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例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，请写出计算结果.
(1)$(2a - 3b)(3b - 2a)$；
(2)$(-2a + 3b)(2a + 3b)$；
(3)$(-2a + 3b)(-2a - 3b)$.
【思路导析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数，就可以用到平方差公式.
【请你解答】
(1)$(2a - 3b)(3b - 2a)$；
(2)$(-2a + 3b)(2a + 3b)$；
(3)$(-2a + 3b)(-2a - 3b)$.
【思路导析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数，就可以用到平方差公式.
【请你解答】
答案
解：
(1) 两个多项式中不存在相同的项，两项均互为相反数，不能用平方差公式计算。
(2) 两个多项式中相同项为$3b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，可用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(2a + 3b)&=(3b-2a)(3b+2a)\\&=(3b)^2-(2a)^2\\&=9b^2-4a^2\end{aligned}$
(3) 两个多项式中相同项为$-2a$，互为相反数的项为$3b$和$-3b$，可用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(-2a - 3b)&=(-2a)^2-(3b)^2\\&=4a^2-9b^2\end{aligned}$
(1) 两个多项式中不存在相同的项，两项均互为相反数，不能用平方差公式计算。
(2) 两个多项式中相同项为$3b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，可用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(2a + 3b)&=(3b-2a)(3b+2a)\\&=(3b)^2-(2a)^2\\&=9b^2-4a^2\end{aligned}$
(3) 两个多项式中相同项为$-2a$，互为相反数的项为$3b$和$-3b$，可用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(-2a - 3b)&=(-2a)^2-(3b)^2\\&=4a^2-9b^2\end{aligned}$
解析
【分析】
解题首先要明确平方差公式的适用特征：两个二项式相乘时，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算，计算结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们只需逐个分析3个式子的项，对比是否存在相同项和相反项，就能判断能否用公式，符合特征的直接套用公式计算即可。
【解析】
(1) 观察$(2a - 3b)(3b - 2a)$，两个因式的项分别为$2a、-3b$和$3b、-2a$，不存在完全相同的项，两项均互为相反数，因此不能用平方差公式计算。
(2) 观察$(-2a + 3b)(2a + 3b)$，两个因式中相同项为$3b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式特征，计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(2a + 3b)&=(3b-2a)(3b+2a)\\&=(3b)^2-(2a)^2\\&=9b^2-4a^2\end{aligned}$
(3) 观察$(-2a + 3b)(-2a - 3b)$，两个因式中相同项为$-2a$，互为相反数的项为$3b$和$-3b$，符合平方差公式特征，计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(-2a - 3b)&=(-2a)^2-(3b)^2\\&=4a^2-9b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 不能用平方差公式计算；
(2) 能用平方差公式计算，结果为$9b^2-4a^2$；
(3) 能用平方差公式计算，结果为$4a^2-9b^2$。
【知识点】
平方差公式的适用条件；平方差公式的运算
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的辨识能力，准确抓住“一项完全相同、一项互为相反数”的核心特征是解题的关键，是平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确平方差公式的适用特征：两个二项式相乘时，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算，计算结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们只需逐个分析3个式子的项，对比是否存在相同项和相反项，就能判断能否用公式，符合特征的直接套用公式计算即可。
【解析】
(1) 观察$(2a - 3b)(3b - 2a)$，两个因式的项分别为$2a、-3b$和$3b、-2a$，不存在完全相同的项，两项均互为相反数，因此不能用平方差公式计算。
(2) 观察$(-2a + 3b)(2a + 3b)$，两个因式中相同项为$3b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式特征，计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(2a + 3b)&=(3b-2a)(3b+2a)\\&=(3b)^2-(2a)^2\\&=9b^2-4a^2\end{aligned}$
(3) 观察$(-2a + 3b)(-2a - 3b)$，两个因式中相同项为$-2a$，互为相反数的项为$3b$和$-3b$，符合平方差公式特征，计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2a + 3b)(-2a - 3b)&=(-2a)^2-(3b)^2\\&=4a^2-9b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 不能用平方差公式计算；
(2) 能用平方差公式计算，结果为$9b^2-4a^2$；
(3) 能用平方差公式计算，结果为$4a^2-9b^2$。
【知识点】
平方差公式的适用条件；平方差公式的运算
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的辨识能力，准确抓住“一项完全相同、一项互为相反数”的核心特征是解题的关键，是平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
例2 利用平方差公式计算：
(1)$59.8× 60.2$；
(2)$103× 97$；
(3)$(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\dfrac{1}{4}$。
【思路导析】设法构建两数和与两数差，再利用平方差公式计算。
【请你解答】
(1)$59.8× 60.2$；
(2)$103× 97$；
(3)$(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\dfrac{1}{4}$。
【思路导析】设法构建两数和与两数差，再利用平方差公式计算。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=(60-0.2)×(60+0.2)$
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
(2) 原式$=(100+3)×(100-3)$
$=100^2 - 3^2$
$=10000 - 9$
$=9991$
(3) 原式$=\frac{1}{4}×(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^4-1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^8-1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{32}-1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}$
(1) 原式$=(60-0.2)×(60+0.2)$
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
(2) 原式$=(100+3)×(100-3)$
$=100^2 - 3^2$
$=10000 - 9$
$=9991$
(3) 原式$=\frac{1}{4}×(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^4-1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^8-1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{32}-1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}$
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的灵活应用，解题思路如下：
1. 第(1)(2)小题：两个乘数都在同一个整十/整百数附近，且与该整十/整百数的差值相等，因此可将两个乘数拆成“整十/整百数+较小数”和“整十/整百数-较小数”的形式，直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，简化运算过程。
2. 第(3)小题：观察乘积项的结构，每一项都为$5$的偶次幂加$1$，符合平方差公式中“$a+b$”的结构，缺失对应的“$a-b$”项，因此给乘积部分先乘$(5-1)$（即$4$），同时乘$\frac{1}{4}$保证原式大小不变，即可连续套用平方差公式逐步化简，最后抵消常数项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(60-0.2)×(60+0.2)$
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
(2) 原式$=(100+3)×(100-3)$
$=100^2 - 3^2$
$=10000 - 9$
$=9991$
(3) 原式$=\frac{1}{4}×(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^4-1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^8-1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{32}-1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}$
【答案】
(1)$3599.96$；(2)$9991$；(3)$\dfrac{5^{32}}{4}$
【知识点】
平方差公式、乘法简便运算、构造法巧算
【点评】
本题核心考查对平方差公式结构特征的理解与运用，前两题属于基础变形应用，帮助熟悉公式适用场景；第三题需要主动构造符合公式的形式，连续多次应用公式，可有效提升对公式的识别能力和巧算意识。
【难度系数】
0.7
这道题考查平方差公式的灵活应用，解题思路如下：
1. 第(1)(2)小题：两个乘数都在同一个整十/整百数附近，且与该整十/整百数的差值相等，因此可将两个乘数拆成“整十/整百数+较小数”和“整十/整百数-较小数”的形式，直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，简化运算过程。
2. 第(3)小题：观察乘积项的结构，每一项都为$5$的偶次幂加$1$，符合平方差公式中“$a+b$”的结构，缺失对应的“$a-b$”项，因此给乘积部分先乘$(5-1)$（即$4$），同时乘$\frac{1}{4}$保证原式大小不变，即可连续套用平方差公式逐步化简，最后抵消常数项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(60-0.2)×(60+0.2)$
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
(2) 原式$=(100+3)×(100-3)$
$=100^2 - 3^2$
$=10000 - 9$
$=9991$
(3) 原式$=\frac{1}{4}×(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^4-1)(5^4+1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^8-1)(5^8+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{32}-1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}$
【答案】
(1)$3599.96$；(2)$9991$；(3)$\dfrac{5^{32}}{4}$
【知识点】
平方差公式、乘法简便运算、构造法巧算
【点评】
本题核心考查对平方差公式结构特征的理解与运用，前两题属于基础变形应用，帮助熟悉公式适用场景；第三题需要主动构造符合公式的形式，连续多次应用公式，可有效提升对公式的识别能力和巧算意识。
【难度系数】
0.7
例3 $(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{2025^2})·(1-\dfrac{1}{2026^2}).$
【思路导析】原式$\xrightarrow{\mathrm{逆用平方差公式}}$找规律$\xrightarrow{}$最终结果.
【示范解答】
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})···$
$\quad(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}.$
【思路导析】原式$\xrightarrow{\mathrm{逆用平方差公式}}$找规律$\xrightarrow{}$最终结果.
【示范解答】
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})···$
$\quad(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}.$
答案
解：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
解析
【分析】
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个分数的平方”的形式，符合平方差公式的特征，因此可以先逆用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，把每个因式拆成两个分数相乘的形式，拆分后可发现相邻分数存在互为倒数的关系，通过约分就能快速简化计算，最终得到结果。
【解析】
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
$\dfrac{2027}{4052}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的逆用，解题的关键是准确识别因式的结构特征，通过公式拆分将复杂的连乘运算转化为可约分的简便运算，能有效提升学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个分数的平方”的形式，符合平方差公式的特征，因此可以先逆用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，把每个因式拆成两个分数相乘的形式，拆分后可发现相邻分数存在互为倒数的关系，通过约分就能快速简化计算，最终得到结果。
【解析】
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2026})(1+\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
$\dfrac{2027}{4052}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的逆用，解题的关键是准确识别因式的结构特征，通过公式拆分将复杂的连乘运算转化为可约分的简便运算，能有效提升学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
