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13.九年级乒乓球赛采用单循环赛制，图25－4是小佳和小刚对比赛总场数的统计：
(1)小刚的说法有道理吗？请说明理由.
(2)赛后经查询，小佳的统计正确.因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛.则参赛者共有多少名？n的值为多少？
(1)小刚的说法有道理吗？请说明理由.
(2)赛后经查询，小佳的统计正确.因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛.则参赛者共有多少名？n的值为多少？
答案
13.解:(1)小刚的说法有道理.理由如下:
设参赛者共有x名,
由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=40$,
整理,得$x^2-x-80=0$,
解得$x=\frac{1±\sqrt{321}}{2}$,不为整数,
所以方程的解不符合比赛规则,故小刚的说法有道理.
(2)设参赛者共有y名,
由题意,得$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+n=40$,
整理,得$y^2-3y+2n-78=0$,
解得$y=\frac{3±\sqrt{321-8n}}{2}$,
所以易得$n=4.$
当$n=4$时,$y_1=10,y_2=-7$(负值舍去).
答:参赛者共有10名,n的值为4.
设参赛者共有x名,
由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=40$,
整理,得$x^2-x-80=0$,
解得$x=\frac{1±\sqrt{321}}{2}$,不为整数,
所以方程的解不符合比赛规则,故小刚的说法有道理.
(2)设参赛者共有y名,
由题意,得$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+n=40$,
整理,得$y^2-3y+2n-78=0$,
解得$y=\frac{3±\sqrt{321-8n}}{2}$,
所以易得$n=4.$
当$n=4$时,$y_1=10,y_2=-7$(负值舍去).
答:参赛者共有10名,n的值为4.
解析
【分析】
(1) 要判断小刚说法是否正确，先明确单循环赛制的总场数计算规则：若有x名参赛者，每两名参赛者之间只赛1场，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。假设总场数为40，列一元二次方程求解，若解为正整数则小佳说法正确，否则小刚说法正确。
(2) 设参赛者共y名，中途退赛的人参与了n场比赛，剩余y-1名参赛者之间的单循环比赛是完整的，场数为$\frac{(y-1)(y-2)}{2}$，加上退赛者参与的n场，总场数为40，据此列方程。由于参赛人数y、比赛场数n均为正整数，且退赛者最多和其余y-1人各赛1场，即$n＜y-1$，据此筛选符合条件的整数解即可。
【解析】
(1) 小刚的说法有道理，理由如下：
设参赛者共有x名，根据单循环赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=40$
整理得：$x^2 - x - 80 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
因为参赛人数x必须为正整数，而$\sqrt{321}$不是整数，方程的解不符合实际比赛规则，因此总场数不可能是40，小刚的说法有道理。
(2) 设参赛者共有y名，中途退赛的人参与了n场比赛。
除退赛者外，剩余y-1名参赛者之间的单循环赛场数为$\frac{(y-1)(y-2)}{2}$，结合总场数为40可列方程：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2} + n = 40$
整理得：$y^2 - 3y + 2n - 78 = 0$
解关于y的一元二次方程得：$y=\frac{3\pm\sqrt{321 - 8n}}{2}$
因为y为正整数，所以$\sqrt{321 - 8n}$必须为正整数，且$0＜n＜y-1$。
代入验证可知当$n=4$时，$\sqrt{321-8×4}=\sqrt{289}=17$，此时$y=\frac{3+17}{2}=10$（负值舍去），且$4＜10-1=9$，符合实际意义。
【答案】
(1) 小刚的说法有道理；
(2) 参赛者共有10名，n的值为4。
【知识点】
单循环场数计算、一元二次方程应用、实际问题整数解
【点评】
本题结合比赛场景考察一元二次方程的实际应用，解题时需要注意方程的解必须符合实际意义，要结合实际约束条件对解进行筛选，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断小刚说法是否正确，先明确单循环赛制的总场数计算规则：若有x名参赛者，每两名参赛者之间只赛1场，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。假设总场数为40，列一元二次方程求解，若解为正整数则小佳说法正确，否则小刚说法正确。
(2) 设参赛者共y名，中途退赛的人参与了n场比赛，剩余y-1名参赛者之间的单循环比赛是完整的，场数为$\frac{(y-1)(y-2)}{2}$，加上退赛者参与的n场，总场数为40，据此列方程。由于参赛人数y、比赛场数n均为正整数，且退赛者最多和其余y-1人各赛1场，即$n＜y-1$，据此筛选符合条件的整数解即可。
【解析】
(1) 小刚的说法有道理，理由如下：
设参赛者共有x名，根据单循环赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=40$
整理得：$x^2 - x - 80 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$
因为参赛人数x必须为正整数，而$\sqrt{321}$不是整数，方程的解不符合实际比赛规则，因此总场数不可能是40，小刚的说法有道理。
(2) 设参赛者共有y名，中途退赛的人参与了n场比赛。
除退赛者外，剩余y-1名参赛者之间的单循环赛场数为$\frac{(y-1)(y-2)}{2}$，结合总场数为40可列方程：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2} + n = 40$
整理得：$y^2 - 3y + 2n - 78 = 0$
解关于y的一元二次方程得：$y=\frac{3\pm\sqrt{321 - 8n}}{2}$
因为y为正整数，所以$\sqrt{321 - 8n}$必须为正整数，且$0＜n＜y-1$。
代入验证可知当$n=4$时，$\sqrt{321-8×4}=\sqrt{289}=17$，此时$y=\frac{3+17}{2}=10$（负值舍去），且$4＜10-1=9$，符合实际意义。
【答案】
(1) 小刚的说法有道理；
(2) 参赛者共有10名，n的值为4。
【知识点】
单循环场数计算、一元二次方程应用、实际问题整数解
【点评】
本题结合比赛场景考察一元二次方程的实际应用，解题时需要注意方程的解必须符合实际意义，要结合实际约束条件对解进行筛选，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
14.【教材P28复习题T13变式】【观察思考】如图25－5所示：
图25－5
【规律发现】
请用含n(n≥2)的式子填空：
(1)第n个图案中“※”的个数为
(2)第n个图案中“·”的个数为
【规律应用】
(3)结合图案中“※”和“·”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“·”的个数比“※”的个数多77.
图25－5
【规律发现】
请用含n(n≥2)的式子填空：
(1)第n个图案中“※”的个数为
$4n+2$
；(2)第n个图案中“·”的个数为
$(1+n)^2-2$
；【规律应用】
(3)结合图案中“※”和“·”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“·”的个数比“※”的个数多77.
答案
14.解:(1)$4n+2$
(2)$(1+n)^2-2$
(3)由题意得$(1+n)^2-2-(4n+2)=77$,
解得$n_1=10,n_2=-8$(舍去).
故第10个图案中“·”的个数比“※”的个数多77.
(2)$(1+n)^2-2$
(3)由题意得$(1+n)^2-2-(4n+2)=77$,
解得$n_1=10,n_2=-8$(舍去).
故第10个图案中“·”的个数比“※”的个数多77.
解析
【分析】
这是一道图形规律探究结合一元二次方程应用的题目，解题思路如下：①先分别统计前4个图案中“※”和“·”的数量，观察数量随n的变化特征：“※”的数量逐次增加4，为等差数列，可推导通项公式；“·”的数量符合平方数减2的特征，对应推导通项。②第三问根据“·的个数 - ※的个数=77”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 统计前4个图案“※”的个数：
第1个：$6=4×1+2$；第2个：$10=4×2+2$；第3个：$14=4×3+2$；第4个：$18=4×4+2$；
因此第n个图案中“※”的个数为$4n+2$。
(2) 统计前4个图案“·”的个数：
第1个：$2=(1+1)^2-2$；第2个：$7=(2+1)^2-2$；第3个：$14=(3+1)^2-2$；第4个：$23=(4+1)^2-2$；
因此第n个图案中“·”的个数为$(n+1)^2-2$。
(3) 由题意得：$\displaystyle (n+1)^2 -2 - (4n+2)=77$
整理方程：$\displaystyle n^2 +2n +1 -2 -4n -2=77$
即$\displaystyle n^2 -2n -80=0$
因式分解得：$\displaystyle (n-10)(n+8)=0$
解得$\displaystyle n_1=10$，$\displaystyle n_2=-8$
∵n为正整数，
∴舍去$\displaystyle n=-8$
故第10个图案中“·”的个数比“※”的个数多77。
【答案】
(1)$4n+2$
(2)$(n+1)^2-2$
(3)第10个
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查规律探究与方程的综合应用，解题关键是通过观察前几个图形的数量特征推导出通用的代数式，再结合等量关系列方程求解，注意方程的解要符合实际意义（n为正整数）。
【难度系数】
0.65
这是一道图形规律探究结合一元二次方程应用的题目，解题思路如下：①先分别统计前4个图案中“※”和“·”的数量，观察数量随n的变化特征：“※”的数量逐次增加4，为等差数列，可推导通项公式；“·”的数量符合平方数减2的特征，对应推导通项。②第三问根据“·的个数 - ※的个数=77”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 统计前4个图案“※”的个数：
第1个：$6=4×1+2$；第2个：$10=4×2+2$；第3个：$14=4×3+2$；第4个：$18=4×4+2$；
因此第n个图案中“※”的个数为$4n+2$。
(2) 统计前4个图案“·”的个数：
第1个：$2=(1+1)^2-2$；第2个：$7=(2+1)^2-2$；第3个：$14=(3+1)^2-2$；第4个：$23=(4+1)^2-2$；
因此第n个图案中“·”的个数为$(n+1)^2-2$。
(3) 由题意得：$\displaystyle (n+1)^2 -2 - (4n+2)=77$
整理方程：$\displaystyle n^2 +2n +1 -2 -4n -2=77$
即$\displaystyle n^2 -2n -80=0$
因式分解得：$\displaystyle (n-10)(n+8)=0$
解得$\displaystyle n_1=10$，$\displaystyle n_2=-8$
∵n为正整数，
∴舍去$\displaystyle n=-8$
故第10个图案中“·”的个数比“※”的个数多77。
【答案】
(1)$4n+2$
(2)$(n+1)^2-2$
(3)第10个
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查规律探究与方程的综合应用，解题关键是通过观察前几个图形的数量特征推导出通用的代数式，再结合等量关系列方程求解，注意方程的解要符合实际意义（n为正整数）。
【难度系数】
0.65
1.(河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C 点拨:方程$x(x+2)-3=0$,可化为$x^2+2x-3=0$,$∴$两根之和$m=-2＜0$,两根之积$n=-3＜0$[提示:一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与系数的关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$].$∴$点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m与两根之积n的数值，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(m,n)所在的象限。
【解析】
第一步：将方程化为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开整理，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系求m、n的值：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标符号特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的内容结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的取值，再代入根与系数的关系计算，同时要牢记各象限内点的坐标符号特点，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m与两根之积n的数值，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(m,n)所在的象限。
【解析】
第一步：将方程化为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开整理，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系求m、n的值：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标符号特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的内容结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的取值，再代入根与系数的关系计算，同时要牢记各象限内点的坐标符号特点，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
