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5.【数学文化】清初曾传入中国两卷佚名的代数学著作，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由清代数学家李善兰译为《代数学》。该书中记载，形如$x^2 + 10x = 56$的方程，求正数解的几何方法如下：“如图25－1①，先构造一个面积为$x^2$的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为$\frac{5}{2}x$的矩形，则大正方形的面积为$56 + 25 = 81$，则原方程的正数解为$9 - 5 = 4$。”小聪按此方法解关于$y$的方程$y^2 + 20y + m = 0$时，构造出如图25－1②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（
A.$y=6$
B.$y=8$
C.$y=16$
D.$y=2\sqrt{39} -5$
A
）A.$y=6$
B.$y=8$
C.$y=16$
D.$y=2\sqrt{39} -5$
答案
5.A
解析
【分析】
本题是配方法解一元二次方程的几何应用类题目，解题思路可参考题干给出的示例：首先结合图形明确阴影部分面积对应的代数式，再通过补全大正方形实现代数配方，最后通过开平方计算得到方程的正数解。第一步：观察图②，确定阴影部分由中间边长为y的正方形和四个长为y、宽为5的矩形组成，对应代数式为$y^2+20y$，结合阴影面积为156得到变形后的方程；第二步：补全四个角的小正方形得到外围大正方形，计算大正方形的面积；第三步：对大正方形面积开平方得到边长，减去两边新增的长度即可得到y的正数解。
【解析】
由图②可知，阴影部分的面积为中间边长为y的正方形面积与四个长为y、宽为5的矩形面积之和，已知阴影面积为156，可得：
$y^2 + 4×5y = 156$
整理得：$y^2 + 20y = 156$
类比题干的几何构造方法，补全四个角的小正方形得到外围大正方形，每个小正方形的边长为5，大正方形的边长为$y + 2×5 = y+10$。
大正方形的面积 = 阴影部分面积 + 四个小正方形的面积，即：
$(y+10)^2 = 156 + 4×5^2$
计算得：$(y+10)^2 = 156 + 100 = 256$
因为y为正数，所以$y+10 = \sqrt{256} = 16$
解得：$y = 16 - 10 = 6$
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，数形结合思想，代数式的几何意义
【点评】
本题将代数配方过程与几何图形面积计算结合，能帮助学生直观理解配方法的原理，解题核心是找准图形面积和代数式的对应关系，整体比较容易上手。
【难度系数】
0.7
本题是配方法解一元二次方程的几何应用类题目，解题思路可参考题干给出的示例：首先结合图形明确阴影部分面积对应的代数式，再通过补全大正方形实现代数配方，最后通过开平方计算得到方程的正数解。第一步：观察图②，确定阴影部分由中间边长为y的正方形和四个长为y、宽为5的矩形组成，对应代数式为$y^2+20y$，结合阴影面积为156得到变形后的方程；第二步：补全四个角的小正方形得到外围大正方形，计算大正方形的面积；第三步：对大正方形面积开平方得到边长，减去两边新增的长度即可得到y的正数解。
【解析】
由图②可知，阴影部分的面积为中间边长为y的正方形面积与四个长为y、宽为5的矩形面积之和，已知阴影面积为156，可得：
$y^2 + 4×5y = 156$
整理得：$y^2 + 20y = 156$
类比题干的几何构造方法，补全四个角的小正方形得到外围大正方形，每个小正方形的边长为5，大正方形的边长为$y + 2×5 = y+10$。
大正方形的面积 = 阴影部分面积 + 四个小正方形的面积，即：
$(y+10)^2 = 156 + 4×5^2$
计算得：$(y+10)^2 = 156 + 100 = 256$
因为y为正数，所以$y+10 = \sqrt{256} = 16$
解得：$y = 16 - 10 = 6$
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，数形结合思想，代数式的几何意义
【点评】
本题将代数配方过程与几何图形面积计算结合，能帮助学生直观理解配方法的原理，解题核心是找准图形面积和代数式的对应关系，整体比较容易上手。
【难度系数】
0.7
6.若$x=1$是一元二次方程$(m+1)x^2 - m^2x - 2m -1=0$的一个根，则$m=$
0
.答案
6.0 点拨:将$x=1$代入方程得$m+1-m^2-2m-1=0$,即$m(m+1)=0.$又$∵m+1≠0,∴m=0.$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合条件的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m+1)x^2 - m^2x - 2m -1=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(m+1)×1^2 - m^2×1 - 2m -1 = 0$
化简得：$m+1 - m^2 - 2m -1 = 0$
整理得：$-m^2 - m = 0$，即$m(m+1)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=-1$
又
∵该方程是一元二次方程，二次项系数不为0
∴$m+1≠0$，即$m≠-1$
综上，$m=0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将m=-1作为结果，解题时要注意对求解出的参数值进行检验，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合条件的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m+1)x^2 - m^2x - 2m -1=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(m+1)×1^2 - m^2×1 - 2m -1 = 0$
化简得：$m+1 - m^2 - 2m -1 = 0$
整理得：$-m^2 - m = 0$，即$m(m+1)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=-1$
又
∵该方程是一元二次方程，二次项系数不为0
∴$m+1≠0$，即$m≠-1$
综上，$m=0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将m=-1作为结果，解题时要注意对求解出的参数值进行检验，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
7.已知一元二次方程$x^2 -6x -5=0$的两根为$a,b$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值是
$-\frac{6}{5}$
.答案
7.$-\frac{6}{5}$ 点拨:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}.$
解析
【分析】
要求一元二次方程两根的倒数和，无需先求解方程得到两根的具体值，可先通过分式通分将待求式变形为用两根和、两根积表示的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根和与两根积，代入变形后的式子计算即可，解题更简便且不易出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -6x -5=0$，二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为-5，已知方程两根为$a,b$，根据根与系数的关系可得：
两根和$a+b=-\frac{-6}{1}=6$，
两根积$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
对待求式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$，
将$a+b=6$，$ab=-5$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}$。
【答案】
$-\frac{6}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，通过对待求代数式合理变形，避免了求解方程根的繁琐计算，考查对基础公式的掌握和代数式变形能力，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要求一元二次方程两根的倒数和，无需先求解方程得到两根的具体值，可先通过分式通分将待求式变形为用两根和、两根积表示的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根和与两根积，代入变形后的式子计算即可，解题更简便且不易出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -6x -5=0$，二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为-5，已知方程两根为$a,b$，根据根与系数的关系可得：
两根和$a+b=-\frac{-6}{1}=6$，
两根积$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
对待求式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$，
将$a+b=6$，$ab=-5$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}$。
【答案】
$-\frac{6}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，通过对待求代数式合理变形，避免了求解方程根的繁琐计算，考查对基础公式的掌握和代数式变形能力，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8.一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长之和恰好为21米，围成的花坛如图25－2所示，其中∠ACB＝90°.若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB的长为
图25－2
图25－3
15
米.图25－2
图25－3
答案
8.15 点拨:设直角三角形的直角边AC的长为x米,则直角边BC的长为$(21-x)$米.
依题意,得$\frac{1}{2}x·(21-x)=54$,整理,得$x^2-21x+108=0$,解得$x_1=9,x_2=12.$当$x=9$时,$21-x=12$;当$x=12$时,$21-x=9.$在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$(米).
依题意,得$\frac{1}{2}x·(21-x)=54$,整理,得$x^2-21x+108=0$,解得$x_1=9,x_2=12.$当$x=9$时,$21-x=12$;当$x=12$时,$21-x=9.$在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$(米).
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知直角三角形两条直角边的和为21米，面积为54平方米，要求斜边长。我们可以先设其中一条直角边的长度为未知数，用含未知数的式子表示出另一条直角边的长度，再根据直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解得到两条直角边的长度后，最后利用勾股定理即可计算出斜边AB的长度。
【解析】
设直角三角形的直角边AC的长为x米，则直角边BC的长为$(21-x)$米。
根据直角三角形面积公式，依题意得：
$\frac{1}{2}x·(21-x)=54$
整理得：$x^2-21x+108=0$
解得：$x_1=9,x_2=12$
当$x=9$时，$21-x=12$；当$x=12$时，$21-x=9$，即两条直角边的长度分别为9米和12米。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（米）
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是根据面积等量关系建立方程，求出直角边长后再结合勾股定理求解斜边，求解方程后注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，已知直角三角形两条直角边的和为21米，面积为54平方米，要求斜边长。我们可以先设其中一条直角边的长度为未知数，用含未知数的式子表示出另一条直角边的长度，再根据直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解得到两条直角边的长度后，最后利用勾股定理即可计算出斜边AB的长度。
【解析】
设直角三角形的直角边AC的长为x米，则直角边BC的长为$(21-x)$米。
根据直角三角形面积公式，依题意得：
$\frac{1}{2}x·(21-x)=54$
整理得：$x^2-21x+108=0$
解得：$x_1=9,x_2=12$
当$x=9$时，$21-x=12$；当$x=12$时，$21-x=9$，即两条直角边的长度分别为9米和12米。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（米）
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是根据面积等量关系建立方程，求出直角边长后再结合勾股定理求解斜边，求解方程后注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，则$m=$
3
.答案
9.3
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，得到判别式Δ＞0，先求出m的取值范围；再利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=2$求解得到m的可能值，最后结合m的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1, b=2m, c=m^2 - m + 2$，代入得：
$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) = 4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 = 4m - 8 ＞ 0$
解得：$m ＞ 2$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
∵ $x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$
代入得：$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得：$m^2 - 3m = 0$
因式分解得：$m(m - 3) = 0$
解得：$m_1 = 0$，$m_2 = 3$
结合$m ＞ 2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去
∴ $m = 3$
【答案】
3
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意先根据根的个数确定参数的取值范围，再结合根与系数的关系列方程求解，最后一定要检验所得参数是否满足前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，得到判别式Δ＞0，先求出m的取值范围；再利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=2$求解得到m的可能值，最后结合m的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1, b=2m, c=m^2 - m + 2$，代入得：
$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) = 4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 = 4m - 8 ＞ 0$
解得：$m ＞ 2$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
∵ $x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$
代入得：$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得：$m^2 - 3m = 0$
因式分解得：$m(m - 3) = 0$
解得：$m_1 = 0$，$m_2 = 3$
结合$m ＞ 2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去
∴ $m = 3$
【答案】
3
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意先根据根的个数确定参数的取值范围，再结合根与系数的关系列方程求解，最后一定要检验所得参数是否满足前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
10.如图25－3，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为
2
m.答案
10.2
解析
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设小路的宽度为未知数x；2. 因为小路在花坛四周，左右、上下各有一条宽度为x的小路，所以花坛的长=原空地长-2x，花坛的宽=原空地宽-2x；3. 根据“花坛面积是空地面积的一半”这个等量关系列方程；4. 解方程后，结合实际情况对根进行取舍，小路宽度不能为负，也不能使得花坛的长或宽为负，最终得到正确结果。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，花坛的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$。
空地总面积为：$16×12=192\ \mathrm{m}^2$
因为花坛面积为空地面积的一半，因此列方程：
$(16-2x)(12-2x)=192×\frac{1}{2}$
整理方程：
左边展开得$192-32x-24x+4x^2=96$，
移项合并同类项得$4x^2-56x+96=0$，
两边同时除以4得$x^2-14x+24=0$，
因式分解得$(x-2)(x-12)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
检验：当$x=12$时，$16-2x=16-24=-8＜0$，不符合实际意义，舍去；
当$x=2$时，$16-2x=12＞0$，$12-2x=8＞0$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 矩形面积计算 3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是常见的面积类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出花坛的长和宽，找准等量关系列方程，尤其要注意解出方程的根后必须结合实际场景判断是否合理，排除不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设小路的宽度为未知数x；2. 因为小路在花坛四周，左右、上下各有一条宽度为x的小路，所以花坛的长=原空地长-2x，花坛的宽=原空地宽-2x；3. 根据“花坛面积是空地面积的一半”这个等量关系列方程；4. 解方程后，结合实际情况对根进行取舍，小路宽度不能为负，也不能使得花坛的长或宽为负，最终得到正确结果。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，花坛的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$。
空地总面积为：$16×12=192\ \mathrm{m}^2$
因为花坛面积为空地面积的一半，因此列方程：
$(16-2x)(12-2x)=192×\frac{1}{2}$
整理方程：
左边展开得$192-32x-24x+4x^2=96$，
移项合并同类项得$4x^2-56x+96=0$，
两边同时除以4得$x^2-14x+24=0$，
因式分解得$(x-2)(x-12)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
检验：当$x=12$时，$16-2x=16-24=-8＜0$，不符合实际意义，舍去；
当$x=2$时，$16-2x=12＞0$，$12-2x=8＞0$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 矩形面积计算 3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是常见的面积类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出花坛的长和宽，找准等量关系列方程，尤其要注意解出方程的根后必须结合实际场景判断是否合理，排除不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
11.已知$a$和$b$是方程$x^2 + 2027x - 4 = 0$的两个解，则$a^2 + 2026a - b$的值为
2031
.答案
11.2031
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，解题思路如下：①首先将根a代入原方程，得到a²+2027a的取值；②对所求代数式a²+2026a -b进行拆分变形，构造出含a²+2027a和a+b的式子；③利用根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入变形后的式子计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 2027x - 4 = 0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2027a - 4 = 0$，即$a^2 + 2027a = 4$。
又
∵a、b是方程$x^2 + 2027x - 4 = 0$的两个解，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为：
$a + b = -\frac{2027}{1} = -2027$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2026a - b = a^2 + 2027a - a - b = (a^2 + 2027a) - (a + b)$
将$a^2 + 2027a = 4$、$a + b = -2027$代入上式：
原式$= 4 - (-2027) = 4 + 2027 = 2031$。
【答案】
2031
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常考题型，解题核心是利用整体代换思想简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤，重点考查对代数式的灵活变形能力和基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，解题思路如下：①首先将根a代入原方程，得到a²+2027a的取值；②对所求代数式a²+2026a -b进行拆分变形，构造出含a²+2027a和a+b的式子；③利用根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入变形后的式子计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 2027x - 4 = 0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2027a - 4 = 0$，即$a^2 + 2027a = 4$。
又
∵a、b是方程$x^2 + 2027x - 4 = 0$的两个解，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为：
$a + b = -\frac{2027}{1} = -2027$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2026a - b = a^2 + 2027a - a - b = (a^2 + 2027a) - (a + b)$
将$a^2 + 2027a = 4$、$a + b = -2027$代入上式：
原式$= 4 - (-2027) = 4 + 2027 = 2031$。
【答案】
2031
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常考题型，解题核心是利用整体代换思想简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤，重点考查对代数式的灵活变形能力和基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.解下列方程：
(1)$2x^2 + 3x -1=0$；
(2)$7x(2 -x)=3(x -2)$；
(3)$9x^2 -6x -2=0$。
(1)$2x^2 + 3x -1=0$；
(2)$7x(2 -x)=3(x -2)$；
(3)$9x^2 -6x -2=0$。
答案
12.解:(1)$a=2,b=3,c=-1$,
$∴b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17$,
$∴x=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}$,
$∴x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}.$
(2)$7x(2-x)+3(2-x)=0$,
$(2-x)(7x+3)=0$,
$2-x=0$或$7x+3=0$,
$∴x_1=2,x_2=-\frac{3}{7}.$
(3)$(3x-1)^2=3,3x-1=±\sqrt{3}$,
$∴x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{3}.$
$∴b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17$,
$∴x=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}$,
$∴x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}.$
(2)$7x(2-x)+3(2-x)=0$,
$(2-x)(7x+3)=0$,
$2-x=0$或$7x+3=0$,
$∴x_1=2,x_2=-\frac{3}{7}.$
(3)$(3x-1)^2=3,3x-1=±\sqrt{3}$,
$∴x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{3}.$
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程结构选择最简便的解法：(1)该方程为一元二次方程一般形式，系数无特殊特征，适合用公式法求解，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式，最后代入求根公式即可；(2)方程左右两边含互为相反数的因式(2-x)和(x-2)，移项后可提取公因式，用因式分解法求解更简便，无需展开化简；(3)方程二次项系数为完全平方数，一次项系数是对应完全平方式的交叉项系数，适合用配方法凑完全平方后开方求解。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x -1=0$，其中$a=2,b=3,c=-1$，
先计算判别式：$b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：$x=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}$。
(2) 移项得$7x(2-x)+3(2-x)=0$，
提取公因式$(2-x)$得：$(2-x)(7x+3)=0$，
令每个因式为0，得$2-x=0$或$7x+3=0$，分别求解即可。
(3) 移项得$9x^2 -6x =2$，
配方得：$(3x-1)^2=3$，
开方得：$3x-1=±\sqrt{3}$，再求解x即可。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(2)$x_1=2,x_2=-\frac{3}{7}$；
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时优先观察方程特征选择合适的方法可简化计算：因式分解法计算量最小但仅适用于可因式分解的方程，配方法适合二次项系数为完全平方数的方程，公式法为通用解法，适用于所有一元二次方程，计算时要注意判别式符号和运算准确性。
【难度系数】
0.85
解一元二次方程需根据方程结构选择最简便的解法：(1)该方程为一元二次方程一般形式，系数无特殊特征，适合用公式法求解，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式，最后代入求根公式即可；(2)方程左右两边含互为相反数的因式(2-x)和(x-2)，移项后可提取公因式，用因式分解法求解更简便，无需展开化简；(3)方程二次项系数为完全平方数，一次项系数是对应完全平方式的交叉项系数，适合用配方法凑完全平方后开方求解。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x -1=0$，其中$a=2,b=3,c=-1$，
先计算判别式：$b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：$x=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}$。
(2) 移项得$7x(2-x)+3(2-x)=0$，
提取公因式$(2-x)$得：$(2-x)(7x+3)=0$，
令每个因式为0，得$2-x=0$或$7x+3=0$，分别求解即可。
(3) 移项得$9x^2 -6x =2$，
配方得：$(3x-1)^2=3$，
开方得：$3x-1=±\sqrt{3}$，再求解x即可。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(2)$x_1=2,x_2=-\frac{3}{7}$；
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时优先观察方程特征选择合适的方法可简化计算：因式分解法计算量最小但仅适用于可因式分解的方程，配方法适合二次项系数为完全平方数的方程，公式法为通用解法，适用于所有一元二次方程，计算时要注意判别式符号和运算准确性。
【难度系数】
0.85
