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1. 下列函数中，是二次函数的有（
①$y=x+\frac{1}{2}$；②$y=3(x+1)^2 -1$；③$y=(x+3)^2 -2x^2$；④$y=\frac{1}{x^2}+x$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$y=x+\frac{1}{2}$；②$y=3(x+1)^2 -1$；③$y=(x+3)^2 -2x^2$；④$y=\frac{1}{x^2}+x$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式函数叫做二次函数。解题时我们逐个对4个函数分析，先判断是否为整式，再化简看最高次项是否为2次、二次项系数是否不为0即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一判断：
①$y=x+\frac{1}{2}$：最高次项次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
②$y=3(x+1)^2 -1$：展开化简得$y=3x^2+6x+2$，满足$a=3≠0$，是整式函数，属于二次函数；
③$y=(x+3)^2 -2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，满足$a=-1≠0$，是整式函数，属于二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}+x$：分母含有自变量$x$，不是整式函数，不属于二次函数。
综上，属于二次函数的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，整式的概念
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题关键是牢记二次函数的三个判定条件：一是函数为整式，二是化简后最高次项次数为2，三是二次项系数不为0，避免未化简直接判断或忽略二次项系数要求出错。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式函数叫做二次函数。解题时我们逐个对4个函数分析，先判断是否为整式，再化简看最高次项是否为2次、二次项系数是否不为0即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一判断：
①$y=x+\frac{1}{2}$：最高次项次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
②$y=3(x+1)^2 -1$：展开化简得$y=3x^2+6x+2$，满足$a=3≠0$，是整式函数，属于二次函数；
③$y=(x+3)^2 -2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，满足$a=-1≠0$，是整式函数，属于二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}+x$：分母含有自变量$x$，不是整式函数，不属于二次函数。
综上，属于二次函数的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，整式的概念
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题关键是牢记二次函数的三个判定条件：一是函数为整式，二是化简后最高次项次数为2，三是二次项系数不为0，避免未化简直接判断或忽略二次项系数要求出错。
【难度系数】
0.8
2.二次函数$y=2x^2 -3$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.2、0、-3
B.2、-3、0
C.2、3、0
D.2、0、3
A
）A.2、0、-3
B.2、-3、0
C.2、3、0
D.2、0、3
答案
2.A 点拨:二次函数$y=2x^2 - 3$的二次项系数是2,一次项系数是0,常数项是−3.故选A.
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应，注意没有出现的项对应的系数为0，即可得出各个系数的取值。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题中二次函数$y=2x^2-3$变形为符合一般形式的表达式：$y=2x^2+0· x+(-3)$，对应可得：
二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-3，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略缺失的一次项，误将常数项当成一次项系数，牢记无对应项时该项系数为0即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应，注意没有出现的项对应的系数为0，即可得出各个系数的取值。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题中二次函数$y=2x^2-3$变形为符合一般形式的表达式：$y=2x^2+0· x+(-3)$，对应可得：
二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-3，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略缺失的一次项，误将常数项当成一次项系数，牢记无对应项时该项系数为0即可正确作答。
【难度系数】
0.9
3. 关于x的函数$y=(a-b)x^2+1$是二次函数的条件是(
A.$a≠0$
B.$a≠b$
C.$b=0$
D.$a=0$
B
)A.$a≠0$
B.$a≠b$
C.$b=0$
D.$a=0$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断函数是二次函数的条件，首先回忆二次函数的核心判定规则：二次函数的一般形式为$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数），必须满足两个要求：一是自变量$x$的最高次数为2，二是二次项系数$A≠0$。本题给出的函数$y=(a-b)x^2+1$已经满足$x$的最高次数是2，因此只需要保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到正确条件。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数，$A≠0$）的函数为二次函数。
本题中函数$y=(a-b)x^2+1$的二次项系数为$a-b$，要使该函数为二次函数，需二次项系数不为0，即：
$a-b≠0$
移项得$a≠ b$，因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的限制条件，避免因忽略这一要求选错答案。
【难度系数】
0.9
要判断函数是二次函数的条件，首先回忆二次函数的核心判定规则：二次函数的一般形式为$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数），必须满足两个要求：一是自变量$x$的最高次数为2，二是二次项系数$A≠0$。本题给出的函数$y=(a-b)x^2+1$已经满足$x$的最高次数是2，因此只需要保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到正确条件。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数，$A≠0$）的函数为二次函数。
本题中函数$y=(a-b)x^2+1$的二次项系数为$a-b$，要使该函数为二次函数，需二次项系数不为0，即：
$a-b≠0$
移项得$a≠ b$，因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的限制条件，避免因忽略这一要求选错答案。
【难度系数】
0.9
4.二次函数$y=3x^2 -6x -1$的一次项系数和常数项分别为(
A.3,1
B.6,-1
C.$-6,-1$
D.$-6,0$
C
)A.3,1
B.6,-1
C.$-6,-1$
D.$-6,0$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的一般形式及各项系数的定义：二次函数的标准一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，判断系数时要连同项本身的符号一起分析，再将题目给出的二次函数与一般式对应，即可找到所求的系数。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$bx$是一次项，$b$为一次项系数，$c$为不含字母的常数项。
将给定二次函数$y=3x^2 -6x -1$与一般式对照：
一次项为$-6x$，因此一次项系数是$-6$；
常数项为$-1$。
因此一次项系数和常数项分别为$-6,-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.多项式项与系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数各项系数的识别，解题时需注意不要遗漏项前面的正负号，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次函数的一般形式及各项系数的定义：二次函数的标准一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，判断系数时要连同项本身的符号一起分析，再将题目给出的二次函数与一般式对应，即可找到所求的系数。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$bx$是一次项，$b$为一次项系数，$c$为不含字母的常数项。
将给定二次函数$y=3x^2 -6x -1$与一般式对照：
一次项为$-6x$，因此一次项系数是$-6$；
常数项为$-1$。
因此一次项系数和常数项分别为$-6,-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.多项式项与系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数各项系数的识别，解题时需注意不要遗漏项前面的正负号，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.9
5.【教材P32习题T1变式】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是$x$，降价后的价格为$y$元，原价为$a$元，则$y$与$x$之间的关系式为(
A.$y=a(1-2x)$
B.$y=2a(1-x)$
C.$y=a(1-x)^2$
D.$y=a(1-x^2)$
C
)A.$y=a(1-2x)$
B.$y=2a(1-x)$
C.$y=a(1-x)^2$
D.$y=a(1-x^2)$
答案
5.C
解析
【分析】
这是平均降价率的应用问题，解题关键是明确每次降价的基数是前一次降价后的价格，而非原价。首先先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，最终推导出y和x的函数关系式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格。原价为a元，平均每次降价的百分率为x，因此第一次降价后的价格为 $ a(1-x) $ 元。
第二步：计算第二次降价后的价格。第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价x，因此降价后的价格y等于第一次降价后的价格乘以$ (1-x) $，即：
$ y = a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2 $
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题；列函数关系式；二次函数实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确每次变化的基数为上一轮变化后的量，切勿直接将两次变化的百分率相加，掌握平均变化率的通用公式即可快速解答这类问题。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率的应用问题，解题关键是明确每次降价的基数是前一次降价后的价格，而非原价。首先先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，最终推导出y和x的函数关系式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格。原价为a元，平均每次降价的百分率为x，因此第一次降价后的价格为 $ a(1-x) $ 元。
第二步：计算第二次降价后的价格。第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价x，因此降价后的价格y等于第一次降价后的价格乘以$ (1-x) $，即：
$ y = a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2 $
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题；列函数关系式；二次函数实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确每次变化的基数为上一轮变化后的量，切勿直接将两次变化的百分率相加，掌握平均变化率的通用公式即可快速解答这类问题。
【难度系数】
0.8
6.【教材P31练习T2变式】一个正方形的边长为6，若边长增加x，面积就增加y，则y关于x的函数解析式为(
A.$y=(x+6)^2$
B.$y=x^2+36$
C.$y=x^2+6x$
D.$y=x^2+12x$
D
)A.$y=(x+6)^2$
B.$y=x^2+36$
C.$y=x^2+6x$
D.$y=x^2+12x$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“面积增加量y”是边长增加后的新正方形面积减去原正方形的面积。解题思路分为三步：第一步先计算原正方形的面积，第二步表示出边长增加x后的新正方形面积，第三步用新面积减去原面积，化简后得到y关于x的函数解析式，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知原正方形边长为6，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}}=6×6=36$
边长增加$x$后，新正方形的边长为$(6+x)$，则新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(6+x)^2$
面积增加量$y$等于新面积减原面积，因此：
$y=S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}=(6+x)^2-36$
展开完全平方公式化简得：
$y=x^2+12x+36-36=x^2+12x$
所以y关于x的函数解析式为$y=x^2+12x$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积公式、函数解析式、整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过面积差建立函数关系，解题关键是正确理解“面积增加量”的含义，熟练掌握完全平方公式的展开运算，避免展开漏项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确“面积增加量y”是边长增加后的新正方形面积减去原正方形的面积。解题思路分为三步：第一步先计算原正方形的面积，第二步表示出边长增加x后的新正方形面积，第三步用新面积减去原面积，化简后得到y关于x的函数解析式，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知原正方形边长为6，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}}=6×6=36$
边长增加$x$后，新正方形的边长为$(6+x)$，则新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(6+x)^2$
面积增加量$y$等于新面积减原面积，因此：
$y=S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}=(6+x)^2-36$
展开完全平方公式化简得：
$y=x^2+12x+36-36=x^2+12x$
所以y关于x的函数解析式为$y=x^2+12x$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积公式、函数解析式、整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过面积差建立函数关系，解题关键是正确理解“面积增加量”的含义，熟练掌握完全平方公式的展开运算，避免展开漏项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7.已知一个菱形两条对角线长之和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm，菱形的面积为S cm²，则S（cm²）关于x（cm）的函数解析式为
$S=-\frac{1}{2}x^2+12x$
，自变量x的取值范围是$0＜x＜24$
。答案
7.$S=-\frac{1}{2}x^2+12x\ \ 0＜x＜24$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据两条对角线之和为24cm，用含x的式子表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式化简即可得到S关于x的函数解析式；最后结合对角线长度为正数的隐含条件，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 菱形其中一条对角线长为x cm，两条对角线长之和为24 cm，
∴ 另一条对角线的长为$(24 - x)$ cm。
根据菱形面积公式：$ S = \frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2 $，代入得：
$ S = \frac{1}{2}x(24 - x) $
化简得：$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 12x $
∵ 对角线长度为正数，
∴ $\begin{cases} x ＞ 0 \\ 24 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得：$ 0 ＜ x ＜ 24 $
【答案】
$ S=-\frac{1}{2}x^2+12x $；$ 0＜x＜24 $
【知识点】
菱形面积公式；二次函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查二次函数解析式的列写，解题的关键是熟练掌握菱形面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写或写错范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据两条对角线之和为24cm，用含x的式子表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式化简即可得到S关于x的函数解析式；最后结合对角线长度为正数的隐含条件，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 菱形其中一条对角线长为x cm，两条对角线长之和为24 cm，
∴ 另一条对角线的长为$(24 - x)$ cm。
根据菱形面积公式：$ S = \frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2 $，代入得：
$ S = \frac{1}{2}x(24 - x) $
化简得：$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 12x $
∵ 对角线长度为正数，
∴ $\begin{cases} x ＞ 0 \\ 24 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得：$ 0 ＜ x ＜ 24 $
【答案】
$ S=-\frac{1}{2}x^2+12x $；$ 0＜x＜24 $
【知识点】
菱形面积公式；二次函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查二次函数解析式的列写，解题的关键是熟练掌握菱形面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写或写错范围。
【难度系数】
0.8
8.【体育赛事】2025年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱.某网店以30元/个的价格购进了一批吉祥物.经市场调查发现，吉祥物每天的销售量$y$(个)与售价$x$(元/个)之间的函数关系式为$y=-2x+80$.设吉祥物每天的销售利润为$w$元.
(1)写出$w$关于$x$的函数解析式；
(2)指出(1)中所求函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)写出$w$关于$x$的函数解析式；
(2)指出(1)中所求函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
答案
8.解:(1)$w=(x-30)(-2x+80)=-2x^2+140x-2400$,
(2)二次项系数是−2,一次项系数是140,常数项是−2400.
(2)二次项系数是−2,一次项系数是140,常数项是−2400.
解析
【分析】
(1) 求解利润函数首先要明确销售问题的核心等量关系：总销售利润=单个商品的利润×销售量。其中单个商品利润为售价减去进价，本题中进价固定为30元/个，销售量和售价的函数关系已经给出，将对应量代入等量关系展开整理即可得到w关于x的函数解析式。
(2) 回忆二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，将(1)得到的函数和一般形式对照，就能直接找出对应的三个系数。
【解析】
(1) 单个吉祥物的利润为$(x-30)$元，每天的销售量为$y=-2x+80$个，根据总利润公式可得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-2x+80)$
展开计算：
$w=-2x^2+80x+60x-2400=-2x^2+140x-2400$
(2) 由(1)得到$w=-2x^2+140x-2400$，对照二次函数的一般形式可得：
二次项系数为$-2$，一次项系数为$140$，常数项为$-2400$。
【答案】
(1)$w=-2x^2+140x-2400$
(2)二次项系数是$-2$，一次项系数是$140$，常数项是$-2400$
【知识点】
1.销售问题数量关系
2.二次函数基本概念
3.整式乘法运算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，属于基础类习题，核心考察销售问题中等量关系的应用以及二次函数基本结构的识别，只要理清各个量之间的对应关系就能顺利求解，是巩固基础概念的典型题目。
【难度系数】
0.85
(1) 求解利润函数首先要明确销售问题的核心等量关系：总销售利润=单个商品的利润×销售量。其中单个商品利润为售价减去进价，本题中进价固定为30元/个，销售量和售价的函数关系已经给出，将对应量代入等量关系展开整理即可得到w关于x的函数解析式。
(2) 回忆二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，将(1)得到的函数和一般形式对照，就能直接找出对应的三个系数。
【解析】
(1) 单个吉祥物的利润为$(x-30)$元，每天的销售量为$y=-2x+80$个，根据总利润公式可得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-2x+80)$
展开计算：
$w=-2x^2+80x+60x-2400=-2x^2+140x-2400$
(2) 由(1)得到$w=-2x^2+140x-2400$，对照二次函数的一般形式可得：
二次项系数为$-2$，一次项系数为$140$，常数项为$-2400$。
【答案】
(1)$w=-2x^2+140x-2400$
(2)二次项系数是$-2$，一次项系数是$140$，常数项是$-2400$
【知识点】
1.销售问题数量关系
2.二次函数基本概念
3.整式乘法运算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，属于基础类习题，核心考察销售问题中等量关系的应用以及二次函数基本结构的识别，只要理清各个量之间的对应关系就能顺利求解，是巩固基础概念的典型题目。
【难度系数】
0.85
