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概念1 圆的有关概念
1.有下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半圆是弧,但弧不一定是半圆,其中正确的说法有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1.有下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半圆是弧,但弧不一定是半圆,其中正确的说法有 (
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需要先逐一回忆弦、直径、弧、等弧的定义，再逐个判断5种说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心且两端点在圆上的线段，符合弦的定义，因此直径是特殊的弦，该说法正确；
2. 说法②：只有过圆心的弦才是直径，普通弦的两端点在圆上但不经过圆心，就不是直径，因此弦不一定是直径，该说法错误；
3. 说法③：半径相等的两个圆是等圆，两个半圆的度数均为180°，在等圆中可以完全重合，符合等弧（能够完全重合的弧）的定义，该说法正确；
4. 说法④：等弧的核心判定标准是两条弧能够完全重合，仅长度相等的弧如果所在圆的半径不同、或对应圆心角不同，就无法重合，不属于等弧，该说法错误；
5. 说法⑤：弧包括半圆、优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）三类，因此半圆是弧的一种，但弧还可能是优弧或劣弧，不一定是半圆，该说法正确。
综上，正确的说法是①③⑤，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念；弦与直径的关系；等弧的判定
【点评】
本题属于基础概念类习题，易错点在于对等弧定义的理解，容易误将“长度相等”等同于“等弧”，学习中要准确把握各类概念的核心特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需要先逐一回忆弦、直径、弧、等弧的定义，再逐个判断5种说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心且两端点在圆上的线段，符合弦的定义，因此直径是特殊的弦，该说法正确；
2. 说法②：只有过圆心的弦才是直径，普通弦的两端点在圆上但不经过圆心，就不是直径，因此弦不一定是直径，该说法错误；
3. 说法③：半径相等的两个圆是等圆，两个半圆的度数均为180°，在等圆中可以完全重合，符合等弧（能够完全重合的弧）的定义，该说法正确；
4. 说法④：等弧的核心判定标准是两条弧能够完全重合，仅长度相等的弧如果所在圆的半径不同、或对应圆心角不同，就无法重合，不属于等弧，该说法错误；
5. 说法⑤：弧包括半圆、优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）三类，因此半圆是弧的一种，但弧还可能是优弧或劣弧，不一定是半圆，该说法正确。
综上，正确的说法是①③⑤，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念；弦与直径的关系；等弧的判定
【点评】
本题属于基础概念类习题，易错点在于对等弧定义的理解，容易误将“长度相等”等同于“等弧”，学习中要准确把握各类概念的核心特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
2.在平面直角坐标系中，若$A(1,-1),B(3,3),C(5,n)$三点可以确定一个圆，则$n$的取值范围是（
A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$
D
）A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决三点确定一个圆时n的取值范围问题，首先明确核心定理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此三点不能共线。解题思路为：先求出过A、B两点的直线解析式，再计算当点C在该直线上时n的取值，只要n不等于该值，三点就不共线，即可确定一个圆。
【解析】
设过点$A(1,-1)$、$B(3,3)$的直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}k+b=-1\\3k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
因此直线AB的解析式为$y=2x-3$。
若点$C(5,n)$在直线AB上，则将$x=5$代入解析式得：$n=2×5-3=7$。
因为三点能确定一个圆，所以三点不共线，即$n≠7$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 点在直线上的坐标特征
【点评】
本题解题关键是将“三点可确定圆”的条件转化为“三点不共线”，通过反向求解三点共线时n的取值，即可快速得到答案，属于基础常考题，解题时注意运用逆向思维可简化计算。
【难度系数】
0.7
要解决三点确定一个圆时n的取值范围问题，首先明确核心定理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此三点不能共线。解题思路为：先求出过A、B两点的直线解析式，再计算当点C在该直线上时n的取值，只要n不等于该值，三点就不共线，即可确定一个圆。
【解析】
设过点$A(1,-1)$、$B(3,3)$的直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}k+b=-1\\3k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
因此直线AB的解析式为$y=2x-3$。
若点$C(5,n)$在直线AB上，则将$x=5$代入解析式得：$n=2×5-3=7$。
因为三点能确定一个圆，所以三点不共线，即$n≠7$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 点在直线上的坐标特征
【点评】
本题解题关键是将“三点可确定圆”的条件转化为“三点不共线”，通过反向求解三点共线时n的取值，即可快速得到答案，属于基础常考题，解题时注意运用逆向思维可简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 数学文化《九章算术》中记载:今有圆材埋于壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何? 转化为数学语言:如图,OD为$\odot O$的半径,弦$AB⊥ OD$,垂足为点C,$CD=1$寸,$AB=1$尺(1尺=10寸),则此圆材的直径长是
26
寸. 答案
3.26
解析
【分析】
解题时首先统一单位，将尺换算为寸。观察图形可知弦AB与半径OD垂直，可先利用垂径定理得到弦长的一半。此时△OAC为直角三角形，其三边分别和圆的半径、已知的CD、半弦长相关，因此设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的三边，再通过勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸，即AB=10寸。
∵AB⊥OD，OD是⊙O的半径，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$寸。
设⊙O的半径为$r$寸，则$OA=OD=r$寸，$OC=OD-CD=(r-1)$寸。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，即圆的直径为26寸。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查几何知识与方程思想的结合应用，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先统一单位，将尺换算为寸。观察图形可知弦AB与半径OD垂直，可先利用垂径定理得到弦长的一半。此时△OAC为直角三角形，其三边分别和圆的半径、已知的CD、半弦长相关，因此设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的三边，再通过勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸，即AB=10寸。
∵AB⊥OD，OD是⊙O的半径，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$寸。
设⊙O的半径为$r$寸，则$OA=OD=r$寸，$OC=OD-CD=(r-1)$寸。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，即圆的直径为26寸。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查几何知识与方程思想的结合应用，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.一个隧道的横截面如图所示，是以点O为圆心的圆的一部分.若M是$\odot O$中弦CD的中点，EM经过圆心O交$\odot O$于点E，并且$CD=4\ \mathrm{m}$，$EM=6\ \mathrm{m}$，则$\odot O$的半径为（
A.$\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$
B.$3\ \mathrm{m}$
C.$\frac{10}{3}\ \mathrm{m}$
D.$4\ \mathrm{m}$
C
）A.$\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$
B.$3\ \mathrm{m}$
C.$\frac{10}{3}\ \mathrm{m}$
D.$4\ \mathrm{m}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先根据垂径定理的推论，可得EM垂直于CD，且CM为CD长度的一半。要求圆的半径，我们可以设半径为r，将直角三角形OCM的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵M是$\odot O$中弦CD的中点，EM经过圆心O，
∴根据垂径定理，$EM⊥ CD$，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OC=r\ \mathrm{m}$，$OM=EM-OE=(6-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，由勾股定理得：
$OC^2=CM^2+OM^2$，
代入得$r^2=2^2+(6-r)^2$，
展开等式右侧：$r^2=4+36-12r+r^2$，
消去$r^2$后整理得$12r=40$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据垂径定理的推论，可得EM垂直于CD，且CM为CD长度的一半。要求圆的半径，我们可以设半径为r，将直角三角形OCM的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵M是$\odot O$中弦CD的中点，EM经过圆心O，
∴根据垂径定理，$EM⊥ CD$，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OC=r\ \mathrm{m}$，$OM=EM-OE=(6-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，由勾股定理得：
$OC^2=CM^2+OM^2$，
代入得$r^2=2^2+(6-r)^2$，
展开等式右侧：$r^2=4+36-12r+r^2$，
消去$r^2$后整理得$12r=40$，
解得$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. [2026湛江一模]如图，在$\odot O$中，$AB=AC$，$∠ ACB=70°$，则$∠ BDC$的度数是 （
A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$40°$
D
）A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$40°$
答案
5.D
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠ACB=70°可得到∠ABC的度数；再根据三角形内角和为180°，计算出顶角∠BAC的度数；最后观察∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°，
根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°，
∵∠BAC和∠BDC都是⊙O中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查等腰三角形性质与圆周角定理的结合应用，解题的关键是找到∠BDC与已知角之间通过同弧所对圆周角相等建立的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠ACB=70°可得到∠ABC的度数；再根据三角形内角和为180°，计算出顶角∠BAC的度数；最后观察∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°，
根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°，
∵∠BAC和∠BDC都是⊙O中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查等腰三角形性质与圆周角定理的结合应用，解题的关键是找到∠BDC与已知角之间通过同弧所对圆周角相等建立的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图，AB，CD是⊙O的直径，弦DE//AB，则AC与AE的大小关系是
$AC=AE$
。答案
6.$AC=AE$
解析
【分析】
要判断圆中两条弦AC和AE的大小关系，可通过证明二者所对的圆心角相等推导结论。首先利用平行线的性质得到相关角的等量关系，再结合同圆半径相等的性质、对顶角相等的性质，推出∠AOE与∠AOC相等，最后根据同圆中相等的圆心角对应相等的弦，即可得出两条弦的大小关系。
【解析】
连接OE，
1. 因为$DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ EDO=∠ DOB$，$∠ OED=∠ EOA$；
2. 因为$OD$、$OE$都是$\odot O$的半径，所以$OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ EDO=∠ OED$；
3. 等量代换可得$∠ EOA=∠ DOB$；
4. 又因为$∠ AOC$和$∠ DOB$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ DOB$；
5. 再次等量代换得$∠ EOA=∠ AOC$；
6. 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AC=AE$。
【答案】
$AC=AE$
【知识点】
圆心角与弦的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是通过角的等量代换得到两条弦对应的圆心角相等，属于基础常考题，熟练掌握圆的相关性质、平行线性质和等腰三角形性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断圆中两条弦AC和AE的大小关系，可通过证明二者所对的圆心角相等推导结论。首先利用平行线的性质得到相关角的等量关系，再结合同圆半径相等的性质、对顶角相等的性质，推出∠AOE与∠AOC相等，最后根据同圆中相等的圆心角对应相等的弦，即可得出两条弦的大小关系。
【解析】
连接OE，
1. 因为$DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ EDO=∠ DOB$，$∠ OED=∠ EOA$；
2. 因为$OD$、$OE$都是$\odot O$的半径，所以$OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ EDO=∠ OED$；
3. 等量代换可得$∠ EOA=∠ DOB$；
4. 又因为$∠ AOC$和$∠ DOB$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ DOB$；
5. 再次等量代换得$∠ EOA=∠ AOC$；
6. 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AC=AE$。
【答案】
$AC=AE$
【知识点】
圆心角与弦的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是通过角的等量代换得到两条弦对应的圆心角相等，属于基础常考题，熟练掌握圆的相关性质、平行线性质和等腰三角形性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上.若$∠ CDB=30°$，$AB=4$，则AC的长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
D
）A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路：首先结合已知条件AB是圆的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形；其次根据同弧所对的圆周角相等，可推出∠CAB和已知的∠CDB度数相等；最后在直角三角形中利用30°角的性质和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=30°。
已知AB=4，在Rt△ACB中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2。
根据勾股定理可得：
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=$\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角相等；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形计算结合的基础题型，解题关键是利用圆周角定理完成角度的转化，再结合直角三角形的性质计算边长。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合已知条件AB是圆的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形；其次根据同弧所对的圆周角相等，可推出∠CAB和已知的∠CDB度数相等；最后在直角三角形中利用30°角的性质和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=30°。
已知AB=4，在Rt△ACB中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2。
根据勾股定理可得：
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=$\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角相等；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形计算结合的基础题型，解题关键是利用圆周角定理完成角度的转化，再结合直角三角形的性质计算边长。
【难度系数】
0.7
