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8.若$(a^m)^2 · (b^{n+1})^2 ÷ a^n b = a^3 b^3$，那么$m^2 +n$的值是（）
A.5
B.3
D.4
A.5
B.3
D.4
答案
解：
先化简等式左边：
$\begin{aligned}(a^m)^2 · (b^{n+1})^2 ÷ a^n b&=a^{2m} · b^{2n+2} ÷ a^n b\\&=a^{2m-n} b^{2n+2-1}\\&=a^{2m-n} b^{2n+1}\end{aligned}$
由等式两边对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m - n = 3 \\2n + 1 = 3\end{cases}$
解$2n+1=3$，得$n=1$，
将$n=1$代入$2m-n=3$，得$2m-1=3$，解得$m=2$。
因此$m^2 +n = 2^2 +1 = 5$。
答案选A。
先化简等式左边：
$\begin{aligned}(a^m)^2 · (b^{n+1})^2 ÷ a^n b&=a^{2m} · b^{2n+2} ÷ a^n b\\&=a^{2m-n} b^{2n+2-1}\\&=a^{2m-n} b^{2n+1}\end{aligned}$
由等式两边对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m - n = 3 \\2n + 1 = 3\end{cases}$
解$2n+1=3$，得$n=1$，
将$n=1$代入$2m-n=3$，得$2m-1=3$，解得$m=2$。
因此$m^2 +n = 2^2 +1 = 5$。
答案选A。
解析
【分析】
解题时首先利用幂的运算性质化简等式左侧的整式：先根据幂的乘方法则计算乘方项，再根据同底数幂的乘、除法法则合并同类项，得到化简后含m、n的幂的形式。由于等式两边相同底数的幂的指数对应相等，可列出关于m、n的方程组，求解得到m、n的值后代入$m^2 +n$计算即可得到结果。
【解析】
先化简等式左边：
$\begin{aligned}(a^m)^2 · (b^{n+1})^2 ÷ a^n b&=a^{2m} · b^{2n+2} ÷ a^n b\\&=a^{2m-n} b^{(2n+2)-1}\\&=a^{2m-n} b^{2n+1}\end{aligned}$
根据等式两边相同底数的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m - n = 3 \\2n + 1 = 3\end{cases}$
先解方程$2n+1=3$，移项得$2n=2$，解得$n=1$。
将$n=1$代入$2m-n=3$，得$2m-1=3$，移项得$2m=4$，解得$m=2$。
将$m=2$，$n=1$代入$m^2 +n$，得$m^2 +n = 2^2 +1 = 5$。
【答案】
A
【知识点】
幂的运算、同底数幂乘除法、代数式求值
【点评】
本题主要考察幂运算的基本法则，解题的核心是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘除的指数变化规律，通过指数对应相等建立方程求解未知量，是整式运算章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用幂的运算性质化简等式左侧的整式：先根据幂的乘方法则计算乘方项，再根据同底数幂的乘、除法法则合并同类项，得到化简后含m、n的幂的形式。由于等式两边相同底数的幂的指数对应相等，可列出关于m、n的方程组，求解得到m、n的值后代入$m^2 +n$计算即可得到结果。
【解析】
先化简等式左边：
$\begin{aligned}(a^m)^2 · (b^{n+1})^2 ÷ a^n b&=a^{2m} · b^{2n+2} ÷ a^n b\\&=a^{2m-n} b^{(2n+2)-1}\\&=a^{2m-n} b^{2n+1}\end{aligned}$
根据等式两边相同底数的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m - n = 3 \\2n + 1 = 3\end{cases}$
先解方程$2n+1=3$，移项得$2n=2$，解得$n=1$。
将$n=1$代入$2m-n=3$，得$2m-1=3$，移项得$2m=4$，解得$m=2$。
将$m=2$，$n=1$代入$m^2 +n$，得$m^2 +n = 2^2 +1 = 5$。
【答案】
A
【知识点】
幂的运算、同底数幂乘除法、代数式求值
【点评】
本题主要考察幂运算的基本法则，解题的核心是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘除的指数变化规律，通过指数对应相等建立方程求解未知量，是整式运算章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
9.计算$(-4a^3 + 12a^2b - 8a^3b^2) ÷ (-4a^2)$的结果为()
A.$a + 2ab^2$
B.$a - 3b + 2ab^2$
C.$a^2 - 3b + 2ab^2$
D.$a - 3b + 0.5a$
A.$a + 2ab^2$
B.$a - 3b + 2ab^2$
C.$a^2 - 3b + 2ab^2$
D.$a - 3b + 0.5a$
答案
B
解析
【分析】
本题是多项式除以单项式的运算题，解题思路是遵循多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。计算时要注意两点：一是除法运算的符号法则，同号相除得正，异号相除得负；二是同底数幂相除时，底数不变，指数相减，按顺序计算每一项的商后合并即可得到结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，分别计算每一项除以$-4a^2$的商：
1. 计算第一项的商：$(-4a^3) ÷ (-4a^2) = [(-4)÷(-4)] · (a^{3}÷ a^{2}) = 1 · a^{1} = a$
2. 计算第二项的商：$12a^2b ÷ (-4a^2) = [12÷(-4)] · (a^2÷ a^2) · b = -3 · 1 · b = -3b$
3. 计算第三项的商：$(-8a^3b^2) ÷ (-4a^2) = [(-8)÷(-4)] · (a^3÷ a^2) · b^2 = 2 · a · b^2 = 2ab^2$
将三个商相加，得到最终结果：$a - 3b + 2ab^2$。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查多项式除以单项式的运算规则，解题时需注意符号的判断和同底数幂的指数运算，避免因符号错误或指数计算失误丢分，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是多项式除以单项式的运算题，解题思路是遵循多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。计算时要注意两点：一是除法运算的符号法则，同号相除得正，异号相除得负；二是同底数幂相除时，底数不变，指数相减，按顺序计算每一项的商后合并即可得到结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，分别计算每一项除以$-4a^2$的商：
1. 计算第一项的商：$(-4a^3) ÷ (-4a^2) = [(-4)÷(-4)] · (a^{3}÷ a^{2}) = 1 · a^{1} = a$
2. 计算第二项的商：$12a^2b ÷ (-4a^2) = [12÷(-4)] · (a^2÷ a^2) · b = -3 · 1 · b = -3b$
3. 计算第三项的商：$(-8a^3b^2) ÷ (-4a^2) = [(-8)÷(-4)] · (a^3÷ a^2) · b^2 = 2 · a · b^2 = 2ab^2$
将三个商相加，得到最终结果：$a - 3b + 2ab^2$。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查多项式除以单项式的运算规则，解题时需注意符号的判断和同底数幂的指数运算，避免因符号错误或指数计算失误丢分，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 下列计算正确的是()
A.$(-2a^2b^3)÷(-2ab)=a^2b^2$
B.$(3x^2y - 6xy)÷6xy=0.5x$
C.$(21x^5y^2 - 9x^4y^3)÷3x^3y^2=7x^2 - 3xy$
D.$(3x^2y + xy)÷xy=3x$
A.$(-2a^2b^3)÷(-2ab)=a^2b^2$
B.$(3x^2y - 6xy)÷6xy=0.5x$
C.$(21x^5y^2 - 9x^4y^3)÷3x^3y^2=7x^2 - 3xy$
D.$(3x^2y + xy)÷xy=3x$
答案
C
解析
【分析】
本题考查整式除法的运算，解题思路是根据整式除法的相关法则，逐个计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比判断正误，最终选出正确选项。运算时需注意：单项式除以单项式要分别计算系数、同底数幂的商，多项式除以单项式要将每一项分别除以单项式再求和，不能漏除任意一项。
【解析】
我们根据整式除法法则逐一计算各选项：
选项A：单项式除以单项式，$(-2a^2b^3)÷(-2ab)=[(-2)÷(-2)]· a^{2-1}· b^{3-1}=ab^2$，和选项给出的$a^2b^2$不符，A错误。
选项B：多项式除以单项式，将两项分别除以$6xy$再求和：$(3x^2y - 6xy)÷6xy=3x^2y÷6xy + (-6xy)÷6xy=0.5x -1$，和选项给出的$0.5x$不符，B错误。
选项C：多项式除以单项式，分别计算两项的商：$(21x^5y^2 - 9x^4y^3)÷3x^3y^2=21x^5y^2÷3x^3y^2 + (-9x^4y^3)÷3x^3y^2=7x^2 - 3xy$，和选项结果一致，C正确。
选项D：多项式除以单项式，分别计算两项的商：$(3x^2y + xy)÷xy=3x^2y÷xy + xy÷xy=3x + 1$，和选项给出的$3x$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础考查题，核心是掌握整式除法的运算规则，易错点是计算多项式除以单项式时漏除常数项、指数运算错误或符号出错，运算时要逐项计算，做完后注意检查是否有漏项。
【难度系数】
0.7
本题考查整式除法的运算，解题思路是根据整式除法的相关法则，逐个计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比判断正误，最终选出正确选项。运算时需注意：单项式除以单项式要分别计算系数、同底数幂的商，多项式除以单项式要将每一项分别除以单项式再求和，不能漏除任意一项。
【解析】
我们根据整式除法法则逐一计算各选项：
选项A：单项式除以单项式，$(-2a^2b^3)÷(-2ab)=[(-2)÷(-2)]· a^{2-1}· b^{3-1}=ab^2$，和选项给出的$a^2b^2$不符，A错误。
选项B：多项式除以单项式，将两项分别除以$6xy$再求和：$(3x^2y - 6xy)÷6xy=3x^2y÷6xy + (-6xy)÷6xy=0.5x -1$，和选项给出的$0.5x$不符，B错误。
选项C：多项式除以单项式，分别计算两项的商：$(21x^5y^2 - 9x^4y^3)÷3x^3y^2=21x^5y^2÷3x^3y^2 + (-9x^4y^3)÷3x^3y^2=7x^2 - 3xy$，和选项结果一致，C正确。
选项D：多项式除以单项式，分别计算两项的商：$(3x^2y + xy)÷xy=3x^2y÷xy + xy÷xy=3x + 1$，和选项给出的$3x$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础考查题，核心是掌握整式除法的运算规则，易错点是计算多项式除以单项式时漏除常数项、指数运算错误或符号出错，运算时要逐项计算，做完后注意检查是否有漏项。
【难度系数】
0.7
11.若$3a^{m-n} ÷ 4a = \dfrac{3}{4}(a ≠ 1)$，且$2m + n = 2$，求$3m - 4n$的值。
答案
解：
根据单项式除以单项式的运算法则：
$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}a^{m-n-1}$
由$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}$，且$a≠1$，可知$a^{m-n-1}=a^0$，因此：
$m - n - 1 = 0$，即 $m - n = 1$
联立方程组：
$\begin{cases}m - n = 1 \\2m + n = 2\end{cases}$
将两个方程相加，得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入$m-n=1$，得$1-n=1$，解得$n=0$。
因此$3m - 4n = 3×1 - 4×0 = 3$。
根据单项式除以单项式的运算法则：
$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}a^{m-n-1}$
由$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}$，且$a≠1$，可知$a^{m-n-1}=a^0$，因此：
$m - n - 1 = 0$，即 $m - n = 1$
联立方程组：
$\begin{cases}m - n = 1 \\2m + n = 2\end{cases}$
将两个方程相加，得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入$m-n=1$，得$1-n=1$，解得$n=0$。
因此$3m - 4n = 3×1 - 4×0 = 3$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知的整式除法运算，等式结果不含字母a，且a≠1，说明运算后a的指数为0（只有非零数的0次幂等于1，才能让结果不含a）。第一步先根据单项式除以单项式的法则计算左边的式子，得到a的指数表达式，令指数为0即可得到一个关于m、n的方程；再结合题目给出的2m+n=2，联立成二元一次方程组，解出m、n的值，最后代入3m-4n计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则，计算得：
$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}a^{(m-n)-1} = \frac{3}{4}a^{m-n-1}$
已知$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}$，且$a≠1$，因此只有当$a^{m-n-1}=a^0=1$时等式成立，由此可得：
$m - n - 1 = 0$，整理得 $m - n = 1$
联立方程组：
$\begin{cases}m - n = 1 \\2m + n = 2\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入$m-n=1$，得$1 - n = 1$，解得$n=0$。
将$m=1$，$n=0$代入$3m - 4n$，得：
$3m - 4n = 3×1 - 4×0 = 3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
单项式除以单项式，零指数幂的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算与方程组求解的综合基础题，解题的核心是结合a的取值特征推导得出a的指数为0，进而建立方程联立求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知的整式除法运算，等式结果不含字母a，且a≠1，说明运算后a的指数为0（只有非零数的0次幂等于1，才能让结果不含a）。第一步先根据单项式除以单项式的法则计算左边的式子，得到a的指数表达式，令指数为0即可得到一个关于m、n的方程；再结合题目给出的2m+n=2，联立成二元一次方程组，解出m、n的值，最后代入3m-4n计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则，计算得：
$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}a^{(m-n)-1} = \frac{3}{4}a^{m-n-1}$
已知$3a^{m-n} ÷ 4a = \frac{3}{4}$，且$a≠1$，因此只有当$a^{m-n-1}=a^0=1$时等式成立，由此可得：
$m - n - 1 = 0$，整理得 $m - n = 1$
联立方程组：
$\begin{cases}m - n = 1 \\2m + n = 2\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入$m-n=1$，得$1 - n = 1$，解得$n=0$。
将$m=1$，$n=0$代入$3m - 4n$，得：
$3m - 4n = 3×1 - 4×0 = 3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
单项式除以单项式，零指数幂的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算与方程组求解的综合基础题，解题的核心是结合a的取值特征推导得出a的指数为0，进而建立方程联立求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$3^{x-1} × (-27) × 3^{x+2}$；
(2)$2(a^4)^3 - (a^7)^2 ÷ a^2$；
(3)$(m-n)^4 ÷ (m-n)^3 · (n-m)^5$；
(4)$-1^{2026} ÷ (π - 3.14)^0 - 2 × (-3)$；
(5)$( \frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6 ) ÷ ( -\frac{1}{6}xy^3 )^2$；
(6)$[4y(2x - y) + 2x(y - 2x)] ÷ (4x - 2y)$。
(1)$3^{x-1} × (-27) × 3^{x+2}$；
(2)$2(a^4)^3 - (a^7)^2 ÷ a^2$；
(3)$(m-n)^4 ÷ (m-n)^3 · (n-m)^5$；
(4)$-1^{2026} ÷ (π - 3.14)^0 - 2 × (-3)$；
(5)$( \frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6 ) ÷ ( -\frac{1}{6}xy^3 )^2$；
(6)$[4y(2x - y) + 2x(y - 2x)] ÷ (4x - 2y)$。
答案
解：
(1)
原式$=3^{x-1} × (-3^3) × 3^{x+2}$
$=-3^{x-1+3+x+2}$
$=-3^{2x+4}$
(2)
原式$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^2$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3)
原式$=(m-n) · (n-m)^5$
$=-(n-m) · (n-m)^5$
$=-(n-m)^6$
(4)
原式$=-1 ÷ 1 - 2×(-3)$
$=-1 + 6$
$=5$
(5)
原式$=(\frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6) ÷ (\frac{1}{36}x^2y^6)$
$=\frac{2}{3}x^4y^7 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6 - \frac{1}{9}x^2y^6 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6$
$=24x^2y - 4$
(6)
原式$=[4y(2x-y)-2x(2x-y)] ÷ [2(2x-y)]$
$=[(2x-y)(4y-2x)] ÷ [2(2x-y)]$
$=(4y-2x)÷ 2$
$=2y - x$
(1)
原式$=3^{x-1} × (-3^3) × 3^{x+2}$
$=-3^{x-1+3+x+2}$
$=-3^{2x+4}$
(2)
原式$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^2$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3)
原式$=(m-n) · (n-m)^5$
$=-(n-m) · (n-m)^5$
$=-(n-m)^6$
(4)
原式$=-1 ÷ 1 - 2×(-3)$
$=-1 + 6$
$=5$
(5)
原式$=(\frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6) ÷ (\frac{1}{36}x^2y^6)$
$=\frac{2}{3}x^4y^7 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6 - \frac{1}{9}x^2y^6 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6$
$=24x^2y - 4$
(6)
原式$=[4y(2x-y)-2x(2x-y)] ÷ [2(2x-y)]$
$=[(2x-y)(4y-2x)] ÷ [2(2x-y)]$
$=(4y-2x)÷ 2$
$=2y - x$
解析
【分析】
本题组考查整式的相关运算，解题思路如下：①遵循运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的部分；②涉及幂的运算时，先将底数不同的幂转化为同底数幂（如第(1)题将-27改写为$-3^3$，第(3)题将$(m-n)$转化为$-(n-m)$），再结合同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则计算；③多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式再合并结果（如第(5)题）；④若分子分母存在公因式，可先提取公因式约分简化运算（如第(6)题）；⑤牢记特殊运算规则：非零数的0次幂等于1，单独的指数运算注意底数是否带括号（如第(4)题$-1^{2026}$的底数是1，结果为-1）。
【解析】
(1)
原式$=3^{x-1} × (-3^3) × 3^{x+2}$
$=-3^{x-1+3+x+2}$
$=-3^{2x+4}$
(2)
原式$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^2$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3)
原式$=(m-n) · (n-m)^5$
$=-(n-m) · (n-m)^5$
$=-(n-m)^6$
(4)
原式$=-1 ÷ 1 - 2×(-3)$
$=-1 + 6$
$=5$
(5)
原式$=(\frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6) ÷ (\frac{1}{36}x^2y^6)$
$=\frac{2}{3}x^4y^7 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6 - \frac{1}{9}x^2y^6 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6$
$=24x^2y - 4$
(6)
原式$=[4y(2x-y)-2x(2x-y)] ÷ [2(2x-y)]$
$=[(2x-y)(4y-2x)] ÷ [2(2x-y)]$
$=(4y-2x)÷ 2$
$=2y - x$
【答案】
(1) $-3^{2x+4}$；(2) $a^{12}$；(3) $-(n-m)^6$；(4) $5$；(5) $24x^2y-4$；(6) $2y-x$
【知识点】
幂的运算性质；整式混合运算；零指数幂运算
【点评】
本题组是整式运算的常规基础题型，全面覆盖了整式运算的核心考点，解题时需重点关注运算顺序、符号判断、底数统一三个易错点，熟练掌握相关运算法则是准确解题的前提。
【难度系数】
0.7
本题组考查整式的相关运算，解题思路如下：①遵循运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的部分；②涉及幂的运算时，先将底数不同的幂转化为同底数幂（如第(1)题将-27改写为$-3^3$，第(3)题将$(m-n)$转化为$-(n-m)$），再结合同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则计算；③多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式再合并结果（如第(5)题）；④若分子分母存在公因式，可先提取公因式约分简化运算（如第(6)题）；⑤牢记特殊运算规则：非零数的0次幂等于1，单独的指数运算注意底数是否带括号（如第(4)题$-1^{2026}$的底数是1，结果为-1）。
【解析】
(1)
原式$=3^{x-1} × (-3^3) × 3^{x+2}$
$=-3^{x-1+3+x+2}$
$=-3^{2x+4}$
(2)
原式$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^2$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3)
原式$=(m-n) · (n-m)^5$
$=-(n-m) · (n-m)^5$
$=-(n-m)^6$
(4)
原式$=-1 ÷ 1 - 2×(-3)$
$=-1 + 6$
$=5$
(5)
原式$=(\frac{2}{3}x^4y^7 - \frac{1}{9}x^2y^6) ÷ (\frac{1}{36}x^2y^6)$
$=\frac{2}{3}x^4y^7 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6 - \frac{1}{9}x^2y^6 ÷ \frac{1}{36}x^2y^6$
$=24x^2y - 4$
(6)
原式$=[4y(2x-y)-2x(2x-y)] ÷ [2(2x-y)]$
$=[(2x-y)(4y-2x)] ÷ [2(2x-y)]$
$=(4y-2x)÷ 2$
$=2y - x$
【答案】
(1) $-3^{2x+4}$；(2) $a^{12}$；(3) $-(n-m)^6$；(4) $5$；(5) $24x^2y-4$；(6) $2y-x$
【知识点】
幂的运算性质；整式混合运算；零指数幂运算
【点评】
本题组是整式运算的常规基础题型，全面覆盖了整式运算的核心考点，解题时需重点关注运算顺序、符号判断、底数统一三个易错点，熟练掌握相关运算法则是准确解题的前提。
【难度系数】
0.7
13. (1)先化简,再求值:
$(-\dfrac{3}{4}x^4y^7 + \dfrac{1}{2}x^3y^8 - \dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2),$
其中 $x=-1,y=-2;$
(2)解方程:
$[2x^3(2x - 3) - x^2] ÷ 2x^2 = x(2x - 1).$
$(-\dfrac{3}{4}x^4y^7 + \dfrac{1}{2}x^3y^8 - \dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2),$
其中 $x=-1,y=-2;$
(2)解方程:
$[2x^3(2x - 3) - x^2] ÷ 2x^2 = x(2x - 1).$
答案
解：
(1) 原式
$= (-\dfrac{3}{4}x^4y^7) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + \dfrac{1}{2}x^3y^8 ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + (-\dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2)$
$= \dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$
当$x=-1,y=-2$时，
代入得：
$\dfrac{9}{4}×(-1)^3×(-2)^5 - \dfrac{3}{2}×(-1)^2×(-2)^6 + \dfrac{1}{3}×(-1)×(-2)^4$
$= \dfrac{9}{4}×(-1)×(-32) - \dfrac{3}{2}×1×64 + \dfrac{1}{3}×(-1)×16$
$= 72 - 96 - \dfrac{16}{3}$
$= -\dfrac{88}{3}$
(2) 原方程左边化简：
$[2x^3(2x-3)-x^2] ÷ 2x^2$
$= (4x^4 -6x^3 -x^2) ÷ 2x^2$
$= 2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2}$
原方程可化为：
$2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2} = 2x^2 - x$
移项，得：
$2x^2 - 3x - 2x^2 + x = \dfrac{1}{2}$
合并同类项，得：
$-2x = \dfrac{1}{2}$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{1}{4}$
(1) 原式
$= (-\dfrac{3}{4}x^4y^7) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + \dfrac{1}{2}x^3y^8 ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + (-\dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2)$
$= \dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$
当$x=-1,y=-2$时，
代入得：
$\dfrac{9}{4}×(-1)^3×(-2)^5 - \dfrac{3}{2}×(-1)^2×(-2)^6 + \dfrac{1}{3}×(-1)×(-2)^4$
$= \dfrac{9}{4}×(-1)×(-32) - \dfrac{3}{2}×1×64 + \dfrac{1}{3}×(-1)×16$
$= 72 - 96 - \dfrac{16}{3}$
$= -\dfrac{88}{3}$
(2) 原方程左边化简：
$[2x^3(2x-3)-x^2] ÷ 2x^2$
$= (4x^4 -6x^3 -x^2) ÷ 2x^2$
$= 2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2}$
原方程可化为：
$2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2} = 2x^2 - x$
移项，得：
$2x^2 - 3x - 2x^2 + x = \dfrac{1}{2}$
合并同类项，得：
$-2x = \dfrac{1}{2}$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
(1) 本题为整式化简求值题，解题思路如下：第一步先依据多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加完成化简，第二步把$x=-1$、$y=-2$代入化简后的式子计算最终结果，运算时要重点关注各项符号以及同底数幂的除法运算规则。
(2) 本题为含整式运算的一元一次方程，解题思路如下：先按运算顺序化简方程左侧的整式，先计算括号内的单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式，将原方程转化为普通一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1三步求出方程的解，整式运算时注意不要算错系数和幂的次数。
【解析】
(1) 利用多项式除以单项式法则展开计算：
原式$= (-\dfrac{3}{4}x^4y^7) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + \dfrac{1}{2}x^3y^8 ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + (-\dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2)$
$= \dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$
当$x=-1,y=-2$时，代入化简后的式子：
$\dfrac{9}{4}×(-1)^3×(-2)^5 - \dfrac{3}{2}×(-1)^2×(-2)^6 + \dfrac{1}{3}×(-1)×(-2)^4$
$= \dfrac{9}{4}×(-1)×(-32) - \dfrac{3}{2}×1×64 + \dfrac{1}{3}×(-1)×16$
$= 72 - 96 - \dfrac{16}{3}$
$= -\dfrac{88}{3}$
(2) 先化简方程左边的整式：
左边$=[2x^3(2x-3)-x^2] ÷ 2x^2$
$= (4x^4 -6x^3 -x^2) ÷ 2x^2$
$= 2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2}$
原方程可化为：
$2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2} = 2x^2 - x$
移项，得：
$2x^2 - 3x - 2x^2 + x = \dfrac{1}{2}$
合并同类项，得：
$-2x = \dfrac{1}{2}$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) 化简结果为$\dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$，求值结果为$-\dfrac{88}{3}$；
(2) 方程的解为$x=-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
多项式除以单项式，整式化简求值，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查整式运算的基本规则和解方程的基础方法，运算过程中要注意同底数幂的乘除规则、正负号的处理，避免因粗心出现计算错误，熟练掌握整式运算的基本法则是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为整式化简求值题，解题思路如下：第一步先依据多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加完成化简，第二步把$x=-1$、$y=-2$代入化简后的式子计算最终结果，运算时要重点关注各项符号以及同底数幂的除法运算规则。
(2) 本题为含整式运算的一元一次方程，解题思路如下：先按运算顺序化简方程左侧的整式，先计算括号内的单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式，将原方程转化为普通一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1三步求出方程的解，整式运算时注意不要算错系数和幂的次数。
【解析】
(1) 利用多项式除以单项式法则展开计算：
原式$= (-\dfrac{3}{4}x^4y^7) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + \dfrac{1}{2}x^3y^8 ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2) + (-\dfrac{1}{9}x^2y^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}xy^2)$
$= \dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$
当$x=-1,y=-2$时，代入化简后的式子：
$\dfrac{9}{4}×(-1)^3×(-2)^5 - \dfrac{3}{2}×(-1)^2×(-2)^6 + \dfrac{1}{3}×(-1)×(-2)^4$
$= \dfrac{9}{4}×(-1)×(-32) - \dfrac{3}{2}×1×64 + \dfrac{1}{3}×(-1)×16$
$= 72 - 96 - \dfrac{16}{3}$
$= -\dfrac{88}{3}$
(2) 先化简方程左边的整式：
左边$=[2x^3(2x-3)-x^2] ÷ 2x^2$
$= (4x^4 -6x^3 -x^2) ÷ 2x^2$
$= 2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2}$
原方程可化为：
$2x^2 - 3x - \dfrac{1}{2} = 2x^2 - x$
移项，得：
$2x^2 - 3x - 2x^2 + x = \dfrac{1}{2}$
合并同类项，得：
$-2x = \dfrac{1}{2}$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) 化简结果为$\dfrac{9}{4}x^3y^5 - \dfrac{3}{2}x^2y^6 + \dfrac{1}{3}xy^4$，求值结果为$-\dfrac{88}{3}$；
(2) 方程的解为$x=-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
多项式除以单项式，整式化简求值，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查整式运算的基本规则和解方程的基础方法，运算过程中要注意同底数幂的乘除规则、正负号的处理，避免因粗心出现计算错误，熟练掌握整式运算的基本法则是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
14.郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：
林军用几个数试了试，列出如下表格：
(1)请将表格填写完整；
(2)试用一个算式表示这个程序；
(3)结合(1)(2)，你发现了什么结论？
林军用几个数试了试，列出如下表格：
(1)请将表格填写完整；
(2)试用一个算式表示这个程序；
(3)结合(1)(2)，你发现了什么结论？
答案
解：
(1) 表格中从左到右剩余的答案依次填写为：1，1，1，1，1。
(2) 表示该程序的算式为：$(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)$
(3) 化简算式：
$\begin{aligned}(x^2 + x) ÷ x - x&=x^2÷ x + x÷ x -x\\&=x + 1 - x\\&=1\end{aligned}$
结论：当$x≠0$时，无论$x$取何值，该程序运算的结果恒为1。
(1) 表格中从左到右剩余的答案依次填写为：1，1，1，1，1。
(2) 表示该程序的算式为：$(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)$
(3) 化简算式：
$\begin{aligned}(x^2 + x) ÷ x - x&=x^2÷ x + x÷ x -x\\&=x + 1 - x\\&=1\end{aligned}$
结论：当$x≠0$时，无论$x$取何值，该程序运算的结果恒为1。
解析
【分析】
解题分三步逐步推进：(1)填写表格时，按照程序给定的运算顺序，对输入的每个非零x依次计算，即可得到输出结果；(2)写程序算式时，将程序的每一步运算用代数式表示，注意除法运算中除数不能为0，需标注x≠0；(3)推导结论时，按照整式混合运算法则化简列出的代数式，就能总结出运算结果的规律。
【解析】
(1) 按程序运算：输入任意非零x，先计算$x^2+x$，再除以x得到$x+1$，最后减去x结果为1，因此表格空缺处从左到右均填1。
(2) 程序的运算流程为：输入x→计算$x^2+x$→除以x→减去x→输出结果，由于除数不能为0，因此表示程序的算式为$(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)$。
(3) 对所列算式进行化简：
$\begin{aligned}(x^2 + x) ÷ x - x&=x^2÷ x + x÷ x -x\\&=x + 1 - x\\&=1\end{aligned}$
由此可得出运算规律。
【答案】
(1) 表格中从左到右依次填写：1，1，1，1，1；
(2) 程序算式：$\boldsymbol{(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)}$；
(3) 结论：当$x≠0$时，无论x取何值，该程序运算的结果恒为1。
【知识点】
列代数式、整式混合运算、代数式化简
【点评】
本题结合趣味程序设计场景考查整式运算知识，解题关键是能将程序步骤准确转化为代数式，再通过化简总结规律，有助于提升逻辑推理和抽象思维能力。
【难度系数】
0.75
解题分三步逐步推进：(1)填写表格时，按照程序给定的运算顺序，对输入的每个非零x依次计算，即可得到输出结果；(2)写程序算式时，将程序的每一步运算用代数式表示，注意除法运算中除数不能为0，需标注x≠0；(3)推导结论时，按照整式混合运算法则化简列出的代数式，就能总结出运算结果的规律。
【解析】
(1) 按程序运算：输入任意非零x，先计算$x^2+x$，再除以x得到$x+1$，最后减去x结果为1，因此表格空缺处从左到右均填1。
(2) 程序的运算流程为：输入x→计算$x^2+x$→除以x→减去x→输出结果，由于除数不能为0，因此表示程序的算式为$(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)$。
(3) 对所列算式进行化简：
$\begin{aligned}(x^2 + x) ÷ x - x&=x^2÷ x + x÷ x -x\\&=x + 1 - x\\&=1\end{aligned}$
由此可得出运算规律。
【答案】
(1) 表格中从左到右依次填写：1，1，1，1，1；
(2) 程序算式：$\boldsymbol{(x^2 + x) ÷ x - x \quad (x ≠ 0)}$；
(3) 结论：当$x≠0$时，无论x取何值，该程序运算的结果恒为1。
【知识点】
列代数式、整式混合运算、代数式化简
【点评】
本题结合趣味程序设计场景考查整式运算知识，解题关键是能将程序步骤准确转化为代数式，再通过化简总结规律，有助于提升逻辑推理和抽象思维能力。
【难度系数】
0.75
