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2. 已知$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$，$b^{5x-y} · b^3 = b^6$，求$x$，$y$的值。
答案
解：
根据同底数幂的除法法则，由$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$可得：
$a^{2x+y-3}=a^1$
因此指数相等，得 $2x + y - 3 = 1$，整理得 $2x + y = 4$ ①
根据同底数幂的乘法法则，由$b^{5x-y} · b^3 = b^6$可得：
$b^{5x-y+3}=b^6$
因此指数相等，得 $5x - y + 3 = 6$，整理得 $5x - y = 3$ ②
①+②，得：
$7x = 7$
解得 $x=1$
把$x=1$代入①，得：
$2×1 + y =4$
解得 $y=2$
综上，$x=1$，$y=2$。
根据同底数幂的除法法则，由$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$可得：
$a^{2x+y-3}=a^1$
因此指数相等，得 $2x + y - 3 = 1$，整理得 $2x + y = 4$ ①
根据同底数幂的乘法法则，由$b^{5x-y} · b^3 = b^6$可得：
$b^{5x-y+3}=b^6$
因此指数相等，得 $5x - y + 3 = 6$，整理得 $5x - y = 3$ ②
①+②，得：
$7x = 7$
解得 $x=1$
把$x=1$代入①，得：
$2×1 + y =4$
解得 $y=2$
综上，$x=1$，$y=2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。当底数不为0且不等于1时，若两个同底数幂相等，则它们的指数也相等。我们可以先对题目给出的两个幂运算等式分别化简，得到两个关于x、y的一次方程，组成二元一次方程组后求解，即可得到x、y的值。
【解析】
根据同底数幂的除法法则，由$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$可得：
$a^{2x+y-3}=a^1$
因底数相同的幂相等时指数相等，得 $2x + y - 3 = 1$，整理得 $2x + y = 4$ ①
根据同底数幂的乘法法则，由$b^{5x-y} · b^3 = b^6$可得：
$b^{5x-y+3}=b^6$
同理得 $5x - y + 3 = 6$，整理得 $5x - y = 3$ ②
①+②，得：
$7x = 7$
解得 $x=1$
把$x=1$代入①，得：
$2×1 + y =4$
解得 $y=2$
【答案】
$x=1$，$y=2$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题核心是熟练运用同底数幂的运算法则，将幂的等量关系转化为关于指数的方程，再通过消元法解方程组即可，是幂运算章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。当底数不为0且不等于1时，若两个同底数幂相等，则它们的指数也相等。我们可以先对题目给出的两个幂运算等式分别化简，得到两个关于x、y的一次方程，组成二元一次方程组后求解，即可得到x、y的值。
【解析】
根据同底数幂的除法法则，由$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$可得：
$a^{2x+y-3}=a^1$
因底数相同的幂相等时指数相等，得 $2x + y - 3 = 1$，整理得 $2x + y = 4$ ①
根据同底数幂的乘法法则，由$b^{5x-y} · b^3 = b^6$可得：
$b^{5x-y+3}=b^6$
同理得 $5x - y + 3 = 6$，整理得 $5x - y = 3$ ②
①+②，得：
$7x = 7$
解得 $x=1$
把$x=1$代入①，得：
$2×1 + y =4$
解得 $y=2$
【答案】
$x=1$，$y=2$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题核心是熟练运用同底数幂的运算法则，将幂的等量关系转化为关于指数的方程，再通过消元法解方程组即可，是幂运算章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
3. 新定义两个正数$a,b$之间的一种运算，记作$[a,b]$，如果$a^m = b$，那么$[a,b]=m$，例如：$\because 2^3 = 8$，$\therefore [2,8]=3$. 求$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]$的值.
答案
解：
设$[2,6]=x$，由新定义得$2^x=6$。
设$[4,\frac{9}{64}]=y$，由新定义得$4^y=\frac{9}{64}$。
$\because 4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，
$\therefore 2^{2y}=\frac{9}{64}$。
将$2^x=6$两边平方，得$(2^x)^2=6^2$，即$2^{2x}=36$。
$\therefore 2^{2x} ÷ 2^{2y} = 36 ÷ \frac{9}{64} = 256 = 2^8$。
由同底数幂的除法法则，得$2^{2x-2y}=2^8$。
$\because$ 底数$2＞0$且$2≠1$，
$\therefore 2x-2y=8$，
$\therefore x-y=4$，
即$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]=4$。
设$[2,6]=x$，由新定义得$2^x=6$。
设$[4,\frac{9}{64}]=y$，由新定义得$4^y=\frac{9}{64}$。
$\because 4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，
$\therefore 2^{2y}=\frac{9}{64}$。
将$2^x=6$两边平方，得$(2^x)^2=6^2$，即$2^{2x}=36$。
$\therefore 2^{2x} ÷ 2^{2y} = 36 ÷ \frac{9}{64} = 256 = 2^8$。
由同底数幂的除法法则，得$2^{2x-2y}=2^8$。
$\because$ 底数$2＞0$且$2≠1$，
$\therefore 2x-2y=8$，
$\therefore x-y=4$，
即$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]=4$。
解析
【分析】
这道题属于新定义运算类题目，解题第一步要准确理解新运算规则：若$a^m=b$，则$[a,b]=m$。要求$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]$的值，我们可以先设两个新运算的结果分别为$x$和$y$，将新运算转化为幂的等式；再观察两个幂的底数，发现4可转化为$2^2$，通过幂的乘方性质统一底数为2；接着利用同底数幂的除法法则建立指数之间的等量关系，最终求出$x-y$的值即可。
【解析】
设$[2,6]=x$，根据新定义的运算规则可得：$2^x=6$。
设$[4,\frac{9}{64}]=y$，根据新定义的运算规则可得：$4^y=\frac{9}{64}$。
$\because 4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，
$\therefore 2^{2y}=\frac{9}{64}$。
将$2^x=6$两边同时平方，得$(2^x)^2=6^2$，即$2^{2x}=36$。
$\therefore 2^{2x} ÷ 2^{2y} = 36 ÷ \frac{9}{64} = 256 = 2^8$。
由同底数幂的除法法则，得$2^{2x-2y}=2^8$。
$\because$ 底数$2＞0$且$2≠1$，
$\therefore 2x-2y=8$，
$\therefore x-y=4$，
即$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]=4$。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题将新定义运算与幂的运算性质结合考查，解题核心是准确理解新运算的含义，将陌生的新运算转化为已学的幂的运算，再灵活运用幂的相关性质推导计算，能较好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
这道题属于新定义运算类题目，解题第一步要准确理解新运算规则：若$a^m=b$，则$[a,b]=m$。要求$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]$的值，我们可以先设两个新运算的结果分别为$x$和$y$，将新运算转化为幂的等式；再观察两个幂的底数，发现4可转化为$2^2$，通过幂的乘方性质统一底数为2；接着利用同底数幂的除法法则建立指数之间的等量关系，最终求出$x-y$的值即可。
【解析】
设$[2,6]=x$，根据新定义的运算规则可得：$2^x=6$。
设$[4,\frac{9}{64}]=y$，根据新定义的运算规则可得：$4^y=\frac{9}{64}$。
$\because 4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，
$\therefore 2^{2y}=\frac{9}{64}$。
将$2^x=6$两边同时平方，得$(2^x)^2=6^2$，即$2^{2x}=36$。
$\therefore 2^{2x} ÷ 2^{2y} = 36 ÷ \frac{9}{64} = 256 = 2^8$。
由同底数幂的除法法则，得$2^{2x-2y}=2^8$。
$\because$ 底数$2＞0$且$2≠1$，
$\therefore 2x-2y=8$，
$\therefore x-y=4$，
即$[2,6]-[4,\frac{9}{64}]=4$。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题将新定义运算与幂的运算性质结合考查，解题核心是准确理解新运算的含义，将陌生的新运算转化为已学的幂的运算，再灵活运用幂的相关性质推导计算，能较好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
