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10.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图①、图②两种方式放置(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示).若图①中阴影部分的面积为$S_1$，图②中阴影部分的面积之和为$S_2$，则关于$S_1$，$S_2$的大小关系，下列表述正确的是(
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.无法确定
A
).A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.无法确定
答案
10.A
解析
【分析】
要比较$S_1$和$S_2$的大小，我们可以先设矩形ABCD的长和宽为参数，再分别用含参数、$a$、$b$的代数式表示出$S_1$和$S_2$，最后计算$S_1$与$S_2$的差，根据差的正负即可判断两者的大小关系。解题时要先理清两个图中阴影部分的构成，准确列出代数式，再通过整式的加减运算化简，消去相同项后判断结果的正负。
【解析】
设矩形ABCD的长$AD=BC=m$，宽$AB=CD=n$。
1. 计算$S_1$：
图①中，阴影面积等于矩形总面积减去大正方形面积，再减去小正方形未与大正方形重叠的部分面积，列式得：
$S_1 = mn - a^2 - b(m - a)$
2. 计算$S_2$：
图②中，阴影面积之和等于矩形总面积减去大正方形面积，再减去小正方形未与大正方形重叠的部分面积，列式得：
$S_2 = mn - a^2 - b(n - b)$
3. 作差比较大小：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= [mn - a^2 - b(m - a)] - [mn - a^2 - b(n - b)] \\&= mn - a^2 - bm + ab - mn + a^2 + bn - b^2 \\&= b(a - b) + b(n - m)\end{aligned}$
结合图形特征可知$a＞b$，且$a+n ＞ m + b$，因此$S_1 - S_2＞0$，即$S_1＞S_2$。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；整式的加减；面积计算
【点评】
本题采用作差法比较面积大小，解题核心是合理设出矩形的边长，准确列出两个阴影面积的代数式，再通过整式的加减化简判断差值正负，体现了用代数方法解决几何问题的思想。
【难度系数】
0.6
要比较$S_1$和$S_2$的大小，我们可以先设矩形ABCD的长和宽为参数，再分别用含参数、$a$、$b$的代数式表示出$S_1$和$S_2$，最后计算$S_1$与$S_2$的差，根据差的正负即可判断两者的大小关系。解题时要先理清两个图中阴影部分的构成，准确列出代数式，再通过整式的加减运算化简，消去相同项后判断结果的正负。
【解析】
设矩形ABCD的长$AD=BC=m$，宽$AB=CD=n$。
1. 计算$S_1$：
图①中，阴影面积等于矩形总面积减去大正方形面积，再减去小正方形未与大正方形重叠的部分面积，列式得：
$S_1 = mn - a^2 - b(m - a)$
2. 计算$S_2$：
图②中，阴影面积之和等于矩形总面积减去大正方形面积，再减去小正方形未与大正方形重叠的部分面积，列式得：
$S_2 = mn - a^2 - b(n - b)$
3. 作差比较大小：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= [mn - a^2 - b(m - a)] - [mn - a^2 - b(n - b)] \\&= mn - a^2 - bm + ab - mn + a^2 + bn - b^2 \\&= b(a - b) + b(n - m)\end{aligned}$
结合图形特征可知$a＞b$，且$a+n ＞ m + b$，因此$S_1 - S_2＞0$，即$S_1＞S_2$。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；整式的加减；面积计算
【点评】
本题采用作差法比较面积大小，解题核心是合理设出矩形的边长，准确列出两个阴影面积的代数式，再通过整式的加减化简判断差值正负，体现了用代数方法解决几何问题的思想。
【难度系数】
0.6
二 填空题
11.有三个连续整数，n 是其中最大的一个数，则其中最小的一个数为
11.有三个连续整数，n 是其中最大的一个数，则其中最小的一个数为
$n-2$
.答案
11.$n-2$
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：已知三个数是连续整数，且最大的数是n，需要求最小的数。首先回忆连续整数的核心特点：相邻两个整数之间相差1，三个连续整数里，最大的数比最小的数多2（因为最大和最小之间间隔1个中间数，差值为1+1=2），所以只要用最大的数减去2就能得到最小的数。
【解析】
解：因为相邻的两个连续整数相差1，
已知三个连续整数中最大的数是n，
那么排在中间的连续整数为 $ n-1 $，
最小的连续整数比中间的数还小1，即 $ (n-1)-1 = n-2 $。
【答案】
$ n-2 $
【知识点】
连续整数的特征、列代数式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对连续整数性质的理解和用字母表示数的应用，熟练掌握相邻整数的差值关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先梳理已知条件：已知三个数是连续整数，且最大的数是n，需要求最小的数。首先回忆连续整数的核心特点：相邻两个整数之间相差1，三个连续整数里，最大的数比最小的数多2（因为最大和最小之间间隔1个中间数，差值为1+1=2），所以只要用最大的数减去2就能得到最小的数。
【解析】
解：因为相邻的两个连续整数相差1，
已知三个连续整数中最大的数是n，
那么排在中间的连续整数为 $ n-1 $，
最小的连续整数比中间的数还小1，即 $ (n-1)-1 = n-2 $。
【答案】
$ n-2 $
【知识点】
连续整数的特征、列代数式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对连续整数性质的理解和用字母表示数的应用，熟练掌握相邻整数的差值关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
12.一辆小汽车每小时行驶$a$ km，高铁的速度比它的2倍还快60 km，则高铁每小时行驶
$(2a+60)$
km.答案
12.$(2a+60)$
解析
【分析】
这是一道列代数式的基础题，解题核心是准确梳理题目中的数量关系。首先明确基础量是小汽车的行驶速度，为每小时a km；再理解“速度比它的2倍还快60km”的含义：先计算小汽车速度的2倍，再加上多出的60km，即可得到高铁的速度。
【解析】
已知小汽车每小时行驶a km：
1. 先计算小汽车速度的2倍：$2× a=2a$（km）
2. 高铁速度比2倍的小汽车速度还快60km，因此高铁速度为2a加上60，带单位时代数式需加括号，即$(2a+60)$ km。
【答案】
$(2a+60)$
【知识点】
用字母表示数；列代数式
【点评】
本题考查根据文字描述列代数式，解题关键是准确理解“倍”“多（快）”这类关键词对应的运算关系，理清数量逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这是一道列代数式的基础题，解题核心是准确梳理题目中的数量关系。首先明确基础量是小汽车的行驶速度，为每小时a km；再理解“速度比它的2倍还快60km”的含义：先计算小汽车速度的2倍，再加上多出的60km，即可得到高铁的速度。
【解析】
已知小汽车每小时行驶a km：
1. 先计算小汽车速度的2倍：$2× a=2a$（km）
2. 高铁速度比2倍的小汽车速度还快60km，因此高铁速度为2a加上60，带单位时代数式需加括号，即$(2a+60)$ km。
【答案】
$(2a+60)$
【知识点】
用字母表示数；列代数式
【点评】
本题考查根据文字描述列代数式，解题关键是准确理解“倍”“多（快）”这类关键词对应的运算关系，理清数量逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13.一个房间用方砖铺地，用面积为$9\ \mathrm{dm}^2$的方砖，需要96块。如果改用面积为$4\ \mathrm{dm}^2$的方砖，需要
216
块。答案
13.216
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住不变量：房间地面的总面积不会随方砖的面积和使用块数的变化而变化。解题思路分两步走：第一步先根据已知的原方砖面积和所需块数，计算出房间地面的总面积；第二步用总面积除以新方砖的单块面积，就能得到改用新方砖需要的块数。
【解析】
首先计算房间地面的总面积：
$9×96 = 864\ \mathrm{dm}^2$
再计算使用面积为$4\ \mathrm{dm}^2$的方砖需要的块数：
$864÷4 = 216$（块）
【答案】
216
【知识点】
归总问题、乘除混合运算应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是找准不变的总量（地面总面积），先求出总数量，再根据新的单量计算对应份数，计算时注意细心避免运算错误即可。
【难度系数】
0.85
解决这道题的核心是抓住不变量：房间地面的总面积不会随方砖的面积和使用块数的变化而变化。解题思路分两步走：第一步先根据已知的原方砖面积和所需块数，计算出房间地面的总面积；第二步用总面积除以新方砖的单块面积，就能得到改用新方砖需要的块数。
【解析】
首先计算房间地面的总面积：
$9×96 = 864\ \mathrm{dm}^2$
再计算使用面积为$4\ \mathrm{dm}^2$的方砖需要的块数：
$864÷4 = 216$（块）
【答案】
216
【知识点】
归总问题、乘除混合运算应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是找准不变的总量（地面总面积），先求出总数量，再根据新的单量计算对应份数，计算时注意细心避免运算错误即可。
【难度系数】
0.85
14.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用小棒摆“金鱼”比赛.如图所示，
，按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用小棒的根数为
，按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用小棒的根数为$6n+2$
.答案
14.$6n+2$
解析
【分析】
要找出摆n个“金鱼”所需小棒的根数，我们可以先从已知的前3个图形入手，先分别数出每个图形中小棒的总数量，再观察小棒数量随金鱼个数增加的变化规律：对比相邻两个图形的小棒数，可发现每多摆1个金鱼，小棒的数量就增加6根，再结合第一个图形的小棒数，就能推导出n个金鱼对应的小棒数量表达式。
【解析】
第一步：数出图①（1个金鱼）的小棒根数为8，可写为：$8 = 6×1 + 2$；
第二步：数出图②（2个金鱼）的小棒根数为14，可写为：$14 = 6×2 + 2$；
第三步：数出图③（3个金鱼）的小棒根数为20，可写为：$20 = 6×3 + 2$；
观察上述式子的规律可得：每增加1个金鱼，就会增加6根小棒，因此摆n个“金鱼”时，所需小棒的根数为$6n+2$。
【答案】
$6n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是基础的图形规律探究类题目，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，找到数量随图形个数增长的固定差值，再结合首项推导通用表达式，解题时注意不要数错前几个图形的小棒数量即可。
【难度系数】
0.7
要找出摆n个“金鱼”所需小棒的根数，我们可以先从已知的前3个图形入手，先分别数出每个图形中小棒的总数量，再观察小棒数量随金鱼个数增加的变化规律：对比相邻两个图形的小棒数，可发现每多摆1个金鱼，小棒的数量就增加6根，再结合第一个图形的小棒数，就能推导出n个金鱼对应的小棒数量表达式。
【解析】
第一步：数出图①（1个金鱼）的小棒根数为8，可写为：$8 = 6×1 + 2$；
第二步：数出图②（2个金鱼）的小棒根数为14，可写为：$14 = 6×2 + 2$；
第三步：数出图③（3个金鱼）的小棒根数为20，可写为：$20 = 6×3 + 2$；
观察上述式子的规律可得：每增加1个金鱼，就会增加6根小棒，因此摆n个“金鱼”时，所需小棒的根数为$6n+2$。
【答案】
$6n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是基础的图形规律探究类题目，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，找到数量随图形个数增长的固定差值，再结合首项推导通用表达式，解题时注意不要数错前几个图形的小棒数量即可。
【难度系数】
0.7
15.科学家在研究地震活动规律时发现,古地震发生至今的间隔年代$y$与震区古树木的树干茎部周长$c$、树木的年轮平均生长宽度$d$之间有一个关系为$y=\frac{c}{2π d}$. 若科学家在2026年测得某震区一古树木的树干茎部周长$c=264\ \mathrm{cm}$,它的年轮平均生长宽度$d=0.66\ \mathrm{mm}$,则该震区地震发生的大致年代是
1 389
年($π$取3.14)(结果取整数).答案
15.1 389
解析
【分析】
解题时首先要注意单位统一，题目中给出的周长c单位是cm，年轮平均生长宽度d单位是mm，单位不同不能直接代入公式计算，需先将二者单位换算一致；再把换算后的数值代入关系式$y=\frac{c}{2π d}$，计算出古地震发生至今的间隔年代y；最后用测量年份2026减去间隔年代y，即可求出地震发生的大致年代。
【解析】
第一步：统一单位
因为$1\mathrm{mm}=0.1\mathrm{cm}$，所以$d=0.66\mathrm{mm}=0.066\mathrm{cm}$。
第二步：代入公式计算间隔年代y
将$c=264\mathrm{cm}$，$d=0.066\mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$y=\frac{c}{2π d}$得：
$y=\frac{264}{2×3.14×0.066}=\frac{264}{0.41448}\approx637$（年）
第三步：计算地震发生年代
用测量年份2026减去间隔年代：$2026-637=1389$（年）
【答案】
1389
【知识点】
单位换算，代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题是结合实际场景的代数应用题，解题的核心易错点是忽略单位统一直接代入计算，只要细心换算单位，准确代入公式计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要注意单位统一，题目中给出的周长c单位是cm，年轮平均生长宽度d单位是mm，单位不同不能直接代入公式计算，需先将二者单位换算一致；再把换算后的数值代入关系式$y=\frac{c}{2π d}$，计算出古地震发生至今的间隔年代y；最后用测量年份2026减去间隔年代y，即可求出地震发生的大致年代。
【解析】
第一步：统一单位
因为$1\mathrm{mm}=0.1\mathrm{cm}$，所以$d=0.66\mathrm{mm}=0.066\mathrm{cm}$。
第二步：代入公式计算间隔年代y
将$c=264\mathrm{cm}$，$d=0.066\mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$y=\frac{c}{2π d}$得：
$y=\frac{264}{2×3.14×0.066}=\frac{264}{0.41448}\approx637$（年）
第三步：计算地震发生年代
用测量年份2026减去间隔年代：$2026-637=1389$（年）
【答案】
1389
【知识点】
单位换算，代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题是结合实际场景的代数应用题，解题的核心易错点是忽略单位统一直接代入计算，只要细心换算单位，准确代入公式计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
16.若式子$2a+ab-5$的值与$a$的值无关，则$b$的值为
$-2$
。答案
16.$-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需理解“式子的值与a的值无关”的含义：即无论a取任意数值，式子的计算结果都不会改变。此时我们可以先将式子中所有含有a的项合并，若合并后a的系数为0，那么含a的部分的值就恒为0，式子的结果就不会随a的变化而变化，最后令a的系数等于0，解出b的值即可。
【解析】
先对式子$2a + ab - 5$整理，提取公因式$a$，将含$a$的项合并：
$2a + ab - 5 = a(2 + b) - 5$
因为式子的值与$a$的值无关，所以$a$的系数必须为0，即：
$2 + b = 0$
解得：$b = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
合并同类项、代数式值的无关性、解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的常考基础题型，解题关键在于理解“代数式的值与某字母无关时，该字母的系数为0”这一规律，掌握该规律即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需理解“式子的值与a的值无关”的含义：即无论a取任意数值，式子的计算结果都不会改变。此时我们可以先将式子中所有含有a的项合并，若合并后a的系数为0，那么含a的部分的值就恒为0，式子的结果就不会随a的变化而变化，最后令a的系数等于0，解出b的值即可。
【解析】
先对式子$2a + ab - 5$整理，提取公因式$a$，将含$a$的项合并：
$2a + ab - 5 = a(2 + b) - 5$
因为式子的值与$a$的值无关，所以$a$的系数必须为0，即：
$2 + b = 0$
解得：$b = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
合并同类项、代数式值的无关性、解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的常考基础题型，解题关键在于理解“代数式的值与某字母无关时，该字母的系数为0”这一规律，掌握该规律即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17.(1)用代数式表示“$a$与$b$的平方和除以$c$”.
(2)当$a=2,b=1,c=-3$时,求(1)中代数式的值.
17.(1)用代数式表示“$a$与$b$的平方和除以$c$”.
(2)当$a=2,b=1,c=-3$时,求(1)中代数式的值.
答案
17.(1)$\frac{a^2+b^2}{c}$ (2)$-\frac{5}{3}$
解析
【分析】
(1) 解题时先明确运算顺序：“a与b的平方和”指的是先分别求a的平方、b的平方，再将两个平方结果相加，最后用所得的和除以c，按照这个运算顺序列代数式即可。
(2) 求代数式的值时，直接将a、b、c的取值代入第(1)问得到的代数式，按照先算乘方、再算加法、最后算除法的顺序计算，注意负数作除数时的符号处理。
【解析】
(1) 先求a的平方为$a^2$，b的平方为$b^2$，两者的和为$a^2 + b^2$，再除以c，可得代数式为$\frac{a^2 + b^2}{c}$。
(2) 把$a=2$，$b=1$，$c=-3$代入$\frac{a^2 + b^2}{c}$中：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2 + 1^2}{-3}\\&=\frac{4 + 1}{-3}\\&=-\frac{5}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{a^2+b^2}{c}$；(2)$-\frac{5}{3}$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确理解“平方和”的定义，避免将其与“和的平方”混淆，代入计算时要严格遵循有理数的运算顺序，注意符号的正确性。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先明确运算顺序：“a与b的平方和”指的是先分别求a的平方、b的平方，再将两个平方结果相加，最后用所得的和除以c，按照这个运算顺序列代数式即可。
(2) 求代数式的值时，直接将a、b、c的取值代入第(1)问得到的代数式，按照先算乘方、再算加法、最后算除法的顺序计算，注意负数作除数时的符号处理。
【解析】
(1) 先求a的平方为$a^2$，b的平方为$b^2$，两者的和为$a^2 + b^2$，再除以c，可得代数式为$\frac{a^2 + b^2}{c}$。
(2) 把$a=2$，$b=1$，$c=-3$代入$\frac{a^2 + b^2}{c}$中：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2 + 1^2}{-3}\\&=\frac{4 + 1}{-3}\\&=-\frac{5}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{a^2+b^2}{c}$；(2)$-\frac{5}{3}$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确理解“平方和”的定义，避免将其与“和的平方”混淆，代入计算时要严格遵循有理数的运算顺序，注意符号的正确性。
【难度系数】
0.8
