种方法更简便且不易出错。
【解析】
(1) 除法不满足分配律，不能将被除数拆分后分别除以括号内的各项，解法一错误使用运算律，因此解法一是错误的。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{split}$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式$=1÷(-14)=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 一；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题考查有理数除法的运算技巧，解题时要注意除法不满足分配律，切勿错误套用运算律导致计算出错；当除数为多个分数的和差形式时，通过求倒数转化为可使用乘法分配律的运算，能大幅简化计算过程，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
15.【数学应用】有若干数，第1个数记为$a_1$，第2个数记为$a_2$……第$n$个数记为$a_n$。若$a_1=\frac{1}{2}$，从第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算$a_2=$
2
，$a_3=$-1
，$a_4=$$\frac{1}{2}$
，$a_{2027}=$2
。答案
15.$2\ \ -1\ \ \frac{1}{2}\ \ 2$
解析
【分析】
首先根据题目给出的递推规则：从第2个数起，每个数等于1与前一个数的差的倒数，我们可以先依次计算出$a_2$、$a_3$、$a_4$的值；计算后会发现数列存在周期性重复的规律，再利用周期规律就能快速求出序号较大的$a_{2027}$的值，不用逐个计算到第2027项。
【解析】
已知$a_1=\frac{1}{2}$，根据题意的递推规则：
1. 计算$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
2. 计算$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$
3. 计算$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
观察可得：$a_4=a_1$，说明该数列每3个数为一个周期循环，周期为3，循环顺序是$\frac{1}{2}、2、-1$。
4. 计算$a_{2027}$：先求2027除以3的余数，$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$a_{2027}$对应周期里的第2个数，即$a_{2027}=a_2=2$。
【答案】
$2；-1；\frac{1}{2}；2$
【知识点】
有理数四则运算；周期规律探究；倒数的定义
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既考查了有理数的基本运算能力，也考查了归纳数列规律、利用周期简化计算的能力，是数列规律考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的递推规则：从第2个数起，每个数等于1与前一个数的差的倒数，我们可以先依次计算出$a_2$、$a_3$、$a_4$的值；计算后会发现数列存在周期性重复的规律，再利用周期规律就能快速求出序号较大的$a_{2027}$的值，不用逐个计算到第2027项。
【解析】
已知$a_1=\frac{1}{2}$，根据题意的递推规则：
1. 计算$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
2. 计算$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$
3. 计算$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
观察可得：$a_4=a_1$，说明该数列每3个数为一个周期循环，周期为3，循环顺序是$\frac{1}{2}、2、-1$。
4. 计算$a_{2027}$：先求2027除以3的余数，$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$a_{2027}$对应周期里的第2个数，即$a_{2027}=a_2=2$。
【答案】
$2；-1；\frac{1}{2}；2$
【知识点】
有理数四则运算；周期规律探究；倒数的定义
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既考查了有理数的基本运算能力，也考查了归纳数列规律、利用周期简化计算的能力，是数列规律考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
