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7. 小明为了找出图中各三角形的共同特征，分别测量了它们的三边长度。
（1）请分别写出各三角形的三边长（精确到0.1 cm）：
第一个三角形的三边长分别为；
第二个三角形的三边长分别为；
第三个三角形的三边长分别为。
（2）上述各三角形有什么共同的特征？
（3）尝试对具有上述特征的三角形下一个定义。
（1）请分别写出各三角形的三边长（精确到0.1 cm）：
第一个三角形的三边长分别为；
第二个三角形的三边长分别为；
第三个三角形的三边长分别为。
（2）上述各三角形有什么共同的特征？
（3）尝试对具有上述特征的三角形下一个定义。
答案
（1）略
（2）特征:每个三角形中均有两条边相等(或三角形中有两个角相等)。
（3）有两条边相等(或有两个角相等)的三角形叫作等腰三角形。
（2）特征:每个三角形中均有两条边相等(或三角形中有两个角相等)。
（3）有两条边相等(或有两个角相等)的三角形叫作等腰三角形。
解析
【分析】
解题时先处理第一问的测量任务：测量三角形边长时，将刻度尺零刻度线对齐边的一端，读取边另一端对应的刻度，读数精确到0.1cm，依次完成三个三角形所有边的测量。第二问对比每个三角形的三条边长，寻找共同的数量特征，也可辅助测量内角验证特征。第三问根据找到的共同特征，用规范的数学语言给这类三角形下定义即可。
【解析】
（1）使用刻度尺分别测量三个三角形的三条边，读数时估读到小数点后1位，根据实际测量结果填写对应边长即可。
（2）观察测量得到的边长数据，可发现每个三角形的三条边中都有两条边长度相等；若测量三角形内角，也能发现每个三角形都有两个内角度数相等，这就是三个三角形的共同特征。
（3）结合上述共同特征归纳定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，也可表述为有两个角相等的三角形叫做等腰三角形。
【答案】
（1）略（实际测量合理即可）
（2）每个三角形中均有两条边相等(或三角形中有两个角相等)
（3）有两条边相等(或有两个角相等)的三角形叫作等腰三角形
【知识点】
长度的测量；等腰三角形的定义
【点评】
本题将动手操作和概念探究结合，既考查了基本的测量操作能力，又引导学生通过观察、对比共性完成概念的归纳，有助于加深对概念本质的理解。
【难度系数】
0.8
解题时先处理第一问的测量任务：测量三角形边长时，将刻度尺零刻度线对齐边的一端，读取边另一端对应的刻度，读数精确到0.1cm，依次完成三个三角形所有边的测量。第二问对比每个三角形的三条边长，寻找共同的数量特征，也可辅助测量内角验证特征。第三问根据找到的共同特征，用规范的数学语言给这类三角形下定义即可。
【解析】
（1）使用刻度尺分别测量三个三角形的三条边，读数时估读到小数点后1位，根据实际测量结果填写对应边长即可。
（2）观察测量得到的边长数据，可发现每个三角形的三条边中都有两条边长度相等；若测量三角形内角，也能发现每个三角形都有两个内角度数相等，这就是三个三角形的共同特征。
（3）结合上述共同特征归纳定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，也可表述为有两个角相等的三角形叫做等腰三角形。
【答案】
（1）略（实际测量合理即可）
（2）每个三角形中均有两条边相等(或三角形中有两个角相等)
（3）有两条边相等(或有两个角相等)的三角形叫作等腰三角形
【知识点】
长度的测量；等腰三角形的定义
【点评】
本题将动手操作和概念探究结合，既考查了基本的测量操作能力，又引导学生通过观察、对比共性完成概念的归纳，有助于加深对概念本质的理解。
【难度系数】
0.8
8. 观察下列方程:①$x+1=3$;②$x^2 -1=3$;③$x^2 -2x +1=0$;④$2x -1=3 + x$;⑤$2(2x -1)=3(x + 2)$;⑥$2x^2 -1=3(x + 1)$,回答下列问题。
(1) 其中一元一次方程有________(填序号)。
(2) 回顾七年级上册第5章对“一元一次方程”所作出的定义,找出除一元一次方程外的几个方程的共同特征,给出名称,并下一个定义。
(1) 其中一元一次方程有________(填序号)。
(2) 回顾七年级上册第5章对“一元一次方程”所作出的定义,找出除一元一次方程外的几个方程的共同特征,给出名称,并下一个定义。
答案
（1）①④⑤
（2）只含有一个未知数,未知数的最高次数为2次,且两边都是整式,这样的方程叫作一元二次方程。
（2）只含有一个未知数,未知数的最高次数为2次,且两边都是整式,这样的方程叫作一元二次方程。
解析
【分析】
首先解决第(1)问，需要先回忆一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式。将6个方程逐个对照条件判断，筛选出符合要求的即可。第(2)问先找出剩下的方程，分别从未知数个数、未知数最高次数、方程类型三个维度找共同特征，再结合特征给这类方程命名、下定义即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程，逐个判断：
方程①$x+1=3$：仅含未知数$x$，$x$的最高次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程②$x^2 -1=3$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程；
方程③$x^2 -2x +1=0$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程；
方程④$2x -1=3 + x$：整理后得$x=4$，仅含$x$，次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程⑤$2(2x -1)=3(x + 2)$：展开化简得$x=8$，仅含$x$，次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程⑥$2x^2 -1=3(x + 1)$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程。
因此一元一次方程为①④⑤。
(2) 剩余方程为②③⑥，观察共同特征：都只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，且等号两边都是整式。这类方程的名称为一元二次方程，定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元二次方程。
【答案】
(1) $\boxed{①④⑤}$
(2) 名称为一元二次方程，定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元二次方程。
【知识点】
1. 一元一次方程的识别
2. 一元二次方程的定义
3. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是抓住方程定义中的几个关键判定要素：未知数的个数、未知数的最高次数、方程是否为整式，只要牢记相关定义就能准确解题，同时也考查了归纳总结的能力。
【难度系数】
0.85
首先解决第(1)问，需要先回忆一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式。将6个方程逐个对照条件判断，筛选出符合要求的即可。第(2)问先找出剩下的方程，分别从未知数个数、未知数最高次数、方程类型三个维度找共同特征，再结合特征给这类方程命名、下定义即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程，逐个判断：
方程①$x+1=3$：仅含未知数$x$，$x$的最高次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程②$x^2 -1=3$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程；
方程③$x^2 -2x +1=0$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程；
方程④$2x -1=3 + x$：整理后得$x=4$，仅含$x$，次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程⑤$2(2x -1)=3(x + 2)$：展开化简得$x=8$，仅含$x$，次数为1，两边都是整式，是一元一次方程；
方程⑥$2x^2 -1=3(x + 1)$：$x$的最高次数为2，不符合，不是一元一次方程。
因此一元一次方程为①④⑤。
(2) 剩余方程为②③⑥，观察共同特征：都只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，且等号两边都是整式。这类方程的名称为一元二次方程，定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元二次方程。
【答案】
(1) $\boxed{①④⑤}$
(2) 名称为一元二次方程，定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元二次方程。
【知识点】
1. 一元一次方程的识别
2. 一元二次方程的定义
3. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是抓住方程定义中的几个关键判定要素：未知数的个数、未知数的最高次数、方程是否为整式，只要牢记相关定义就能准确解题，同时也考查了归纳总结的能力。
【难度系数】
0.85
9. 如图,已知∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点P,AB//DE,BC//EF。
（1）在图①中,∠B与∠E的数量关系为
在图②中,∠B与∠E的数量关系为
（2）用“如果……那么……”的形式将(1)中的结论写成一个命题。
（1）在图①中,∠B与∠E的数量关系为
$∠ B+∠ E=180°$
;在图②中,∠B与∠E的数量关系为
$∠ B=∠ E$
。（2）用“如果……那么……”的形式将(1)中的结论写成一个命题。
答案
（1）图①:$∠ B+∠ E=180°$;图②:$∠ B=∠ E$。
（2）如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
（2）如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
解析
【分析】
解题时先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等、同旁内角互补。
对于（1）的两个图，我们可以借助公共截线DE，找到和∠B、∠E都有关的中间角∠DPC，通过平行线的性质推导∠B和∠E的关系：
① 图①中，先由AB//DE得到∠B和∠DPC的关系，再由BC//EF得到∠E和∠DPC的关系，等量代换后就能得到∠B和∠E的数量关系；
② 图②用同样的方法，先推导∠DPC分别和∠B、∠E的关系，再代换得到结论。
对于（2），先找到两个结论的共同前提：两个角的两边分别平行，再整理共同结论：两个角相等或互补，按照“如果+前提，那么+结论”的格式书写即可。
【解析】
（1）图①推导：
∵ AB//DE，BC为截线，
∴ ∠B = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
∵ BC//EF，DE为截线，
∴ ∠E + ∠DPC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
等量代换得：∠B + ∠E = 180°。
图②推导：
∵ AB//DE，BC为截线，
∴ ∠B = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
∵ BC//EF，DE为截线，
∴ ∠E = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
等量代换得：∠B = ∠E。
（2）提取两个结论的共同前提和结论，整理为命题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠B + ∠E = 180°}$；$\boldsymbol{∠B = ∠E}$
（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【知识点】
平行线的性质；命题的书写；等量代换
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的关键是找到联系两个待求角的中间角，利用平行线的性质建立数量关系，同时要注意两边分别平行的两个角存在相等和互补两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.75
解题时先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等、同旁内角互补。
对于（1）的两个图，我们可以借助公共截线DE，找到和∠B、∠E都有关的中间角∠DPC，通过平行线的性质推导∠B和∠E的关系：
① 图①中，先由AB//DE得到∠B和∠DPC的关系，再由BC//EF得到∠E和∠DPC的关系，等量代换后就能得到∠B和∠E的数量关系；
② 图②用同样的方法，先推导∠DPC分别和∠B、∠E的关系，再代换得到结论。
对于（2），先找到两个结论的共同前提：两个角的两边分别平行，再整理共同结论：两个角相等或互补，按照“如果+前提，那么+结论”的格式书写即可。
【解析】
（1）图①推导：
∵ AB//DE，BC为截线，
∴ ∠B = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
∵ BC//EF，DE为截线，
∴ ∠E + ∠DPC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
等量代换得：∠B + ∠E = 180°。
图②推导：
∵ AB//DE，BC为截线，
∴ ∠B = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
∵ BC//EF，DE为截线，
∴ ∠E = ∠DPC（两直线平行，同位角相等），
等量代换得：∠B = ∠E。
（2）提取两个结论的共同前提和结论，整理为命题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠B + ∠E = 180°}$；$\boldsymbol{∠B = ∠E}$
（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【知识点】
平行线的性质；命题的书写；等量代换
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的关键是找到联系两个待求角的中间角，利用平行线的性质建立数量关系，同时要注意两边分别平行的两个角存在相等和互补两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.75
