登录
如图，A，B，C，D 是四个村庄，B，D，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=DC=1 km，村庄 A 和 C 之间、A 和 D 之间都有公路相连，
且公路 AD 是南北走向，AC=3 km，只有 A 和 B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路。现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 AE=1.2 km，BF=0.7 km，则建造的斜拉桥长至少为 km.
且公路 AD 是南北走向，AC=3 km，只有 A 和 B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路。现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 AE=1.2 km，BF=0.7 km，则建造的斜拉桥长至少为 km.
答案
解：
由题意得，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=DC \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC=3 km。
则斜拉桥长至少为：$AB - AE - BF = 3 - 1.2 - 0.7 = 1.1\ \mathrm{km}$。
答：建造的斜拉桥长至少为1.1 km。
由题意得，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=DC \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC=3 km。
则斜拉桥长至少为：$AB - AE - BF = 3 - 1.2 - 0.7 = 1.1\ \mathrm{km}$。
答：建造的斜拉桥长至少为1.1 km。
解析
【分析】
要求斜拉桥的最短长度，即求线段EF的长度，需先求出AB的总长度。首先根据AD为南北走向、BC为东西走向，可得AD⊥BC，得到∠ADB=∠ADC=90°；再结合已知BD=DC、AD为公共边，可利用SAS判定△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应边相等得到AB=AC，最后用AB的长度减去AE、BF的长度，即可得到EF的长度，也就是斜拉桥的最小长度。
【解析】
由题意得，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=DC \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC=3 km。
则斜拉桥长至少为：$AB - AE - BF = 3 - 1.2 - 0.7 = 1.1\ \mathrm{km}$。
【答案】
1.1
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题结合实际建桥场景考查几何知识的应用，解题核心是通过全等三角形将未知边AB转化为已知边AC，再通过线段和差运算求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题时注意找准全等的判定条件即可。
【难度系数】
0.8
要求斜拉桥的最短长度，即求线段EF的长度，需先求出AB的总长度。首先根据AD为南北走向、BC为东西走向，可得AD⊥BC，得到∠ADB=∠ADC=90°；再结合已知BD=DC、AD为公共边，可利用SAS判定△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应边相等得到AB=AC，最后用AB的长度减去AE、BF的长度，即可得到EF的长度，也就是斜拉桥的最小长度。
【解析】
由题意得，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD=DC \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC=3 km。
则斜拉桥长至少为：$AB - AE - BF = 3 - 1.2 - 0.7 = 1.1\ \mathrm{km}$。
【答案】
1.1
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题结合实际建桥场景考查几何知识的应用，解题核心是通过全等三角形将未知边AB转化为已知边AC，再通过线段和差运算求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题时注意找准全等的判定条件即可。
【难度系数】
0.8
1. 下图中全等的三角形有。
答案
解：
根据三角形全等的边角边（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
三角形①中，长度为8cm、9cm的两边的夹角为30°；
三角形③中，长度为8cm、9cm的两边的夹角为30°，二者满足SAS全等条件。
其余三角形不存在对应相等的两边及夹角，不满足全等判定条件。
因此全等的三角形有①和③。
根据三角形全等的边角边（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
三角形①中，长度为8cm、9cm的两边的夹角为30°；
三角形③中，长度为8cm、9cm的两边的夹角为30°，二者满足SAS全等条件。
其余三角形不存在对应相等的两边及夹角，不满足全等判定条件。
因此全等的三角形有①和③。
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用三角形全等的SAS（边角边）判定定理，思考步骤如下：首先明确SAS判定的要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等时，两个三角形全等。接下来逐个分析每个三角形中30°角的两条夹边的长度，最后对比找出满足两组边及夹角都对应相等的三角形即可。
【解析】
根据三角形全等的边角边（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，对四个三角形逐一分析：
1. 三角形①：30°角是长度为8cm、9cm的两条边的夹角；
2. 三角形②：30°角的两条夹边为8cm和5cm，边长与其余三角形不匹配，不满足全等条件；
3. 三角形③：30°角是长度为8cm、9cm的两条边的夹角，和三角形①的两边及夹角完全对应相等，符合SAS判定条件，二者全等；
4. 三角形④：30°角的两条夹边均为8cm，边长与其余三角形不匹配，不满足全等条件。
【答案】
①和③
【知识点】
SAS判定定理、三角形全等判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，关键要注意SAS判定中的角必须是两条对应相等边的夹角，不要混淆“边角边”和“边边角”，牢记只有夹角相等才能用该判定定理。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是运用三角形全等的SAS（边角边）判定定理，思考步骤如下：首先明确SAS判定的要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等时，两个三角形全等。接下来逐个分析每个三角形中30°角的两条夹边的长度，最后对比找出满足两组边及夹角都对应相等的三角形即可。
【解析】
根据三角形全等的边角边（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，对四个三角形逐一分析：
1. 三角形①：30°角是长度为8cm、9cm的两条边的夹角；
2. 三角形②：30°角的两条夹边为8cm和5cm，边长与其余三角形不匹配，不满足全等条件；
3. 三角形③：30°角是长度为8cm、9cm的两条边的夹角，和三角形①的两边及夹角完全对应相等，符合SAS判定条件，二者全等；
4. 三角形④：30°角的两条夹边均为8cm，边长与其余三角形不匹配，不满足全等条件。
【答案】
①和③
【知识点】
SAS判定定理、三角形全等判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，关键要注意SAS判定中的角必须是两条对应相等边的夹角，不要混淆“边角边”和“边边角”，牢记只有夹角相等才能用该判定定理。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知$AD// BC$，欲证$△ ABC≌△ CDA$，根据SAS知，需要补充的一个条件是 。
答案
解：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$。
在$△ ABC$和$△ CDA$中，$AC$是公共边，即$AC=CA$，已具备一组对应角相等、一组对应边相等。
根据SAS判定定理，还需等角的另一组邻边对应相等，即可证得两三角形全等。
需要补充的一个条件是$\boldsymbol{BC=AD}$（或$AD=BC$）。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$。
在$△ ABC$和$△ CDA$中，$AC$是公共边，即$AC=CA$，已具备一组对应角相等、一组对应边相等。
根据SAS判定定理，还需等角的另一组邻边对应相等，即可证得两三角形全等。
需要补充的一个条件是$\boldsymbol{BC=AD}$（或$AD=BC$）。
解析
【分析】
要使用SAS判定△ABC≌△CDA，需先梳理已有的条件：首先由AD//BC可推出一组内错角相等，其次AC是两个三角形的公共边，因此已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合SAS“两边及其夹角对应相等”的要求，当前相等的角是两组边的夹角，因此仅需要补充该角的另一组邻边对应相等，即可满足全等判定条件。
【解析】
解：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴$AC=CA$。
根据SAS全等判定定理，需补充夹角的另一组邻边相等，即$BC=AD$时：
在$△ ABC$和$△ CDA$中，
$\{\begin{array}{l}BC=AD\\ ∠ BCA=∠ DAC\\ AC=CA\end{array} $
∴$△ ABC≌△ CDA(SAS)$。
因此需要补充的条件为$BC=AD$（或$AD=BC$）。
【答案】
$BC=AD$（或$AD=BC$）
【知识点】
平行线的性质，SAS判定三角形全等
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的实际应用，解题时要先结合已知条件推导已有的边、角相等关系，再对应判定定理的要求补充缺失条件，需注意SAS中相等的角必须是两组相等边的夹角，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.8
要使用SAS判定△ABC≌△CDA，需先梳理已有的条件：首先由AD//BC可推出一组内错角相等，其次AC是两个三角形的公共边，因此已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合SAS“两边及其夹角对应相等”的要求，当前相等的角是两组边的夹角，因此仅需要补充该角的另一组邻边对应相等，即可满足全等判定条件。
【解析】
解：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴$AC=CA$。
根据SAS全等判定定理，需补充夹角的另一组邻边相等，即$BC=AD$时：
在$△ ABC$和$△ CDA$中，
$\{\begin{array}{l}BC=AD\\ ∠ BCA=∠ DAC\\ AC=CA\end{array} $
∴$△ ABC≌△ CDA(SAS)$。
因此需要补充的条件为$BC=AD$（或$AD=BC$）。
【答案】
$BC=AD$（或$AD=BC$）
【知识点】
平行线的性质，SAS判定三角形全等
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的实际应用，解题时要先结合已知条件推导已有的边、角相等关系，再对应判定定理的要求补充缺失条件，需注意SAS中相等的角必须是两组相等边的夹角，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.8
3.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.若∠A=80°,∠C=60°,则∠1=.
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
解题时先从已知的线段相等条件入手：由BE=CF，两边同时加上公共线段EF可得到BF=CE，结合已知的AB=DC、∠B=∠C，可通过SAS判定△ABF和△DCE全等，得到对应角∠AFB=∠DEC；再利用三角形内角和定理算出△ABF中∠AFB的度数，进而得到∠DEC的度数，最后在∠1所在的三角形中，用三角形内角和180°减去∠AFB与∠DEC的度数和，即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC（已知）\\∠B=∠C（已知）\\BF=CE（已证）\end{array} $
∴ △ABF≌△DCE（SAS）
∴ ∠AFB=∠DEC（全等三角形对应角相等）
∵ ∠B=∠C=60°，∠A=80°，三角形内角和为180°
∴ 在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠B=180°-80°-60°=40°
∴ ∠DEC=∠AFB=40°
∴ ∠1=180°-∠AFB-∠DEC=180°-40°-40°=100°
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与角度计算结合的基础题，解题的关键是先通过线段和的转化得到全等判定所需的等边，再结合全等性质和内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的线段相等条件入手：由BE=CF，两边同时加上公共线段EF可得到BF=CE，结合已知的AB=DC、∠B=∠C，可通过SAS判定△ABF和△DCE全等，得到对应角∠AFB=∠DEC；再利用三角形内角和定理算出△ABF中∠AFB的度数，进而得到∠DEC的度数，最后在∠1所在的三角形中，用三角形内角和180°减去∠AFB与∠DEC的度数和，即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC（已知）\\∠B=∠C（已知）\\BF=CE（已证）\end{array} $
∴ △ABF≌△DCE（SAS）
∴ ∠AFB=∠DEC（全等三角形对应角相等）
∵ ∠B=∠C=60°，∠A=80°，三角形内角和为180°
∴ 在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠B=180°-80°-60°=40°
∴ ∠DEC=∠AFB=40°
∴ ∠1=180°-∠AFB-∠DEC=180°-40°-40°=100°
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与角度计算结合的基础题，解题的关键是先通过线段和的转化得到全等判定所需的等边，再结合全等性质和内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,若∠FDE=65°,则∠A=.
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的边和角的相等条件，可先通过SAS判定定理证明△BFD和△CDE全等，得到对应角相等；再利用三角形外角的性质推导得出∠B与∠FDE的等量关系，求出∠B的度数；最后结合已知∠B=∠C和三角形内角和定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
在△BFD和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BF=CD（已知）\\ ∠ B=∠ C（已知）\\ BD=CE（已知）\end{array} $
∴$△ BFD≌△ CDE$（SAS）
∴$∠ BFD=∠ CDE$（全等三角形的对应角相等）
∵$∠ FDC$是$△ BFD$的外角
∴$∠ FDC=∠ B+∠ BFD$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又
∵$∠ FDC=∠ FDE+∠ CDE$
∴$∠ FDE+∠ CDE=∠ B+∠ BFD$
将$∠ BFD=∠ CDE$代入上式，两边同时减去$∠ CDE$，得：
$∠ B=∠ FDE=65°$
∵$∠ B=∠ C$，
∴$∠ C=65°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-65°-65°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，解题核心是借助全等三角形实现角的等量转化，找到已知角和待求角之间的关联，再结合三角形内角和公式求解，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的边和角的相等条件，可先通过SAS判定定理证明△BFD和△CDE全等，得到对应角相等；再利用三角形外角的性质推导得出∠B与∠FDE的等量关系，求出∠B的度数；最后结合已知∠B=∠C和三角形内角和定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
在△BFD和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BF=CD（已知）\\ ∠ B=∠ C（已知）\\ BD=CE（已知）\end{array} $
∴$△ BFD≌△ CDE$（SAS）
∴$∠ BFD=∠ CDE$（全等三角形的对应角相等）
∵$∠ FDC$是$△ BFD$的外角
∴$∠ FDC=∠ B+∠ BFD$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又
∵$∠ FDC=∠ FDE+∠ CDE$
∴$∠ FDE+∠ CDE=∠ B+∠ BFD$
将$∠ BFD=∠ CDE$代入上式，两边同时减去$∠ CDE$，得：
$∠ B=∠ FDE=65°$
∵$∠ B=∠ C$，
∴$∠ C=65°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-65°-65°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，解题核心是借助全等三角形实现角的等量转化，找到已知角和待求角之间的关联，再结合三角形内角和公式求解，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
