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例1 小红到文具店买了5本笔记本和3支圆珠笔，小颖也到文具店买了6本笔记本和4支圆珠笔.笔记本每本a元，圆珠笔每支b元，那么小红比小颖少花多少元钱？
【思路导析】小颖花的钱－小红花的钱＝小红比小颖少花的钱.
【请你解答】
【思路导析】小颖花的钱－小红花的钱＝小红比小颖少花的钱.
【请你解答】
答案
解：
小红花费的金额为$(5a + 3b)$元，
小颖花费的金额为$(6a + 4b)$元。
小红比小颖少花的金额为：
$\begin{aligned}(6a + 4b) - (5a + 3b)&=6a + 4b - 5a - 3b \\&=a + b\end{aligned}$
答：小红比小颖少花$(a+b)$元钱。
小红花费的金额为$(5a + 3b)$元，
小颖花费的金额为$(6a + 4b)$元。
小红比小颖少花的金额为：
$\begin{aligned}(6a + 4b) - (5a + 3b)&=6a + 4b - 5a - 3b \\&=a + b\end{aligned}$
答：小红比小颖少花$(a+b)$元钱。
解析
【分析】
要计算小红比小颖少花的钱，首先明确数量关系：小红比小颖少花的钱=小颖的总花费-小红的总花费。第一步先分别计算两人的总花费：根据“总价=单价×数量”，分别求出两人买笔记本、圆珠笔的花费，相加得到各自的总花费，用含a、b的代数式表示；第二步将两人的总花费代入上述数量关系列减法算式；第三步按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，即可求出最终结果。
【解析】
首先计算两人各自的花费：
小红买5本笔记本、3支圆珠笔的总花费为：$(5a + 3b)$元
小颖买6本笔记本、4支圆珠笔的总花费为：$(6a + 4b)$元
小红比小颖少花的金额为：
$\begin{aligned}(6a + 4b) - (5a + 3b)&=6a + 4b - 5a - 3b \\&=a + b\end{aligned}$
答：小红比小颖少花$(a+b)$元钱。
【答案】
小红比小颖少花$\boldsymbol{(a+b)}$元钱。
【知识点】
列代数式、去括号、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题的关键是结合生活中的消费场景，正确根据总价公式列出对应代数式，运算时注意去括号的符号规则，准确合并同类项即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要计算小红比小颖少花的钱，首先明确数量关系：小红比小颖少花的钱=小颖的总花费-小红的总花费。第一步先分别计算两人的总花费：根据“总价=单价×数量”，分别求出两人买笔记本、圆珠笔的花费，相加得到各自的总花费，用含a、b的代数式表示；第二步将两人的总花费代入上述数量关系列减法算式；第三步按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，即可求出最终结果。
【解析】
首先计算两人各自的花费：
小红买5本笔记本、3支圆珠笔的总花费为：$(5a + 3b)$元
小颖买6本笔记本、4支圆珠笔的总花费为：$(6a + 4b)$元
小红比小颖少花的金额为：
$\begin{aligned}(6a + 4b) - (5a + 3b)&=6a + 4b - 5a - 3b \\&=a + b\end{aligned}$
答：小红比小颖少花$(a+b)$元钱。
【答案】
小红比小颖少花$\boldsymbol{(a+b)}$元钱。
【知识点】
列代数式、去括号、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题的关键是结合生活中的消费场景，正确根据总价公式列出对应代数式，运算时注意去括号的符号规则，准确合并同类项即可得到结果。
【难度系数】
0.9
例2 如图,在半径为R的圆形钢板上,挖去四个半径为r的小圆,用式子表示剩余部分的面积.若$R=14\ \mathrm{cm},r=4\ \mathrm{cm}$,请你计算剩余部分的面积.(结果保留$π$)
【思路导析】先用整式表示出剩余部分的面积,再将$R$与$r$的值代入求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】先用整式表示出剩余部分的面积,再将$R$与$r$的值代入求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，可得表示剩余部分面积的式子为：
$π R^2 - 4π r^2$
将$R=14\ \mathrm{cm}$，$r=4\ \mathrm{cm}$代入式子计算：
$\begin{aligned}π R^2 - 4π r^2&=π×14^2 - 4π×4^2\\&=196π - 64π\\&=132π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：剩余部分的面积为$132π\ \mathrm{cm}^2$。
剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，可得表示剩余部分面积的式子为：
$π R^2 - 4π r^2$
将$R=14\ \mathrm{cm}$，$r=4\ \mathrm{cm}$代入式子计算：
$\begin{aligned}π R^2 - 4π r^2&=π×14^2 - 4π×4^2\\&=196π - 64π\\&=132π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：剩余部分的面积为$132π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要求剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去四个挖去的小圆的总面积。第一步先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$（$r$为圆的半径），先分别表示出大圆和4个小圆的面积，再作差得到剩余面积的代数式；第二步将给定的$R$、$r$的数值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的顺序计算即可得到结果。
【解析】
剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，可得剩余部分面积的表达式：
$S_{\mathrm{剩余}}=π R^2 - 4π r^2$
将$R=14\ \mathrm{cm}$，$r=4\ \mathrm{cm}$代入上式计算：
$\begin{aligned}π R^2 - 4π r^2&=π×14^2 - 4π×4^2\\&=196π - 4π×16\\&=196π - 64π\\&=132π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
剩余部分的面积为$132π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题型，解题关键是理解“剩余面积=整体面积-挖去部分面积”的计算逻辑，计算代数式的值时要遵循运算顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
要求剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去四个挖去的小圆的总面积。第一步先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$（$r$为圆的半径），先分别表示出大圆和4个小圆的面积，再作差得到剩余面积的代数式；第二步将给定的$R$、$r$的数值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的顺序计算即可得到结果。
【解析】
剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，可得剩余部分面积的表达式：
$S_{\mathrm{剩余}}=π R^2 - 4π r^2$
将$R=14\ \mathrm{cm}$，$r=4\ \mathrm{cm}$代入上式计算：
$\begin{aligned}π R^2 - 4π r^2&=π×14^2 - 4π×4^2\\&=196π - 4π×16\\&=196π - 64π\\&=132π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
剩余部分的面积为$132π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题型，解题关键是理解“剩余面积=整体面积-挖去部分面积”的计算逻辑，计算代数式的值时要遵循运算顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
例3 为建设美丽乡村，某村规划修建一个小广场(如图).
(1)求该广场的周长C(用含m,n的式子表示)；
(2)当m=8 m,n=5 m时，计算出小广场的面积.
【思路导析】根据图形的特征正确表示出图形的周长、面积，再利用整式的化简求值解决问题.
【规范解答】(1)$C=2(2m+2n)+2n=4m+6n$，所以该广场的周长$C$为$4m+6n$.
(2)小广场的面积为$2m·2n -n(2m -m -0.5m)=3.5mn$.
当$m=8 m,n=5 m$时，$3.5×8×5=140 (m^2)$，所以小广场的面积为$140 m^2$.
变式探究
如图所示.
(1)用整式表示阴影部分的面积；
(2)当$a=3,b=2$时，阴影部分的面积为多少？($π$取3.14)
学后反思
用整式的加减解决实际问题的关键是正确地用整式表示相关的量.
(1)求该广场的周长C(用含m,n的式子表示)；
(2)当m=8 m,n=5 m时，计算出小广场的面积.
【思路导析】根据图形的特征正确表示出图形的周长、面积，再利用整式的化简求值解决问题.
【规范解答】(1)$C=2(2m+2n)+2n=4m+6n$，所以该广场的周长$C$为$4m+6n$.
(2)小广场的面积为$2m·2n -n(2m -m -0.5m)=3.5mn$.
当$m=8 m,n=5 m$时，$3.5×8×5=140 (m^2)$，所以小广场的面积为$140 m^2$.
变式探究
如图所示.
(1)用整式表示阴影部分的面积；
(2)当$a=3,b=2$时，阴影部分的面积为多少？($π$取3.14)
学后反思
用整式的加减解决实际问题的关键是正确地用整式表示相关的量.
答案
解：
(1) 阴影部分的面积为大长方形的面积减去两个四分之一圆的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)\end{aligned}$
(2) 当$a=3$，$b=2$，$π=3.14$时：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=3^2+3×2-\frac{3.14}{4}×(3^2+2^2)\\&=9+6-0.785×13\\&=15-10.205\\&=4.795\end{aligned}$
答：(1) 阴影部分的面积为$a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)$；(2) 阴影部分的面积为4.795。
(1) 阴影部分的面积为大长方形的面积减去两个四分之一圆的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)\end{aligned}$
(2) 当$a=3$，$b=2$，$π=3.14$时：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=3^2+3×2-\frac{3.14}{4}×(3^2+2^2)\\&=9+6-0.785×13\\&=15-10.205\\&=4.795\end{aligned}$
答：(1) 阴影部分的面积为$a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)$；(2) 阴影部分的面积为4.795。
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用“作差法”：观察图形可知，阴影部分是大长方形减去两个空白的四分之一圆得到的。先分别计算大长方形、两个四分之一圆的面积，再用大长方形面积减去两个四分之一圆的面积，最后化简得到整式表达式即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需把$a=3$、$b=2$、$π=3.14$直接代入第一问得到的表达式，按运算顺序逐步计算就能得到结果。
【解析】
(1) 由图可知，大长方形的长为$(a+b)$，宽为$a$，两个空白部分分别是半径为$a$的四分之一圆、半径为$b$的四分之一圆：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{半径为}a\mathrm{的四分之一圆}} - S_{\mathrm{半径为}b\mathrm{的四分之一圆}}\\&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)\end{aligned}$
(2) 把$a=3$，$b=2$，$π=3.14$代入上述表达式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=3^2+3×2-\frac{3.14}{4}×(3^2+2^2)\\&=9+6-0.785×13\\&=15-10.205\\&=4.795\end{aligned}$
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)$；
(2) 当$a=3,b=2$时，阴影部分的面积为$4.795$。
【知识点】
割补法求面积、整式加减运算、代数式求值
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确识别各规则图形的边长、半径等参数，列式后正确化简，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可采用“作差法”：观察图形可知，阴影部分是大长方形减去两个空白的四分之一圆得到的。先分别计算大长方形、两个四分之一圆的面积，再用大长方形面积减去两个四分之一圆的面积，最后化简得到整式表达式即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需把$a=3$、$b=2$、$π=3.14$直接代入第一问得到的表达式，按运算顺序逐步计算就能得到结果。
【解析】
(1) 由图可知，大长方形的长为$(a+b)$，宽为$a$，两个空白部分分别是半径为$a$的四分之一圆、半径为$b$的四分之一圆：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{半径为}a\mathrm{的四分之一圆}} - S_{\mathrm{半径为}b\mathrm{的四分之一圆}}\\&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)\end{aligned}$
(2) 把$a=3$，$b=2$，$π=3.14$代入上述表达式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=3^2+3×2-\frac{3.14}{4}×(3^2+2^2)\\&=9+6-0.785×13\\&=15-10.205\\&=4.795\end{aligned}$
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$a^2+ab-\frac{π}{4}(a^2+b^2)$；
(2) 当$a=3,b=2$时，阴影部分的面积为$4.795$。
【知识点】
割补法求面积、整式加减运算、代数式求值
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确识别各规则图形的边长、半径等参数，列式后正确化简，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
