1. 计算$a^6 ÷ a^3$的结果是()

A.3
B.2
C.$a^3$
D.$a^2$

C

【分析】
这道题考查同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则，先判断算式中两个幂的底数相同，符合同底数幂除法的适用条件，再按照“底数不变，指数相减”的规则计算得出结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m＞n$）。
本题中$m=6$，$n=3$，代入公式计算可得：
$a^6 ÷ a^3 = a^{6-3} = a^3$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题是幂的运算类基础题，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则，注意区分幂的各类运算规则，避免指数运算出现错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算$10^6×(10^2)^3÷10^4$的结果是()

A.$10^3$
B.$10^7$
C.$10^8$
D.$10^9$

C

【分析】
这是一道幂的混合运算题，解题时遵循先乘方后乘除的运算顺序：第一步先计算幂的乘方，依据幂的乘方法则计算；第二步计算同底数幂的乘法，依据同底数幂相乘的法则计算；第三步计算同底数幂的除法，依据同底数幂相除的法则计算，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：按照幂的运算顺序逐步计算：
1. 计算幂的乘方：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，可得$(10^2)^3=10^{2×3}=10^6$；
2. 计算同底数幂的乘法：将上步结果代入原式，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得$10^6×10^6=10^{6+6}=10^{12}$；
3. 计算同底数幂的除法：根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，可得$10^{12}÷10^4=10^{12-4}=10^8$。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的基础常规题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，只要记牢法则、不弄错运算顺序，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

3. 计算$a^4 ÷ a^2 · a$的结果是()

A.$a^7$
B.$a^3$
C.$a^2$
D.$a$

B

【分析】
本题考查同底数幂的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算；其次回忆同底数幂的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同时注意单独的字母a的指数为1，最后按照规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的运算规则，从左到右依次计算：
1. 先计算除法：$a^4 ÷ a^2 = a^{4-2} = a^2$
2. 再计算乘法：$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$
因此原式的计算结果为$a^3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；乘除混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂的运算法则，解题时需注意不要颠倒运算顺序，同时不要遗漏单个字母的指数为1，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8

4. 下列计算正确的是()

A.$2a^5 + a^5 = 3a^{10}$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a^{10} ÷ a^2 = a^8$

D

【分析】
本题考查幂的运算相关法则及合并同类项法则，解题时需逐一对应每个选项的运算类型，回忆对应的法则计算出正确结果，再与选项内容比对，选出计算正确的选项。首先回忆核心法则：1.合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；2.同底数幂相乘：底数不变，指数相加；3.幂的乘方：底数不变，指数相乘；4.同底数幂相除：底数不变，指数相减，再逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$2a^5 + a^5$属于合并同类项，只需将系数相加，字母和指数不变，正确结果为$3a^5$，选项给出$3a^{10}$，计算错误；
B选项：$a^2 · a^3$是同底数幂相乘，根据法则底数不变，指数相加，即$a^{2+3}=a^5$，选项给出$a^6$，计算错误；
C选项：$(a^2)^3$是幂的乘方运算，根据法则底数不变，指数相乘，即$a^{2×3}=a^6$，选项给出$a^5$，计算错误；
D选项：$a^{10} ÷ a^2$是同底数幂相除，根据法则底数不变，指数相减，即$a^{10-2}=a^8$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，核心是区分不同幂运算中指数的运算规律，避免混淆合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘除的指数计算规则，熟练掌握法则即可快速判断。
【难度系数】
0.8

5*. 若$a^x=2,a^y=3$，则$a^{3x-2y}$的值为()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{8}{9}$
D.$\frac{9}{8}$

C

【分析】
要求$a^{3x-2y}$的值，需先将其用已知的$a^x$、$a^y$表示。首先回忆幂的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用该法则可将指数的减法转化为同底数幂的除法，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，因此可将$a^{3x-2y}$拆分为$a^{3x}÷ a^{2y}$；再逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，把$a^{3x}$转化为$(a^x)^3$，$a^{2y}$转化为$(a^y)^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则逆用计算：
1. 逆用同底数幂的除法法则：$a^{3x-2y}=a^{3x}÷ a^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则：$a^{3x}=(a^x)^3$，$a^{2y}=(a^y)^2$
3. 代入$a^x=2$、$a^y=3$计算：
$(a^x)^3=2^3=8$，$(a^y)^2=3^2=9$
因此$a^{3x-2y}=8÷9=\frac{8}{9}$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；幂运算逆用
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活应用，逆用幂的运算性质将所求代数式转化为已知条件的形式是解题的核心，解题时要注意指数运算的对应关系，避免因公式记错导致计算错误。
【难度系数】
0.75

1. 计算：$a^5÷ a^3=\_\_\_\_\_\_$；$y^{12}÷(\quad)=y^7$

解：
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得
$a^5÷ a^3 = a^{5-3}=a^2$；
括号内的式子为$y^{12}÷ y^7 = y^{12-7}=y^5$。
答案依次为：$\boldsymbol{a^2}$；$\boldsymbol{y^5}$。

【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。第一问可直接套用法则计算；第二问已知被除数和商，根据除法中“除数=被除数÷商”的关系，同样套用同底数幂除法法则即可求出括号内的式子。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算如下：
1. 计算$a^5÷ a^3$：
$a^5÷ a^3 = a^{5-3}=a^2$
2. 计算括号内的式子：
括号内的式子为被除数除以商，即$y^{12}÷ y^7 = y^{12-7}=y^5$
【答案】
$a^2$；$y^5$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的运算
【点评】
本题是幂运算模块的基础常规题，仅考查同底数幂除法法则的直接应用，无复杂变形，只要熟练掌握法则即可快速得出正确结果，适合用来巩固幂运算的基础规则。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(xy)^{5}÷(xy)^{3}=$；$(-x)^{10}÷(-x)^{5}=$。

$\boldsymbol{x^2y^2}$；$\boldsymbol{-x^5}$

【分析】
这两道题都是同底数幂的除法运算，解题时先把每个式子的底数看作一个整体，运用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，先计算指数，再对结果进行化简即可。第一题底数是(xy)，第二题底数是(-x)，计算第二题时要注意负数幂的符号判断。
【解析】
1. 计算$(xy)^{5}÷(xy)^{3}$：
根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得：
$(xy)^{5}÷(xy)^{3}=(xy)^{5-3}=(xy)^{2}$
再根据积的乘方法则展开得：$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$
2. 计算$(-x)^{10}÷(-x)^{5}$：
同理运用同底数幂的除法法则，可得：
$(-x)^{10}÷(-x)^{5}=(-x)^{10-5}=(-x)^{5}$
因为负数的奇次幂是负数，所以$(-x)^{5}=-x^{5}$
【答案】
$x^2y^2$；$-x^5$
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方；乘方的符号规律
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题核心是准确识别同底数幂的结构，将底数作为整体参与运算，同时要注意负数幂的符号判断，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.8

3. 计算：$(a-b)^7 ÷ (a-b)^2 =$ ；$(x-y)^3 ÷ (y-x)^2 =$ 。

$\boldsymbol{(a-b)^5}$；$\boldsymbol{x-y}$

【分析】
解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。对于第一个算式，两个幂的底数都是(a-b)，属于同底数幂，可以直接用法则计算。对于第二个算式，两个幂的底数(x-y)和(y-x)互为相反数，我们知道互为相反数的两个数的偶次幂相等，所以先把(y-x)²转化为(x-y)²，统一底数后再用同底数幂的除法法则计算即可。
【解析】
1. 计算$(a-b)^7 ÷ (a-b)^2$：
根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得：
$(a-b)^7 ÷ (a-b)^2=(a-b)^{7-2}=(a-b)^5$
2. 计算$(x-y)^3 ÷ (y-x)^2$：
首先利用偶次幂的性质，$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(x-y)^2$，将原式转化为同底数幂的除法：
$(x-y)^3 ÷ (y-x)^2=(x-y)^3 ÷ (x-y)^2=(x-y)^{3-2}=x-y$
【答案】
$\boldsymbol{(a-b)^5}$；$\boldsymbol{x-y}$
【知识点】
同底数幂的除法、偶次幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握同底数幂的除法法则，当底数互为相反数时，要先通过幂的符号性质统一底数，再进行运算，注意计算结果中指数为1时可省略不写。
【难度系数】
0.75

4. 计算：$a^{m+n}÷ a^{m}=$ ；$a^{5}÷ a^{2}· a^{2}=$ .

解：
$a^{m+n}÷ a^m = a^{(m+n)-m} = a^n$；
$a^5÷ a^2 · a^2 = a^{5-2} · a^2 = a^3 · a^2 = a^{3+2} = a^5$。
最终答案依次为$\boldsymbol{a^n}$；$\boldsymbol{a^5}$。

【分析】
解决这道题需要用到同底数幂的乘除运算法则，解题思路如下：1. 第一个式子是同底数幂的除法运算，回忆同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，直接套用法则计算指数即可；2. 第二个式子是乘除同级运算，需按照从左到右的顺序计算，先套用同底数幂除法法则算除法，再套用同底数幂乘法法则算乘法即可，也可观察到除以$a^2$和乘$a^2$可直接抵消，快速得到结果。
【解析】
根据同底数幂的运算法则计算：
1. 计算$a^{m+n}÷ a^{m}$：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$a^{m+n}÷ a^m = a^{(m+n)-m} = a^n$
2. 计算$a^{5}÷ a^{2}· a^{2}$：
乘除为同级运算，从左到右依次计算，先算除法再算乘法：
$a^5÷ a^2 · a^2 = a^{5-2} · a^2 = a^3 · a^2 = a^{3+2} = a^5$
【答案】
$a^n$；$a^5$
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查同底数幂乘除的运算规则，解题时要注意：同底数幂相乘/除时，底数保持不变，仅指数对应做加/减运算；同级运算需遵循从左到右的计算顺序，避免因跳步弄错运算顺序出错。
【难度系数】
0.85

5*. 已知$10^a = 20, 10^b = \frac{1}{5}$, 则 $25^a ÷ 5^{2b} =$ .

$\boldsymbol{625}$

【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先化简待求式子，观察到待求式的底数都可以转化为25，利用幂的乘方法则将$5^{2b}$转化为$25^b$，再根据同底数幂的除法法则将待求式整理为$25^{a-b}$的形式；第二步，结合已知条件求$a-b$的值，利用同底数幂的除法法则计算$10^a÷10^b$，得到$10^{a-b}=10^2$，即可推出$a-b=2$；第三步，将$a-b=2$代入化简后的待求式计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简待求式：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$5^{2b}=(5^2)^b=25^b$，因此：
$25^a÷5^{2b}=25^a÷25^b$
再根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$25^a÷25^b=25^{a-b}$
2. 求$a-b$的值：
已知$10^a=20$，$10^b=\frac{1}{5}$，两式相除得：
$10^a÷10^b=10^{a-b}=20÷\frac{1}{5}=100=10^2$
所以$a-b=2$
3. 代入计算：
将$a-b=2$代入$25^{a-b}$得：
$25^{2}=625$
【答案】
$\boldsymbol{625}$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合运用，核心是通过变形待求式，将问题转化为求指数的差值，再利用整体代入思想计算结果，解题时要熟练掌握幂的运算公式，注意公式的正向和逆向运用。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 计算：
(1) $m^3 · m^5 ÷ m^5$；
(2) $(-x)^{12} ÷ (-x)^9 · (-x)^2$；
(3) $x^{2n+3} ÷ x^{2n-1}$（$n$为正整数）；
(4) $(y^3)^4 ÷ (y^4)^3$；
(5) $(xy^2)^6 ÷ (xy^2)^3$；
(6) $(-y^2)^3 ÷ y^3 · (-y)$；

解：
(1)
$\begin{aligned}m^3 · m^5 ÷ m^5 &= m^{3+5} ÷ m^5 \\&= m^8 ÷ m^5 \\&= m^{8-5} \\&= m^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-x)^{12} ÷ (-x)^9 · (-x)^2 &= (-x)^{12-9} · (-x)^2 \\&= (-x)^3 · (-x)^2 \\&= (-x)^{3+2} \\&= -x^5\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}x^{2n+3} ÷ x^{2n-1} &= x^{(2n+3)-(2n-1)} \\&= x^{2n+3-2n+1} \\&= x^4\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(y^3)^4 ÷ (y^4)^3 &= y^{12} ÷ y^{12} \\&= y^{12-12} \\&= y^0 \\&= 1\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}(xy^2)^6 ÷ (xy^2)^3 &= (xy^2)^{6-3} \\&= (xy^2)^3 \\&= x^3 · (y^2)^3 \\&= x^3y^6\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(-y^2)^3 ÷ y^3 · (-y) &= -y^6 ÷ y^3 · (-y) \\&= -y^{3} · (-y) \\&= y^4\end{aligned}$

【分析】
本题6个小题均属于幂的运算基础题，解题时可遵循以下思路：①牢记幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；非零数的0次幂等于1。②遵循运算顺序：先计算乘方类运算（幂的乘方、积的乘方），再按从左到右的顺序计算乘除，运算时注意区分负数的奇次幂、偶次幂的符号，带参数的指数运算注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}m^3 · m^5 ÷ m^5 &= m^{3+5} ÷ m^5 \\&= m^8 ÷ m^5 \\&= m^{8-5} \\&= m^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-x)^{12} ÷ (-x)^9 · (-x)^2 &= (-x)^{12-9} · (-x)^2 \\&= (-x)^3 · (-x)^2 \\&= (-x)^{3+2} \\&= -x^5\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}x^{2n+3} ÷ x^{2n-1} &= x^{(2n+3)-(2n-1)} \\&= x^{2n+3-2n+1} \\&= x^4\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(y^3)^4 ÷ (y^4)^3 &= y^{12} ÷ y^{12} \\&= y^{12-12} \\&= y^0 \\&= 1\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}(xy^2)^6 ÷ (xy^2)^3 &= (xy^2)^{6-3} \\&= (xy^2)^3 \\&= x^3 · (y^2)^3 \\&= x^3y^6\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(-y^2)^3 ÷ y^3 · (-y) &= -y^6 ÷ y^3 · (-y) \\&= -y^{3} · (-y) \\&= y^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $m^3$；(2) $-x^5$；(3) $x^4$；(4) $1$；(5) $x^3y^6$；(6) $y^4$
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，主要考查对幂的各类运算法则的熟练运用能力，计算时需注意符号判断、指数运算的准确性，掌握好此类题型是后续学习整式乘除运算的重要基础。
【难度系数】
0.85