例1 如图,在$△ ABE$中,$AB=AE$,$AD=AC$,$∠ BAD=∠ EAC$,$BC$,$DE$交于点$O$,求证:$△ ABC≌△ AED$.

【思路导析】由已知条件,需证夹角$∠ BAC=∠ EAD$,可由$∠ BAD + ∠ DAC = ∠ EAC + ∠ DAC$得到.
【请你证明】

证明：
∵ ∠BAD = ∠EAC，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE,\\∠BAC = ∠EAD,\\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。

【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先梳理已知条件：题目已经给出两组对应边相等，即AB=AE、AD=AC。根据全等三角形的SAS判定定理，还需要证明这两组对应边的夹角相等，也就是∠BAC=∠EAD。已知∠BAD=∠EAC，这两个角同时加上公共角∠DAC，根据等式的性质，即可推出∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，进而可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠EAC，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE,\\∠BAC = ∠EAD,\\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
【答案】
△ABC≌△AED
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于三角形全等判定的基础题型，主要考查通过角的和差关系推导相等角，再结合边角边定理判定三角形全等，解题的关键是找到两组对应等边的夹角，利用已知条件推导夹角相等。
【难度系数】
0.85

例2 如图，已知$AC=AD$，$AB$平分$∠ CAD$，求证：$AB$平分$∠ CBD$。

【思路导析】已知$\longrightarrow △ ABC ≌ △ ABD \longrightarrow ∠ ABC = ∠ ABD \longrightarrow AB$平分$∠ CBD$。
【请你证明】
互动探究 $\longrightarrow$ 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 “倍长中线法”构造全等三角形

证明：
∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAB = ∠DAB \\AB = AB\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ABD（SAS）。
∴ ∠ABC = ∠ABD，
∴ AB平分∠CBD。

【分析】
要证明AB平分∠CBD，即需证明∠ABC=∠ABD。观察图形可知∠ABC、∠ABD分别在△ABC和△ABD中，因此可通过证明两个三角形全等得到对应角相等。首先根据角平分线的定义，由AB平分∠CAD可得∠CAB=∠DAB，结合已知条件AC=AD，以及两个三角形的公共边AB=AB，可利用SAS判定△ABC≌△ABD，再由全等三角形对应角相等即可得到∠ABC=∠ABD，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
$\begin{cases} AC = AD \\ ∠ CAB = ∠ DAB \\ AB = AB \end{cases}$
∴ △ABC ≌ △ABD（SAS）。
∴ ∠ABC = ∠ABD，
∴ AB平分∠CBD。
【答案】
∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
$\begin{cases} AC = AD \\ ∠ CAB = ∠ DAB \\ AB = AB \end{cases}$
∴ △ABC ≌ △ABD（SAS）。
∴ ∠ABC = ∠ABD，
∴ AB平分∠CBD。
【知识点】
角平分线的定义；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定与性质的基础应用题，解题核心是结合已知条件推导三角形全等的判定依据，通过全等得到对应角相等进而完成角平分线的证明，能够帮助学生熟悉全等三角形的应用逻辑，锻炼基础几何推理能力。
【难度系数】
0.85

例 3 如图，$CD = AB$，$∠ BDA = ∠ BAD$，$AE$ 是 $△ ABD$ 的中线. 求证: $AC = 2AE$.

【思路导析】将中线 $AE$ 延长一倍，得 $AF = 2AE$，构造全等三角形，证明 $AC = AF$ 即可.
【示范证明】如图，延长 $AE$ 至点 $F$，使 $EF = AE$，连接 $DF$.

$\because AE$ 是 $△ ABD$ 的中线，
$\therefore BE = ED$.
在 $△ ABE$ 和 $△ FDE$ 中，
$\begin{cases}BE = DE, \\∠ AEB = ∠ FED, \\AE = EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FDE, (\mathrm{SAS})$
$\therefore AB = DF, ∠ B = ∠ EDF$.
又 $\because AB = CD, ∠ BDA = ∠ BAD$,
$\therefore DF = CD, ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = ∠ EDF + ∠ BDA = ∠ ADF$.
在 $△ ADF$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases}AD = AD, \\∠ ADF = ∠ ADC, \\DF = DC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ ADC. (\mathrm{SAS})$
$\therefore AC = AF = 2AE$.

证明：
延长AE至点F，使$EF = AE$，连接DF。
∵ AE 是$△ ABD$ 的中线，
∴ $BE = ED$。
在$△ ABE$ 和$△ FDE$ 中，
$\begin{cases}BE = DE, \\∠ AEB = ∠ FED, \\AE = EF,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FDE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $AB = DF$，$∠ B = ∠ EDF$。
又∵ $AB = CD$，$∠ BDA = ∠ BAD$，
∴ $DF = CD$，
∵ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，$∠ ADF = ∠ EDF + ∠ BDA$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADF$。
在$△ ADF$ 和$△ ADC$ 中，
$\begin{cases}AD = AD, \\∠ ADF = ∠ ADC, \\DF = DC,\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ ADC \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $AC = AF$，
又∵ $AF = AE + EF = 2AE$，
∴ $AC = 2AE$。

【分析】
要证明AC=2AE，已知AE是△ABD的中线，针对含中线的线段倍分证明问题，常用“倍长中线法”构造全等三角形转化线段关系。第一步延长AE到F，使EF=AE，此时AF=2AE，只需证明AC=AF即可。先通过SAS证明△ABE≌△FDE，得到AB=DF、∠B=∠EDF，再结合已知CD=AB、∠BDA=∠BAD，推导出DF=CD以及∠ADF=∠ADC，最后通过SAS证明△ADF≌△ADC，即可得到AC=AF=2AE。
【解析】
证明：
延长AE至点F，使$EF = AE$，连接DF。
∵ AE 是$△ ABD$ 的中线，
∴ $BE = ED$。
在$△ ABE$ 和$△ FDE$ 中，
$\begin{cases}BE = DE, \\∠ AEB = ∠ FED, \\AE = EF,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FDE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $AB = DF$，$∠ B = ∠ EDF$。
又
∵ $AB = CD$，$∠ BDA = ∠ BAD$，
∴ $DF = CD$，
∵ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，$∠ ADF = ∠ EDF + ∠ BDA$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADF$。
在$△ ADF$ 和$△ ADC$ 中，
$\begin{cases}AD = AD, \\∠ ADF = ∠ ADC, \\DF = DC,\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ ADC \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $AC = AF$，
又
∵ $AF = AE + EF = 2AE$，
∴ $AC = 2AE$。
【答案】
$AC=2AE$，得证。
【知识点】
倍长中线法，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，核心考查线段倍分关系的证明思路，当题目出现中线条件时，优先考虑倍长中线构造全等三角形转化线段关系，解题时需注意全等条件推导过程中边角的等量代换，保证逻辑严谨。
【难度系数】
0.6