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2.(广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元,预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为(
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A
)A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道平均增长率的列方程问题，解题思路如下：首先明确基础量（5月产值）、月均增长率、增长次数、最终量（7月产值）几个核心量。首先回忆增长率相关公式：若初始量为a，增长率为x，增长1次后的量为a(1+x)；连续增长2次的话，就是在第一次增长后的量的基础上再乘(1+x)，即a(1+x)²。本题中5月到7月是连续2个月增长，对应增长次数为2，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，月均增长率为x。
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值为$2500(1+x)$万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值为$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
第三步：结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握连续增长后量的计算公式，解题时要注意区分增长和降低的情况，同时不要将月均增长率混淆为总增长率，避免错选带2x的选项。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率的列方程问题，解题思路如下：首先明确基础量（5月产值）、月均增长率、增长次数、最终量（7月产值）几个核心量。首先回忆增长率相关公式：若初始量为a，增长率为x，增长1次后的量为a(1+x)；连续增长2次的话，就是在第一次增长后的量的基础上再乘(1+x)，即a(1+x)²。本题中5月到7月是连续2个月增长，对应增长次数为2，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，月均增长率为x。
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值为$2500(1+x)$万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值为$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
第三步：结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握连续增长后量的计算公式，解题时要注意区分增长和降低的情况，同时不要将月均增长率混淆为总增长率，避免错选带2x的选项。
【难度系数】
0.85
3.(辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步.设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（
A.$ x(60 - x) = 864 $
B.$ x(x - 60) = 864 $
C.$ x(60 + x) = 864 $
D.$ 2[x + (x + 60)] = 864 $
A
）A.$ x(60 - x) = 864 $
B.$ x(x - 60) = 864 $
C.$ x(60 + x) = 864 $
D.$ 2[x + (x + 60)] = 864 $
答案
3.A
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列一元二次方程的题目，解题思路清晰：首先明确已知条件，题目设矩形的宽为x步，已知长与宽的总和为60步，可先推导出长的代数式；再回忆矩形面积的计算公式；最后结合题目给出的面积数值，将对应量代入等量关系即可列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，且已知矩形面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可列方程为：$x(60-x)=864$，
对应选项可知本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积公式
【点评】
本题结合中国古代数学典籍内容出题，兼具文化性和基础性，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示出矩形的长，再结合面积公式列方程即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
这是一道根据实际问题列一元二次方程的题目，解题思路清晰：首先明确已知条件，题目设矩形的宽为x步，已知长与宽的总和为60步，可先推导出长的代数式；再回忆矩形面积的计算公式；最后结合题目给出的面积数值，将对应量代入等量关系即可列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，且已知矩形面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可列方程为：$x(60-x)=864$，
对应选项可知本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积公式
【点评】
本题结合中国古代数学典籍内容出题，兼具文化性和基础性，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示出矩形的长，再结合面积公式列方程即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
4.(重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
)A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
4.B 点拨:设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,根据题意得$25(1+x)^2=36$,解得$x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(舍去),$∴$该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.故选B.
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的量（n为增长的年数）。本题中初始量为2022年的25万人，增长年数为2年，2年后（2024年）的游客量为36万人，我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解方程后，结合增长率为正数的实际要求舍去负根，即可得到最终结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意列方程：$25(1+x)^2=36$
两边同时除以25，得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$
当$1+x=\frac{6}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=0.2=20\%$；
当$1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$x=-2.2$，年平均增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，本题选B。
【答案】B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是实际应用类的常考题型，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，求解方程后需注意结合实际情况对根进行取舍，整体解题思路清晰固定。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的量（n为增长的年数）。本题中初始量为2022年的25万人，增长年数为2年，2年后（2024年）的游客量为36万人，我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解方程后，结合增长率为正数的实际要求舍去负根，即可得到最终结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x。
根据题意列方程：$25(1+x)^2=36$
两边同时除以25，得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$
当$1+x=\frac{6}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=0.2=20\%$；
当$1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$x=-2.2$，年平均增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，本题选B。
【答案】B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是实际应用类的常考题型，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，求解方程后需注意结合实际情况对根进行取舍，整体解题思路清晰固定。
【难度系数】
0.8
5.(上海)已知关于x的一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根，则m的取值范围是
$m＜-\frac{1}{8}$
。答案
5.$m＜-\frac{1}{8}$ 点拨:$∵$一元二次方程$2x^2 + x - m = 0$没有实数根,$∴Δ=1^2-4×2×(-m)=1+8m＜0$,解得$m＜-\frac{1}{8}.$
解析
【分析】
遇到判断一元二次方程实数根的问题，首先想到利用根的判别式Δ求解。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据“方程没有实数根”得出Δ＜0的不等关系，第三步代入系数列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2 + x - m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=-m$，
∵方程没有实数根，
∴$\Delta = 1^2 - 4×2×(-m) ＜ 0$，
即$1 + 8m ＜ 0$，
移项得$8m ＜ -1$，
解得$m ＜ -\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意准确确定常数项的符号，避免计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
遇到判断一元二次方程实数根的问题，首先想到利用根的判别式Δ求解。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据“方程没有实数根”得出Δ＜0的不等关系，第三步代入系数列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2 + x - m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=-m$，
∵方程没有实数根，
∴$\Delta = 1^2 - 4×2×(-m) ＜ 0$，
即$1 + 8m ＜ 0$，
移项得$8m ＜ -1$，
解得$m ＜ -\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意准确确定常数项的符号，避免计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
6.(四川南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
6.解:(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,$∴m=±\sqrt{6}.$
$∴(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0.$
解方程得$x_1=-1,x_2=4.$
故$x_2=4,m=±\sqrt{6}.$
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0.$
$∴Δ=4m^2+1＞0$,
$∴$原方程有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系得$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$
$∴(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$
$∵-m^2≤0,∴(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
$∴(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0.$
解方程得$x_1=-1,x_2=4.$
故$x_2=4,m=±\sqrt{6}.$
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0.$
$∴Δ=4m^2+1＞0$,
$∴$原方程有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系得$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$
$∴(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$
$∵-m^2≤0,∴(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
解析
【分析】
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程就能求出另一根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，先通过判别式验证方程有两个实根，再利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，把待证明的代数式展开后，将$x_1+x_2$、$x_1x_2$整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=±\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
计算判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=1+4m^2$，
∵ $4m^2≥0$，
∴ $\Delta=1+4m^2＞0$，即原方程总有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$，
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$代入上式得：
$2-m^2 - 3 +1 = -m^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=±\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问考查方程根的基本应用，计算难度较低；第二问结合根与系数的关系化简代数式，再利用非负性证明结论，核心是熟练掌握韦达定理的应用，整体难度不高，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程就能求出另一根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，先通过判别式验证方程有两个实根，再利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，把待证明的代数式展开后，将$x_1+x_2$、$x_1x_2$整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=±\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
计算判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=1+4m^2$，
∵ $4m^2≥0$，
∴ $\Delta=1+4m^2＞0$，即原方程总有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$，
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$代入上式得：
$2-m^2 - 3 +1 = -m^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=±\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问考查方程根的基本应用，计算难度较低；第二问结合根与系数的关系化简代数式，再利用非负性证明结论，核心是熟练掌握韦达定理的应用，整体难度不高，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
7.(山东威海)如图25－6，某校有一块长20 m，宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中粗线部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
图25－6
图25－6
答案
7.解:设小路的宽度为x m,
由题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$,
整理得$2x^2-17x+8=0$,
解得$x_1=0.5,x_2=8$(舍去).
答:小路的宽度为0.5 m.
由题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$,
整理得$2x^2-17x+8=0$,
解得$x_1=0.5,x_2=8$(舍去).
答:小路的宽度为0.5 m.
解析
【分析】
这是一道实际场景下的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设未知量：设小路宽度为x m；2. 推导种植区域尺寸：观察图形可知，竖直方向共有4条小路（左右边界各1条、内部2条），因此9个地块的总水平长度为原矩形长减去4条小路的宽度，即$(20-4x)\mathrm{m}$；水平方向共有4条小路（上下边界各1条、内部2条），因此9个地块的总竖直高度为原矩形宽减去4条小路的宽度，即$(14-4x)\mathrm{m}$；3. 找等量关系：种植区域总面积等于9个小地块的面积之和，即$24×9 \mathrm{ m}^2$；4. 列方程求解后，需检验解是否符合实际意义，几何尺寸不能为负数。
【解析】
解：设小路的宽度为x m，
由题意得种植区域的总长度为$(20-4x)\mathrm{m}$，总宽度为$(14-4x)\mathrm{m}$，根据种植总面积等于9个小地块面积和，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是准确数出小路的数量，正确表示出种植区域的长和宽，求出方程的解后要结合实际场景验证合理性，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
这是一道实际场景下的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设未知量：设小路宽度为x m；2. 推导种植区域尺寸：观察图形可知，竖直方向共有4条小路（左右边界各1条、内部2条），因此9个地块的总水平长度为原矩形长减去4条小路的宽度，即$(20-4x)\mathrm{m}$；水平方向共有4条小路（上下边界各1条、内部2条），因此9个地块的总竖直高度为原矩形宽减去4条小路的宽度，即$(14-4x)\mathrm{m}$；3. 找等量关系：种植区域总面积等于9个小地块的面积之和，即$24×9 \mathrm{ m}^2$；4. 列方程求解后，需检验解是否符合实际意义，几何尺寸不能为负数。
【解析】
解：设小路的宽度为x m，
由题意得种植区域的总长度为$(20-4x)\mathrm{m}$，总宽度为$(14-4x)\mathrm{m}$，根据种植总面积等于9个小地块面积和，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是准确数出小路的数量，正确表示出种植区域的长和宽，求出方程的解后要结合实际场景验证合理性，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
