1. 为了判断命题“对于任意自然数$n$，代数式$n^2 - 3n + 7$的值都是质数”的真假，甲同学假设$n=6$，得到$n^2 - 3n + 7=25$；乙同学假设$n=3$，得到$n^2 - 3n + 7=7$。
此命题是________。（填“真命题”或“假命题”）

假命题

【分析】
要判断“对于任意自然数n，代数式的值都是质数”这类全称命题的真假，核心逻辑是：若能找到1个反例（即某个自然数n代入后代数式的值不是质数），就可直接判定命题为假；若要判定命题为真，则需要证明对所有自然数n都满足结论，仅靠部分符合的特例无法证明命题为真。本题中甲同学找到n=6的情况，我们只需验证该情况下代数式的值是否为质数，就能得出命题真假。
【解析】
首先明确质数的定义：质数是指大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
1. 计算甲同学取n=6时代数式的值：
$n^2 -3n +7 = 6^2 -3×6 +7 = 36 - 18 +7 = 25$
2. 分析25的属性：25的因数有1、5、25，除了1和它本身25之外，还能被5整除，因此25是合数，不是质数。
3. 存在自然数n=6使得代数式的值不是质数，已经构成反例，无论有多少个符合结论的特例（如乙同学n=3时得到7是质数），都不能改变命题为假的结论。
【答案】
假命题
【知识点】
命题真假判断；质数的定义；代数式求值
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，核心是掌握全称命题的判定规则：判定全称命题为假只需举出一个反例即可，判定全称命题为真则需要经过严谨的逻辑推导，不能仅凭部分符合的特例就判断命题为真。
【难度系数】
0.9

2. 如图,直线 $ l_1 $ 与 $ l_3 $,$ l_4 $ 分别交于点A,B,直线 $ l_2 $ 与 $ l_3 $,$ l_4 $ 分别交于点C,D。已测得 $ ∠ 1 = 60° $,通过以下操作,能验证得到 $ l_3 // l_4 $ 的是()。

A.测量点A处除$ ∠ 1 $外任意一个角的度数(不包括平角,下同)
B.测量点B处任意一个角的度数
C.测量点C处任意一个角的度数
D.测量点D处任意一个角的度数

B

【分析】
要验证$l_3 // l_4$，需结合平行线的判定定理，判断测量的角能否和已知的$∠ 1$形成“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的关系。首先确定已知$∠ 1$是直线$l_1$截$l_3$得到的角，若选$l_1$作为$l_3$、$l_4$的截线，对应角应在$l_1$与$l_4$的交点$B$处；若选$l_2$作为截线，因未给出$l_1$和$l_2$的位置关系，无法将$l_2$截得的角与$∠ 1$关联，因此只需判断各选项测量的角能否和$∠ 1$满足判定条件即可。
【解析】
根据平行线的判定定理：两直线被第三条直线所截，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，则两直线平行，逐一分析选项：
A选项：点A处除$∠ 1$外的角均为$l_1$与$l_3$的夹角，仅能得到和$∠ 1$相等或互补的角，无法关联直线$l_4$，不能判定$l_3 // l_4$，排除；
B选项：点B处的角是$l_1$与$l_4$的夹角，任意角都可通过对顶角相等、邻补角互补的性质，转换为$l_3$、$l_4$被$l_1$所截时与$∠ 1$对应的同位角、内错角或同旁内角：若测得角为$60°$，则同位角/内错角相等，可判定平行；若测得角为$120°$，则同旁内角互补，可判定平行，符合要求；
C选项：点C处的角是$l_2$与$l_3$的夹角，题目未给出$l_1$和$l_2$的位置关系，无法和$∠ 1$建立联系，不能判定$l_3 // l_4$，排除；
D选项：点D处的角是$l_2$与$l_4$的夹角，同样无法和$∠ 1$建立联系，不能判定$l_3 // l_4$，排除。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，对顶角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题考查平行线判定的实际应用，解题的核心是找准截线，判断测量所得的角能否与已知角共同满足平行线的判定条件，避免因混淆截线和被截线导致判断错误。
【难度系数】
0.7

3. 完成下面的证明,并在括号内填写理由。 (第2题)
已知:如图,点E在线段BC上,AB//DE,∠1=∠2。
求证:AE//DC。
证明:因为AB//DE(),
所以∠1=∠AED()。
因为∠1=∠2(),
所以∠=∠。
所以AE//DC()。

已知;两直线平行,内错角相等;已知;AED;2;内错角相等,两直线平行

【分析】
这是一道平行线性质与判定的综合证明题，解题思路如下：首先从已知条件$AB// DE$出发，利用平行线的性质可得到对应的内错角相等，即$∠ 1=∠ AED$；再结合题目给出的$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换可得$∠ AED=∠ 2$，这两个角是直线$AE$、$DC$被直线$DE$所截形成的内错角，最后根据平行线的判定定理即可推出$AE// DC$，按照这个逻辑依次填写证明内容和对应理由即可。
【解析】
证明：
因为$AB// DE$（已知），
所以$∠ 1=∠ AED$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠ 1=∠ 2$（已知），
所以$∠ AED=∠ 2$（等量代换）。
所以$AE// DC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
已知;两直线平行,内错角相等;已知;AED;2;内错角相等,两直线平行
【知识点】
平行线的性质，等量代换，平行线的判定
【点评】
本题属于平行线相关证明的基础题型，解题关键是准确区分平行线性质和判定的使用条件，熟练识别内错角即可快速完成解答，注意不要混淆性质和判定的因果关系。
【难度系数】
0.9

4. 已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$。
求证:$∠ A=∠ DCB$。

由∠ACB=90°,得∠A+∠B=90°。由CD⊥AB,得∠B+∠DCB=90°,所以∠A=∠DCB。

【分析】要证明∠A=∠DCB，可从已知的直角条件入手分析角的互余关系：首先已知△ABC中∠ACB=90°，根据直角三角形的性质可得∠A与∠B互余；再由CD⊥AB可知△CDB为直角三角形，可得∠DCB也与∠B互余。根据“同角的余角相等”，即可推出两个角相等。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°（已知），
∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ CD⊥AB（已知），
∴ ∠CDB=90°（垂直的定义），
∴ ∠DCB + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∴ ∠A = ∠DCB（同角的余角相等）。
【答案】
由∠ACB=90°,得∠A+∠B=90°。由CD⊥AB,得∠B+∠DCB=90°,所以∠A=∠DCB。
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查直角三角形的性质和余角的相关性质，掌握角的互余关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8