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11.[与 T6 互为孪生题]若一次函数$y=(2k - 1)x + k$的图象不经过第三象限，则k的取值范围是
$0≤ k＜\frac{1}{2}$
.答案
$0≤ k＜\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=ax+b$的图象性质：当一次项系数$a＜0$、常数项$b≥0$时，函数图象不经过第三象限。结合本题，首先根据“图象不经过第三象限”的条件列出关于$k$的不等式组，再解不等式组，最后验证边界值是否符合一次函数的定义即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$一次函数$y=(2k - 1)x + k$的图象不经过第三象限，
$\therefore$需同时满足以下两个条件：
1. 一次项系数小于0，保证直线从左上向右下倾斜，不会延伸至第三象限：
$2k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{2}$；
2. 常数项大于等于0，保证直线与y轴的交点在非负半轴，不会落入第三象限：
$k ≥ 0$；
取两个解集的交集，可得$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$。
验证：当$k=0$时，函数为$y=-x$，是一次函数，图象经过第二、四象限，不经过第三象限，符合要求；当$k=\frac{1}{2}$时，一次项系数为0，函数变为常函数$y=\frac{1}{2}$，不属于一次函数，故舍去。
【答案】
$0≤ k＜\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查一次函数图象与系数的对应关系，解题时要注意一次项系数不为0的隐含要求，同时不要遗漏常数项等于0的特殊情况，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆一次函数$y=ax+b$的图象性质：当一次项系数$a＜0$、常数项$b≥0$时，函数图象不经过第三象限。结合本题，首先根据“图象不经过第三象限”的条件列出关于$k$的不等式组，再解不等式组，最后验证边界值是否符合一次函数的定义即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$一次函数$y=(2k - 1)x + k$的图象不经过第三象限，
$\therefore$需同时满足以下两个条件：
1. 一次项系数小于0，保证直线从左上向右下倾斜，不会延伸至第三象限：
$2k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ \frac{1}{2}$；
2. 常数项大于等于0，保证直线与y轴的交点在非负半轴，不会落入第三象限：
$k ≥ 0$；
取两个解集的交集，可得$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$。
验证：当$k=0$时，函数为$y=-x$，是一次函数，图象经过第二、四象限，不经过第三象限，符合要求；当$k=\frac{1}{2}$时，一次项系数为0，函数变为常函数$y=\frac{1}{2}$，不属于一次函数，故舍去。
【答案】
$0≤ k＜\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查一次函数图象与系数的对应关系，解题时要注意一次项系数不为0的隐含要求，同时不要遗漏常数项等于0的特殊情况，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
12.[分类讨论思想]已知一次函数$y=(k-1)x+2$，当$-1≤ x≤ 2$时，函数有最小值$-2$，则$k$的值为
5或-1
。答案
5或-1
解析
【分析】
一次函数的单调性由x的系数（即斜率）决定：当斜率大于0时，y随x的增大而增大，区间内x取最小值时y最小；当斜率小于0时，y随x的增大而减小，区间内x取最大值时y最小。本题已知x的取值范围和函数最小值，因此需要分斜率大于0和小于0两种情况分类讨论，分别代入对应的x、y值求解k，再验证结果是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k-1＞0$，即$k＞1$时，函数$y=(k-1)x+2$随$x$的增大而增大，
因此当$x=-1$时，$y$取得最小值$-2$，代入函数解析式得：
$-2=(k-1)×(-1)+2$
解得：$k=5$，符合$k＞1$的条件。
2. 当$k-1＜0$，即$k＜1$时，函数$y=(k-1)x+2$随$x$的增大而减小，
因此当$x=2$时，$y$取得最小值$-2$，代入函数解析式得：
$-2=(k-1)×2+2$
解得：$k=-1$，符合$k＜1$的条件。
综上，$k$的值为5或-1。
【答案】
5或-1
【知识点】
一次函数的性质；分类讨论思想；代入求值
【点评】
本题核心是利用一次函数的增减性求解区间最值，解题的关键是根据斜率的正负分类确定取得最小值时对应的x值，解题时要注意不要漏解，且需验证求出的k值是否符合对应分类的前提条件。
【难度系数】
0.6
一次函数的单调性由x的系数（即斜率）决定：当斜率大于0时，y随x的增大而增大，区间内x取最小值时y最小；当斜率小于0时，y随x的增大而减小，区间内x取最大值时y最小。本题已知x的取值范围和函数最小值，因此需要分斜率大于0和小于0两种情况分类讨论，分别代入对应的x、y值求解k，再验证结果是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k-1＞0$，即$k＞1$时，函数$y=(k-1)x+2$随$x$的增大而增大，
因此当$x=-1$时，$y$取得最小值$-2$，代入函数解析式得：
$-2=(k-1)×(-1)+2$
解得：$k=5$，符合$k＞1$的条件。
2. 当$k-1＜0$，即$k＜1$时，函数$y=(k-1)x+2$随$x$的增大而减小，
因此当$x=2$时，$y$取得最小值$-2$，代入函数解析式得：
$-2=(k-1)×2+2$
解得：$k=-1$，符合$k＜1$的条件。
综上，$k$的值为5或-1。
【答案】
5或-1
【知识点】
一次函数的性质；分类讨论思想；代入求值
【点评】
本题核心是利用一次函数的增减性求解区间最值，解题的关键是根据斜率的正负分类确定取得最小值时对应的x值，解题时要注意不要漏解，且需验证求出的k值是否符合对应分类的前提条件。
【难度系数】
0.6
13. 已知一次函数$y=(m-4)x+3-m$，分别求出满足下列条件时$m$的值(或取值范围).
(1)$y$随$x$的增大而减小；
(2)直线经过原点；
(3)直线与$x$轴交于点$(2,0)$；
(4)直线不经过第一象限.
(1)$y$随$x$的增大而减小；
(2)直线经过原点；
(3)直线与$x$轴交于点$(2,0)$；
(4)直线不经过第一象限.
答案
(1)由题意,得 $m-4＜0$,所以 $m＜4$.
(2)$m=3$.
(3)$m=5$.
(4)由题意,得 $\begin{cases} m-4＜0, \\ 3-m≤ 0, \end{cases}$ 解得 $3≤ m＜4$.
(2)$m=3$.
(3)$m=5$.
(4)由题意,得 $\begin{cases} m-4＜0, \\ 3-m≤ 0, \end{cases}$ 解得 $3≤ m＜4$.
解析
【分析】
本题围绕一次函数的图象与性质展开考查，解题核心是明确一次函数$y=kx+b(k≠0)$中系数$k$、$b$对函数增减性、图象位置的影响，结合每个小问的条件转化为对应系数的等量或不等关系即可求解：
(1)一次函数的增减性由一次项系数$k$决定，若$y$随$x$的增大而减小，对应$k＜0$，据此列不等式求解；
(2)直线经过原点即原点$(0,0)$在函数图象上，将点坐标代入解析式即可得到关于$m$的方程，解方程即可，注意需满足一次项系数不为0；
(3)点在直线上意味着点坐标满足函数解析式，将$(2,0)$代入解析式解方程即可求$m$；
(4)直线不经过第一象限，说明直线呈下降趋势（$k＜0$）且与$y$轴的交点在非正半轴（$b≤0$），据此列不等式组求解。
【解析】
(1) 一次函数$y=(m-4)x+3-m$中，$y$随$x$的增大而减小，说明一次项系数小于0，即：
$m-4＜0$
解得：$m＜4$
(2) 直线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=(m-4)×0 + 3 - m$
解得：$m=3$
此时$m-4=-1≠0$，符合一次函数定义，故$m=3$。
(3) 直线与$x$轴交于点$(2,0)$，将$x=2,y=0$代入解析式得：
$0=(m-4)×2 + 3 - m$
展开计算：$0=2m-8+3-m$
整理得：$m-5=0$
解得：$m=5$
(4) 直线不经过第一象限，需同时满足一次项系数小于0、常数项小于等于0，列不等式组：
$\begin{cases}m-4＜0 \\3-m≤0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m＜4$
解第二个不等式得：$m≥3$
综上，不等式组的解集为$3≤ m＜4$。
【答案】
(1)$m＜4$；(2)$m=3$；(3)$m=5$；(4)$3≤ m＜4$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础典型题，重点考查一次函数解析式中系数与图象、性质的对应关系，解题的关键是将题干给出的图象、性质条件准确转化为系数的等量或不等关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题围绕一次函数的图象与性质展开考查，解题核心是明确一次函数$y=kx+b(k≠0)$中系数$k$、$b$对函数增减性、图象位置的影响，结合每个小问的条件转化为对应系数的等量或不等关系即可求解：
(1)一次函数的增减性由一次项系数$k$决定，若$y$随$x$的增大而减小，对应$k＜0$，据此列不等式求解；
(2)直线经过原点即原点$(0,0)$在函数图象上，将点坐标代入解析式即可得到关于$m$的方程，解方程即可，注意需满足一次项系数不为0；
(3)点在直线上意味着点坐标满足函数解析式，将$(2,0)$代入解析式解方程即可求$m$；
(4)直线不经过第一象限，说明直线呈下降趋势（$k＜0$）且与$y$轴的交点在非正半轴（$b≤0$），据此列不等式组求解。
【解析】
(1) 一次函数$y=(m-4)x+3-m$中，$y$随$x$的增大而减小，说明一次项系数小于0，即：
$m-4＜0$
解得：$m＜4$
(2) 直线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=(m-4)×0 + 3 - m$
解得：$m=3$
此时$m-4=-1≠0$，符合一次函数定义，故$m=3$。
(3) 直线与$x$轴交于点$(2,0)$，将$x=2,y=0$代入解析式得：
$0=(m-4)×2 + 3 - m$
展开计算：$0=2m-8+3-m$
整理得：$m-5=0$
解得：$m=5$
(4) 直线不经过第一象限，需同时满足一次项系数小于0、常数项小于等于0，列不等式组：
$\begin{cases}m-4＜0 \\3-m≤0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m＜4$
解第二个不等式得：$m≥3$
综上，不等式组的解集为$3≤ m＜4$。
【答案】
(1)$m＜4$；(2)$m=3$；(3)$m=5$；(4)$3≤ m＜4$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础典型题，重点考查一次函数解析式中系数与图象、性质的对应关系，解题的关键是将题干给出的图象、性质条件准确转化为系数的等量或不等关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14.[新定义题]已知两个一次函数$y_1=k_1x+b_1,y_2=k_2x+b_2$,则称函数$y=(k_1+k_2)x+b_1b_2$为这两个函数的“和谐函数”.
(1)求一次函数$y=2x+3$与$y=-4x+4$的“和谐函数”的表达式.若此“和谐函数”与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,求三角形$AOB$的面积.
(2)若一次函数$y=-ax+1$与$y=x-2b$的“和谐函数”为$y=4x+3$,则$a=$
(1)求一次函数$y=2x+3$与$y=-4x+4$的“和谐函数”的表达式.若此“和谐函数”与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,求三角形$AOB$的面积.
(2)若一次函数$y=-ax+1$与$y=x-2b$的“和谐函数”为$y=4x+3$,则$a=$
$-3$
,$b=$$-\frac{3}{2}$
.答案
(1)此“和谐函数”的表达式是 $y=-2x+12$.
三角形 AOB 的面积为 $\frac{1}{2}×6×12=36$.
(2)$-3$; $-\frac{3}{2}$
三角形 AOB 的面积为 $\frac{1}{2}×6×12=36$.
(2)$-3$; $-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题的关键是正确理解“和谐函数”的定义：$y=(k_1+k_2)x+b_1b_2$。
(1) 先提取两个已知一次函数的$k$值和$b$值，代入和谐函数公式即可得到表达式；再分别令$y=0$求与$x$轴交点$A$的横坐标、令$x=0$求与$y$轴交点$B$的纵坐标，得到$OA$、$OB$的长度，利用直角三角形面积公式计算$△ AOB$面积。
(2) 根据和谐函数的对应系数相等，分别列出关于$k$之和、$b$之积的方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+3$与$y=-4x+4$：
根据“和谐函数”定义，$k=2+(-4)=-2$，$b=3×4=12$，
因此和谐函数表达式为$y=-2x+12$。
求与$x$轴交点$A$：令$y=0$，得$-2x+12=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
求与$y$轴交点$B$：令$x=0$，得$y=12$，即$B(0,12)$，$OB=12$；
$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，所以面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×12=36$。
(2) 对于一次函数$y=-ax+1$与$y=x-2b$，其和谐函数为$y=4x+3$：
根据和谐函数定义，$k$的和满足：$-a+1=4$，解得$a=-3$；
$b$的积满足：$1×(-2b)=3$，解得$b=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 和谐函数表达式为$y=-2x+12$，$△ AOB$的面积为$36$；
(2) $-3$；$-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，一次函数的交点，一元一次方程求解
【点评】
本题是新定义类常规题型，重点考查对新规则的理解和应用能力，解题时只要紧扣定义，结合一次函数的基础知识点即可顺利完成解答。
【难度系数】
0.7
解题的关键是正确理解“和谐函数”的定义：$y=(k_1+k_2)x+b_1b_2$。
(1) 先提取两个已知一次函数的$k$值和$b$值，代入和谐函数公式即可得到表达式；再分别令$y=0$求与$x$轴交点$A$的横坐标、令$x=0$求与$y$轴交点$B$的纵坐标，得到$OA$、$OB$的长度，利用直角三角形面积公式计算$△ AOB$面积。
(2) 根据和谐函数的对应系数相等，分别列出关于$k$之和、$b$之积的方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+3$与$y=-4x+4$：
根据“和谐函数”定义，$k=2+(-4)=-2$，$b=3×4=12$，
因此和谐函数表达式为$y=-2x+12$。
求与$x$轴交点$A$：令$y=0$，得$-2x+12=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
求与$y$轴交点$B$：令$x=0$，得$y=12$，即$B(0,12)$，$OB=12$；
$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$，所以面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×12=36$。
(2) 对于一次函数$y=-ax+1$与$y=x-2b$，其和谐函数为$y=4x+3$：
根据和谐函数定义，$k$的和满足：$-a+1=4$，解得$a=-3$；
$b$的积满足：$1×(-2b)=3$，解得$b=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 和谐函数表达式为$y=-2x+12$，$△ AOB$的面积为$36$；
(2) $-3$；$-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，一次函数的交点，一元一次方程求解
【点评】
本题是新定义类常规题型，重点考查对新规则的理解和应用能力，解题时只要紧扣定义，结合一次函数的基础知识点即可顺利完成解答。
【难度系数】
0.7
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+k$与正比例函数$y=kx$的图象可能是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时先观察两个函数的解析式特征：一次函数$y=kx+k$与正比例函数$y=kx$的一次项系数均为$k$，说明两条直线斜率相同，互相平行，可先排除相交的选项；再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，结合正比例函数、一次函数的图象性质，判断两直线经过的象限，匹配正确选项即可。
【解析】
1. 首先判断两直线的位置关系：
两个函数的一次项系数都是$k$，说明倾斜程度相同，两直线互相平行，因此排除两线相交的A、B选项。
2. 分情况讨论$k$的正负：
① 若$k＞0$：正比例函数$y=kx$过第一、三象限；一次函数$y=kx+k$的截距为$k＞0$，因此过第一、二、三象限，无对应选项符合。
② 若$k＜0$：正比例函数$y=kx$过第二、四象限；一次函数$y=kx+k$的截距为$k＜0$，斜率为负，因此过第二、三、四象限，且与正比例函数平行，与D选项图象一致。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象、正比例函数的图象、一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数图象共存类的典型基础题，核心是抓住两个函数中参数$k$的一致性，先通过斜率判断平行关系缩小可选范围，再分类讨论参数正负对应的图象象限即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个函数的解析式特征：一次函数$y=kx+k$与正比例函数$y=kx$的一次项系数均为$k$，说明两条直线斜率相同，互相平行，可先排除相交的选项；再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，结合正比例函数、一次函数的图象性质，判断两直线经过的象限，匹配正确选项即可。
【解析】
1. 首先判断两直线的位置关系：
两个函数的一次项系数都是$k$，说明倾斜程度相同，两直线互相平行，因此排除两线相交的A、B选项。
2. 分情况讨论$k$的正负：
① 若$k＞0$：正比例函数$y=kx$过第一、三象限；一次函数$y=kx+k$的截距为$k＞0$，因此过第一、二、三象限，无对应选项符合。
② 若$k＜0$：正比例函数$y=kx$过第二、四象限；一次函数$y=kx+k$的截距为$k＜0$，斜率为负，因此过第二、三、四象限，且与正比例函数平行，与D选项图象一致。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象、正比例函数的图象、一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数图象共存类的典型基础题，核心是抓住两个函数中参数$k$的一致性，先通过斜率判断平行关系缩小可选范围，再分类讨论参数正负对应的图象象限即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 一次函数$y=(m-2)x+2-m$和$y=x+m$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
B
）答案
2.B
解析
【分析】
要判断同一坐标系中两个一次函数的图象是否共存，需结合一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$b＞0$时直线与y轴交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴。我们可以先分析两个函数的系数特征、定点坐标，再逐一判断每个选项中两个函数对应的参数$m$的取值范围是否一致，一致的即为正确选项。
【解析】
先梳理两个一次函数的性质：
1. 函数$y=(m-2)x+2-m$：斜率$k_1=m-2$，y轴截距$b_1=2-m$，代入$x=1$可得$y=0$，因此该函数恒过定点$(1,0)$。
2. 函数$y=x+m$：斜率$k_2=1＞0$，因此图象是倾斜角为45°、向上倾斜的直线，y轴截距$b_2=m$。
逐个分析选项：
选项A：斜率为正的直线是$y=x+m$，其与y轴交点在$(0,1)∼(0,2)$之间，得$1＜m＜2$；另一条过$(1,0)$的直线斜率为负，符合$m＜2$，但其y轴截距$2-m＞1$，得$m＜1$，与$1＜m＜2$矛盾，排除A。
选项B：斜率为正的直线是$y=x+m$，其与y轴交点在$(0,0)∼(0,1)$之间，得$0＜m＜1$；过$(1,0)$的直线斜率为负，符合$m＜2$，其y轴截距在$(0,1)∼(0,2)$之间，即$1＜2-m＜2$，解得$0＜m＜1$，二者m的范围完全一致，符合要求。
选项C：两条直线斜率均为正，因此$m-2＞0$即$m＞2$，此时$y=x+m$的截距$m＞2$，应与y轴交于$(0,2)$上方，但选项中两条直线的y轴截距均小于1，矛盾，排除C。
选项D：不存在倾斜角为45°且符合$y=x+m$特征的直线，且没有符合恒过$(1,0)$的函数图象，排除D。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象共存类的典型常考题，解题时既可以通过参数范围的一致性判断，也可以利用函数过定点的性质快速排除错误选项，能有效考查对一次函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断同一坐标系中两个一次函数的图象是否共存，需结合一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$b＞0$时直线与y轴交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴。我们可以先分析两个函数的系数特征、定点坐标，再逐一判断每个选项中两个函数对应的参数$m$的取值范围是否一致，一致的即为正确选项。
【解析】
先梳理两个一次函数的性质：
1. 函数$y=(m-2)x+2-m$：斜率$k_1=m-2$，y轴截距$b_1=2-m$，代入$x=1$可得$y=0$，因此该函数恒过定点$(1,0)$。
2. 函数$y=x+m$：斜率$k_2=1＞0$，因此图象是倾斜角为45°、向上倾斜的直线，y轴截距$b_2=m$。
逐个分析选项：
选项A：斜率为正的直线是$y=x+m$，其与y轴交点在$(0,1)∼(0,2)$之间，得$1＜m＜2$；另一条过$(1,0)$的直线斜率为负，符合$m＜2$，但其y轴截距$2-m＞1$，得$m＜1$，与$1＜m＜2$矛盾，排除A。
选项B：斜率为正的直线是$y=x+m$，其与y轴交点在$(0,0)∼(0,1)$之间，得$0＜m＜1$；过$(1,0)$的直线斜率为负，符合$m＜2$，其y轴截距在$(0,1)∼(0,2)$之间，即$1＜2-m＜2$，解得$0＜m＜1$，二者m的范围完全一致，符合要求。
选项C：两条直线斜率均为正，因此$m-2＞0$即$m＞2$，此时$y=x+m$的截距$m＞2$，应与y轴交于$(0,2)$上方，但选项中两条直线的y轴截距均小于1，矛盾，排除C。
选项D：不存在倾斜角为45°且符合$y=x+m$特征的直线，且没有符合恒过$(1,0)$的函数图象，排除D。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象共存类的典型常考题，解题时既可以通过参数范围的一致性判断，也可以利用函数过定点的性质快速排除错误选项，能有效考查对一次函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 一次函数 $y_1 = mx + n$ 与 $y_2 = mnx$（$m,n$ 为常数，且 $mn≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
B
）答案
3.B
解析
【分析】
要判断两个一次函数的图象是否共存，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系分析：首先，正比例函数$y_2=mnx$必过原点，其图象所在象限由$mn$的符号决定；一次函数$y_1=mx+n$的图象由斜率$m$和截距$n$的符号共同决定。我们可以先对$mn$的符号分类讨论，再逐一验证每个选项中两个函数的系数符号是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$mn＞0$时，$m$、$n$同号：
此时正比例函数$y_2=mnx$的比例系数为正，图象过第一、三象限。
若$m＞0$且$n＞0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、二、三象限；
若$m＜0$且$n＜0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第二、三、四象限。
验证选项：
A选项：过原点的$y_2$过第一、三象限，说明$mn＞0$，但$y_1$斜率为负（$m＜0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＜0$，矛盾，排除；
D选项：过原点的$y_2$过第一、三象限，说明$mn＞0$，但$y_1$斜率为正（$m＞0$）、截距为负（$n＜0$），得$mn＜0$，矛盾，排除。
2. 当$mn＜0$时，$m$、$n$异号：
此时正比例函数$y_2=mnx$的比例系数为负，图象过第二、四象限。
若$m＞0$且$n＜0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、三、四象限；
若$m＜0$且$n＞0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、二、四象限。
验证选项：
C选项：过原点的$y_2$过第二、四象限，说明$mn＜0$，但$y_1$斜率为正（$m＞0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＞0$，矛盾，排除；
B选项：过原点的$y_2$过第二、四象限，说明$mn＜0$，$y_1$斜率为负（$m＜0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＜0$，符号一致，符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象性质，分类讨论法
【点评】
本题是函数图象共存类的基础题型，核心是掌握函数系数和图象位置的对应关系，通过分类讨论、逐一排除矛盾选项的方法即可快速解题，熟练掌握一次函数的图象性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数的图象是否共存，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系分析：首先，正比例函数$y_2=mnx$必过原点，其图象所在象限由$mn$的符号决定；一次函数$y_1=mx+n$的图象由斜率$m$和截距$n$的符号共同决定。我们可以先对$mn$的符号分类讨论，再逐一验证每个选项中两个函数的系数符号是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$mn＞0$时，$m$、$n$同号：
此时正比例函数$y_2=mnx$的比例系数为正，图象过第一、三象限。
若$m＞0$且$n＞0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、二、三象限；
若$m＜0$且$n＜0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第二、三、四象限。
验证选项：
A选项：过原点的$y_2$过第一、三象限，说明$mn＞0$，但$y_1$斜率为负（$m＜0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＜0$，矛盾，排除；
D选项：过原点的$y_2$过第一、三象限，说明$mn＞0$，但$y_1$斜率为正（$m＞0$）、截距为负（$n＜0$），得$mn＜0$，矛盾，排除。
2. 当$mn＜0$时，$m$、$n$异号：
此时正比例函数$y_2=mnx$的比例系数为负，图象过第二、四象限。
若$m＞0$且$n＜0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、三、四象限；
若$m＜0$且$n＞0$，一次函数$y_1=mx+n$的图象过第一、二、四象限。
验证选项：
C选项：过原点的$y_2$过第二、四象限，说明$mn＜0$，但$y_1$斜率为正（$m＞0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＞0$，矛盾，排除；
B选项：过原点的$y_2$过第二、四象限，说明$mn＜0$，$y_1$斜率为负（$m＜0$）、截距为正（$n＞0$），得$mn＜0$，符号一致，符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象性质，分类讨论法
【点评】
本题是函数图象共存类的基础题型，核心是掌握函数系数和图象位置的对应关系，通过分类讨论、逐一排除矛盾选项的方法即可快速解题，熟练掌握一次函数的图象性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
4. [2024·六安金安区期中]两个一次函数$y=ax+b$与$y=bx+a$（$a,b$为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）答案
4.C
解析
【分析】
要判断两个一次函数图象是否可能在同一坐标系中，需结合一次函数$y=kx+c$的图象性质分析：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜），$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴）。解题时可先根据一个函数的图象推导$a$、$b$的符号，再验证另一个函数的图象是否符合该符号特征，矛盾即可排除选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
观察其中上升的直线，斜率为正、与$y$轴交于正半轴，若该直线为$y=ax+b$，则$a＞0$，$b＞0$；
那么另一函数$y=bx+a$中$b＞0$，斜率应为正（直线上升），但A中另一条直线是下降的，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
观察上升较缓的直线，斜率为正、与$y$轴交于正半轴，即$a＞0$，$b＞0$；
另一函数$y=bx+a$中$a＞0$，与$y$轴交点应在正半轴，但B中另一条上升直线与$y$轴交于负半轴，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
观察下降的直线，斜率为负、与$y$轴交于正半轴，若该直线为$y=ax+b$，则$a＜0$，$b＞0$；
另一函数$y=bx+a$中，$b＞0$则斜率为正（直线上升），$a＜0$则与$y$轴交于负半轴，完全符合选项中另一条上升直线的特征，逻辑成立。
4. 分析选项D：
观察两条直线均为下降状态，说明两个函数的斜率均为负，即$a＜0$且$b＜0$；
那么两个函数的截距$b$、$a$也都应为负（与$y$轴交于负半轴），但D中有一条直线与$y$轴交于正半轴，矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象共存类问题的典型题型，解题关键是利用“先假设一个图象符合，推导系数符号再验证另一个图象”的排除法，能有效考查对一次函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数图象是否可能在同一坐标系中，需结合一次函数$y=kx+c$的图象性质分析：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜），$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴）。解题时可先根据一个函数的图象推导$a$、$b$的符号，再验证另一个函数的图象是否符合该符号特征，矛盾即可排除选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
观察其中上升的直线，斜率为正、与$y$轴交于正半轴，若该直线为$y=ax+b$，则$a＞0$，$b＞0$；
那么另一函数$y=bx+a$中$b＞0$，斜率应为正（直线上升），但A中另一条直线是下降的，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
观察上升较缓的直线，斜率为正、与$y$轴交于正半轴，即$a＞0$，$b＞0$；
另一函数$y=bx+a$中$a＞0$，与$y$轴交点应在正半轴，但B中另一条上升直线与$y$轴交于负半轴，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
观察下降的直线，斜率为负、与$y$轴交于正半轴，若该直线为$y=ax+b$，则$a＜0$，$b＞0$；
另一函数$y=bx+a$中，$b＞0$则斜率为正（直线上升），$a＜0$则与$y$轴交于负半轴，完全符合选项中另一条上升直线的特征，逻辑成立。
4. 分析选项D：
观察两条直线均为下降状态，说明两个函数的斜率均为负，即$a＜0$且$b＜0$；
那么两个函数的截距$b$、$a$也都应为负（与$y$轴交于负半轴），但D中有一条直线与$y$轴交于正半轴，矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象共存类问题的典型题型，解题关键是利用“先假设一个图象符合，推导系数符号再验证另一个图象”的排除法，能有效考查对一次函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
