13.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F是直线AD上方的点,连接AE,CE,BF,DF,若$△ ACE ≌ △ FDB$,$FD=3$,$AD=8$.
(1)判断直线CE与DF是否平行,说明理由;
(2)求CD的长;
(3)若$∠ E=26°$,$∠ F=53°$,求$∠ ACE$的度数.

解：
(1) $CE// DF$，理由如下：
$\because △ ACE≌ △ FDB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ D$，
$\therefore CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because △ ACE≌ △ FDB$，
$\therefore AC = FD = 3$，
$\because AD = 8$，
$\therefore CD = AD - AC = 8 - 3 = 5$。
(3) $\because △ ACE≌ △ FDB$，
$\therefore ∠ A = ∠ F = 53°$，
在$△ ACE$中，$∠ A + ∠ E + ∠ ACE = 180°$，
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ A - ∠ E = 180° - 53° - 26° = 101°$。

【分析】
本题围绕全等三角形的性质展开考查，解题思路如下：
(1)判断两条直线是否平行，可通过角的关系推导，结合已知的全等三角形条件，能得到同位角相等，进而判定平行；
(2)求CD的长度，已知AD总长，可借助全等三角形对应边相等求出AC的长度，用AD减去AC即可得到CD；
(3)求∠ACE的度数，先通过全等三角形对应角相等得到△ACE中∠A的度数，再结合三角形内角和为180°，减去两个已知角的度数即可算出结果。
【解析】
(1) $CE// DF$，理由如下：
$\because △ ACE ≌ △ FDB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ D$，
$\therefore CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because △ ACE ≌ △ FDB$，
$\therefore AC = FD = 3$，
$\because AD = 8$，
$\therefore CD = AD - AC = 8 - 3 = 5$。
(3) $\because △ ACE ≌ △ FDB$，
$\therefore ∠ A = ∠ F = 53°$，
在$△ ACE$中，$∠ A + ∠ E + ∠ ACE = 180°$，
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ A - ∠ E = 180° - 53° - 26° = 101°$。
【答案】
(1) $CE// DF$；
(2) $CD=5$；
(3) $∠ ACE=101°$
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是准确找到全等三角形的对应边、对应角，结合平行线判定规则和三角形内角和定理即可顺利求解，需注意识别全等对应元素时不要混淆。
【难度系数】
0.8

14.如图,点$M,N,B,G$都在坐标轴上,将$△ MOG$绕点$O$顺时针旋转$90°$正好与$△ BON$重合.
(1)求证:$BG=OM-ON$；
(2)若$MN=10,OB=7$,求点$G$的坐标；
(3)求证:$MG⊥ BN$.

(1) 证明：
∵△MOG绕点O顺时针旋转90°后与△BON重合，
∴△MOG≌△BON，
∴OM = OB，OG = ON。
∵点B、G均在y轴正半轴上，
∴BG = OB - OG，
代入OB=OM、OG=ON，可得$BG = OM - ON$。
---
(2) 解：
由△MOG≌△BON，得$OM = OB = 7$。
∵点M在x轴负半轴，点N在x轴正半轴，
∴$MN = OM + ON$，
∵$MN=10$，
∴$ON = MN - OM = 10 - 7 = 3$，
又∵$OG = ON$，
∴$OG = 3$，
∵点G在y轴正半轴上，
∴点G的坐标为$\boldsymbol{(0, 3)}$。
---
(3) 证明：
延长MG交BN于点P。
∵△MOG≌△BON，
∴$∠OMG = ∠OBN$。
∵$∠MOG=90°$，
∴$∠OMG + ∠OGM = 90°$，
又∵$∠OGM = ∠BGP$（对顶角相等），
∴$∠OBN + ∠BGP = 90°$，
∴$∠BPG = 180° - (∠OBN + ∠BGP) = 90°$，
∴$MG⊥BN$。

【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可知旋转前后的图形全等，可得△MOG≌△BON，从而得到对应边OM=OB、OG=ON；观察图形可知B、G都在y轴正半轴，因此线段BG的长度等于OB减去OG，将OB、OG用对应的OM、ON替换，即可证明结论。
(2) 先由全等三角形性质得OM=OB=7，再结合M在x轴负半轴、N在x轴正半轴，可知MN的长度等于OM与ON的长度和，代入MN=10即可算出ON的长度；再由全等得OG=ON，结合G在y轴正半轴，即可得到G的坐标。
(3) 要证MG⊥BN，只需证明两条线段的夹角为90°，因此延长MG交BN于点P；利用全等三角形对应角相等得∠OMG=∠OBN，结合Rt△MOG中两锐角互余，再利用对顶角相等进行角的代换，可推出∠OBN+∠BGP=90°，即可得到∠BPG=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵△MOG绕点O顺时针旋转90°后与△BON重合，
∴△MOG≌△BON，
∴OM = OB，OG = ON。
∵点B、G均在y轴正半轴上，
∴BG = OB - OG，
代入OB=OM、OG=ON，可得$BG = OM - ON$。
(2) 解：
由△MOG≌△BON，得$OM = OB = 7$。
∵点M在x轴负半轴，点N在x轴正半轴，
∴$MN = OM + ON$，
∵$MN=10$，
∴$ON = MN - OM = 10 - 7 = 3$，
又
∵$OG = ON$，
∴$OG = 3$，
∵点G在y轴正半轴上，
∴点G的坐标为$\boldsymbol{(0, 3)}$。
(3) 证明：
延长MG交BN于点P。
∵△MOG≌△BON，
∴$∠OMG = ∠OBN$。
∵$∠MOG=90°$，
∴$∠OMG + ∠OGM = 90°$，
又
∵$∠OGM = ∠BGP$（对顶角相等），
∴$∠OBN + ∠BGP = 90°$，
∴$∠BPG = 180° - (∠OBN + ∠BGP) = 90°$，
∴$MG⊥BN$。
【答案】
(1) 得证$BG=OM-ON$；
(2) $\boldsymbol{(0,3)}$；
(3) 得证$MG⊥ BN$。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系和旋转特征，考查全等三角形的性质应用，三道小问由浅入深，解题的关键是抓住旋转前后图形全等，准确识别对应边、对应角进行代换推导，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7