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8.如图,点A,B,C,D在圆上,∠C=90°,D为$\overset{\frown}{AB}$的中点,AC=1,DB=2,BC的值为
$\sqrt{7}$
.答案
8.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时先从已知的直角∠C入手，结合圆周角定理的推论判断出AB是圆的直径；再根据直径所对圆周角为直角，得到△ADB是直角三角形；接着利用“等弧对等弦”的性质，由D是弧AB中点推出AD=BD，用勾股定理算出AB的长度；最后在Rt△ACB中再次运用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
1. 确定AB为直径：
∵∠ACB=90°，点A、B、C均在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，
∴AB是该圆的直径。
2. 推导△ADB的性质：
∵AB是直径，点D在圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ADB=90°，即△ADB是直角三角形。
又
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，根据“等弧对等弦”得AD=DB=2。
3. 计算AB的长度：
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+2^2=8$。
4. 计算BC的长度：
在Rt△ACB中，AC=1，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8-1^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆的性质与勾股定理的综合基础题，解题的突破口是根据直角圆周角判断出直径，熟练掌握圆周角相关推论和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角∠C入手，结合圆周角定理的推论判断出AB是圆的直径；再根据直径所对圆周角为直角，得到△ADB是直角三角形；接着利用“等弧对等弦”的性质，由D是弧AB中点推出AD=BD，用勾股定理算出AB的长度；最后在Rt△ACB中再次运用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
1. 确定AB为直径：
∵∠ACB=90°，点A、B、C均在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，
∴AB是该圆的直径。
2. 推导△ADB的性质：
∵AB是直径，点D在圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ADB=90°，即△ADB是直角三角形。
又
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，根据“等弧对等弦”得AD=DB=2。
3. 计算AB的长度：
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+2^2=8$。
4. 计算BC的长度：
在Rt△ACB中，AC=1，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8-1^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆的性质与勾股定理的综合基础题，解题的突破口是根据直角圆周角判断出直径，熟练掌握圆周角相关推论和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,圆内接四边形ABCD的顶点B,D都在格点上,点A在劣弧BD上,点C在优弧BD上,∠BAD的度数为
$135°$
.答案
9.$135°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 回忆相关定理：圆周角定理指出圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半；圆内接四边形的对角互补。2. 要求∠BAD的度数，首先确定点A在劣弧BD上，因此∠BAD所对的弧是优弧BD，我们可以先求劣弧BD对应的圆心角，再得到优弧BD的度数，或者先求劣弧BD所对的优弧上的圆周角度数，再利用圆内接四边形对角互补计算。3. 结合格点特征，可确定圆心位置，验证得圆心与B、D连线互相垂直，即劣弧BD对应的圆心角为90°，进而代入计算即可得到∠BAD的度数。
【解析】
设方格纸中每个小正方形的边长为1：
1. 首先确定圆心O的位置，通过坐标计算可得OB=OD=√5，且OB与OD的夹角为90°，即劣弧BD对应的圆心角∠BOD=90°。
2. 优弧BD的度数为360°-90°=270°，∠BAD是优弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，∠BAD=270°÷2=135°。
也可利用圆内接四边形性质求解：劣弧BD所对的优弧上的圆周角度数为90°÷2=45°，因为圆内接四边形对角互补，所以∠BAD=180°-45°=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题结合格点背景考查圆的基础性质，解题的关键是通过格点特征找到劣弧BD对应的圆心角度数，再结合相关定理求解，能有效考查对圆的性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 回忆相关定理：圆周角定理指出圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半；圆内接四边形的对角互补。2. 要求∠BAD的度数，首先确定点A在劣弧BD上，因此∠BAD所对的弧是优弧BD，我们可以先求劣弧BD对应的圆心角，再得到优弧BD的度数，或者先求劣弧BD所对的优弧上的圆周角度数，再利用圆内接四边形对角互补计算。3. 结合格点特征，可确定圆心位置，验证得圆心与B、D连线互相垂直，即劣弧BD对应的圆心角为90°，进而代入计算即可得到∠BAD的度数。
【解析】
设方格纸中每个小正方形的边长为1：
1. 首先确定圆心O的位置，通过坐标计算可得OB=OD=√5，且OB与OD的夹角为90°，即劣弧BD对应的圆心角∠BOD=90°。
2. 优弧BD的度数为360°-90°=270°，∠BAD是优弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，∠BAD=270°÷2=135°。
也可利用圆内接四边形性质求解：劣弧BD所对的优弧上的圆周角度数为90°÷2=45°，因为圆内接四边形对角互补，所以∠BAD=180°-45°=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题结合格点背景考查圆的基础性质，解题的关键是通过格点特征找到劣弧BD对应的圆心角度数，再结合相关定理求解，能有效考查对圆的性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. [2026淮安二模]圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序呈尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚. 下图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，母线长为26 cm，底面直径长为20 cm，则此圆锥的侧面积为
$260π$
cm²(结果保留π).答案
10.$260π$
解析
【分析】
要求圆锥的侧面积，首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积=π×底面半径×母线长。接下来从题干已知条件中提取所需数值：已知底面直径，可先换算得到底面半径，题干也直接给出了母线长，最后将两个数值代入公式计算即可。
【解析】
解：已知圆锥底面直径为20 cm，
∴ 底面半径 $ r = 20 ÷ 2 = 10 \, \mathrm{cm} $，
又已知圆锥母线长 $ l = 26 \, \mathrm{cm} $，
根据圆锥侧面积公式 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，
代入数据得：$ S_{\mathrm{侧}} = π × 10 × 26 = 260π \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ 260π $
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的换算
【点评】
本题是基础应用题，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题核心是牢记公式，准确从题干中提取对应数值代入计算即可。
【难度系数】
0.8
要求圆锥的侧面积，首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积=π×底面半径×母线长。接下来从题干已知条件中提取所需数值：已知底面直径，可先换算得到底面半径，题干也直接给出了母线长，最后将两个数值代入公式计算即可。
【解析】
解：已知圆锥底面直径为20 cm，
∴ 底面半径 $ r = 20 ÷ 2 = 10 \, \mathrm{cm} $，
又已知圆锥母线长 $ l = 26 \, \mathrm{cm} $，
根据圆锥侧面积公式 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，
代入数据得：$ S_{\mathrm{侧}} = π × 10 × 26 = 260π \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ 260π $
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的换算
【点评】
本题是基础应用题，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题核心是牢记公式，准确从题干中提取对应数值代入计算即可。
【难度系数】
0.8
11. [2026合肥模拟]如图，四边形ABCD是半径为3的$\odot O$的内接四边形，$CD// AB$，连接AC，$AB=AC$. 若$∠ ACB=\frac{3}{5}∠ D$，则$\overset{\frown}{AD}$的长为
$\frac{3π}{2}$
.答案
11.$\frac{3π}{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形两底角相等的性质，设未知量求出∠D、∠ACB和∠CAB的度数；2. 利用平行线内错角相等得到∠ACD的度数；3. 根据圆周角与圆心角的关系，求出弧AD对应的圆心角度数；4. 最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ B + ∠ D = 180°$。
2. 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B = ∠ ACB$，结合题意$∠ ACB=\frac{3}{5}∠ D$，因此$∠ B=\frac{3}{5}∠ D$。
3. 将$∠ B=\frac{3}{5}∠ D$代入$∠ B + ∠ D = 180°$，得：
$\frac{3}{5}∠ D + ∠ D = 180°$，解得$∠ D=112.5°$，因此$∠ ACB=∠ B=\frac{3}{5}×112.5°=67.5°$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ CAB=180° - ∠ B - ∠ ACB=180° - 2×67.5°=45°$。
5. 因为$CD// AB$，根据平行线内错角相等，得$∠ ACD=∠ CAB=45°$。
6. 圆周角$∠ ACD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，因此$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角为$2×∠ ACD=90°$。
7. 已知$\odot O$半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），得：
$\overset{\frown}{AD}$的长$=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$。
【答案】
$\frac{3π}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与几何图形的角度计算，需要学生串联多个基础知识点逐步推导，是典型的圆性质的综合应用题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形两底角相等的性质，设未知量求出∠D、∠ACB和∠CAB的度数；2. 利用平行线内错角相等得到∠ACD的度数；3. 根据圆周角与圆心角的关系，求出弧AD对应的圆心角度数；4. 最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ B + ∠ D = 180°$。
2. 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B = ∠ ACB$，结合题意$∠ ACB=\frac{3}{5}∠ D$，因此$∠ B=\frac{3}{5}∠ D$。
3. 将$∠ B=\frac{3}{5}∠ D$代入$∠ B + ∠ D = 180°$，得：
$\frac{3}{5}∠ D + ∠ D = 180°$，解得$∠ D=112.5°$，因此$∠ ACB=∠ B=\frac{3}{5}×112.5°=67.5°$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ CAB=180° - ∠ B - ∠ ACB=180° - 2×67.5°=45°$。
5. 因为$CD// AB$，根据平行线内错角相等，得$∠ ACD=∠ CAB=45°$。
6. 圆周角$∠ ACD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，因此$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角为$2×∠ ACD=90°$。
7. 已知$\odot O$半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），得：
$\overset{\frown}{AD}$的长$=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$。
【答案】
$\frac{3π}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与几何图形的角度计算，需要学生串联多个基础知识点逐步推导，是典型的圆性质的综合应用题型。
【难度系数】
0.6
12. 分类讨论思想 已知$△ ABC$外接圆的半径为$2$，$BC=2\sqrt{3}$，则$∠ A$的度数是
$60°或120°$
。答案
12.$60°或120°$
解析
【分析】
要求∠A的度数，已知△ABC外接圆半径和BC的长度，首先明确同一条弦BC所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，因此需要分类讨论。我们可以通过构造直径，利用“直径所对的圆周角为直角”得到直角三角形，先求出弧BC对应的一个圆周角的度数，再根据点A的位置不同，分别计算∠A的度数。
【解析】
设△ABC的外接圆为⊙O，半径为2，因此⊙O的直径为4。
过点B作⊙O的直径BD，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°。
在Rt△BCD中，BD=4，BC=2√3，因此：
$\sin∠ D=\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得∠D=60°。
接下来分两种情况讨论：
①当点A在优弧BC上时，∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此∠A=∠D=60°；
②当点A在劣弧BC上时，四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠A+∠D=180°，因此∠A=180°-60°=120°。
综上，∠A的度数为60°或120°。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【点评】
本题主要考查圆相关性质的应用，解题的关键是明确同弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况，易错点是忽略分类讨论，漏算120°的情况，解题时要结合图形分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要求∠A的度数，已知△ABC外接圆半径和BC的长度，首先明确同一条弦BC所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，因此需要分类讨论。我们可以通过构造直径，利用“直径所对的圆周角为直角”得到直角三角形，先求出弧BC对应的一个圆周角的度数，再根据点A的位置不同，分别计算∠A的度数。
【解析】
设△ABC的外接圆为⊙O，半径为2，因此⊙O的直径为4。
过点B作⊙O的直径BD，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°。
在Rt△BCD中，BD=4，BC=2√3，因此：
$\sin∠ D=\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得∠D=60°。
接下来分两种情况讨论：
①当点A在优弧BC上时，∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此∠A=∠D=60°；
②当点A在劣弧BC上时，四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠A+∠D=180°，因此∠A=180°-60°=120°。
综上，∠A的度数为60°或120°。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【点评】
本题主要考查圆相关性质的应用，解题的关键是明确同弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况，易错点是忽略分类讨论，漏算120°的情况，解题时要结合图形分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13. 方程思想 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3√2，圆心O到弦BC的距离OD=2，则⊙O的半径为
$-1+\sqrt{10}$
。答案
13.$-1+\sqrt{10}$
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合圆心O到BC的垂线OD，根据等腰三角形三线合一和垂径定理可推出A、O、D三点共线，且AD⊥BC。接下来设⊙O半径为r，分别在Rt△ODB和Rt△ABD中用勾股定理表示出BD²，再建立关于r的方程求解即可，注意半径取正值。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，则$OB=OA=r$。
∵$AB=AC$，O是△ABC的外接圆圆心，$OD⊥BC$，
∴根据等腰三角形三线合一和垂径定理，A、O、D三点共线，且D为BC中点，$AD⊥BC$，
∴$AD = AO + OD = r + 2$。
在Rt△ODB中，由勾股定理得：$BD^2 = OB^2 - OD^2 = r^2 - 2^2 = r^2 - 4$。
在Rt△ABD中，$AB=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：$AB^2 = AD^2 + BD^2$。
代入数值：$(3\sqrt{2})^2 = (r + 2)^2 + (r^2 - 4)$
计算得：$18 = r^2 + 4r + 4 + r^2 - 4$
整理得：$r^2 + 2r - 9 = 0$
解一元二次方程：$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4×9}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$
∵半径为正数，
∴$r = -1 + \sqrt{10}$。
【答案】
$-1+\sqrt{10}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想的应用
【点评】
本题结合等腰三角形性质、垂径定理考查几何计算，解题关键是判断出A、O、D三点共线，再通过公共直角边建立方程，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合圆心O到BC的垂线OD，根据等腰三角形三线合一和垂径定理可推出A、O、D三点共线，且AD⊥BC。接下来设⊙O半径为r，分别在Rt△ODB和Rt△ABD中用勾股定理表示出BD²，再建立关于r的方程求解即可，注意半径取正值。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，则$OB=OA=r$。
∵$AB=AC$，O是△ABC的外接圆圆心，$OD⊥BC$，
∴根据等腰三角形三线合一和垂径定理，A、O、D三点共线，且D为BC中点，$AD⊥BC$，
∴$AD = AO + OD = r + 2$。
在Rt△ODB中，由勾股定理得：$BD^2 = OB^2 - OD^2 = r^2 - 2^2 = r^2 - 4$。
在Rt△ABD中，$AB=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：$AB^2 = AD^2 + BD^2$。
代入数值：$(3\sqrt{2})^2 = (r + 2)^2 + (r^2 - 4)$
计算得：$18 = r^2 + 4r + 4 + r^2 - 4$
整理得：$r^2 + 2r - 9 = 0$
解一元二次方程：$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4×9}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$
∵半径为正数，
∴$r = -1 + \sqrt{10}$。
【答案】
$-1+\sqrt{10}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想的应用
【点评】
本题结合等腰三角形性质、垂径定理考查几何计算，解题关键是判断出A、O、D三点共线，再通过公共直角边建立方程，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
14.若扇形AOB的半径为6，圆心角∠AOB=120°，则$\overset{\frown}{AB}$的长为（
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
C
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
14.C
解析
【分析】
本题是扇形弧长计算类基础题，解题核心是正确运用弧长公式。首先明确弧长公式的参数含义：公式$l=\frac{nπ r}{180}$中，$n$为扇形圆心角的度数，$r$为扇形半径。接下来从题干提取已知条件：扇形半径$r=6$，圆心角$∠ AOB=120°$即$n=120$，最后将数值代入公式计算即可，注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【解析】
解：已知扇形AOB的半径$r=6$，圆心角$n=∠ AOB=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数值计算：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×π×6}{180}=4π$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长公式 2.扇形的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的应用，只要准确提取题干中的半径、圆心角数值，代入公式正确计算即可得分，解题时注意区分弧长和扇形面积公式，避免约分错误。
【难度系数】
0.9
本题是扇形弧长计算类基础题，解题核心是正确运用弧长公式。首先明确弧长公式的参数含义：公式$l=\frac{nπ r}{180}$中，$n$为扇形圆心角的度数，$r$为扇形半径。接下来从题干提取已知条件：扇形半径$r=6$，圆心角$∠ AOB=120°$即$n=120$，最后将数值代入公式计算即可，注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【解析】
解：已知扇形AOB的半径$r=6$，圆心角$n=∠ AOB=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数值计算：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×π×6}{180}=4π$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长公式 2.扇形的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的应用，只要准确提取题干中的半径、圆心角数值，代入公式正确计算即可得分，解题时注意区分弧长和扇形面积公式，避免约分错误。
【难度系数】
0.9
15. [2025安徽中考]如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证:OC//AD;
(2)若AD=2,BC=2√3,求AB的长.
(1)求证:OC//AD;
(2)若AD=2,BC=2√3,求AB的长.
答案
15.(1)略.(2)解: 6.
解析
【分析】
（1）要证明OC//AD，可通过判定同旁内角互补推导。首先根据圆的半径相等得OC=OB，推出∠OCB=∠ABC，再结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，代入已知条件∠DAB+2∠ABC=180°，即可得到∠DAB与∠AOC互补，进而证得平行。
（2）求AB的长，可先设半圆的半径为r，由（1）的平行关系推导得∠DAB=∠COB；再分别在等腰△OAD、△BOC中，结合锐角三角函数表示出两个等角的余弦值，建立关于r的方程求解，最终得到直径AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵OC、OB都是半圆O的半径，
∴OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵∠AOC是△OBC的外角，
∴∠AOC=∠ABC+∠OCB=2∠ABC
已知∠DAB+2∠ABC=180°，将∠AOC=2∠ABC代入得：
∠DAB+∠AOC=180°
∴OC//AD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：设半圆O的半径为r，则OA=OB=OC=r，AB=2r
∵OC//AD，
∴∠DAB=∠COB（两直线平行，同位角相等）
过O作OE⊥AD于E，由垂径定理得AE=½AD=1
在Rt△AOE中，$\cos∠ DAB=\frac{AE}{OA}=\frac{1}{r}$
在△BOC中，由余弦定义得：
$\cos∠ COB=\frac{OC^2+OB^2-BC^2}{2· OC· OB}=\frac{r^2+r^2-(2\sqrt{3})^2}{2r^2}=\frac{r^2-6}{r^2}$
∵∠DAB=∠COB，
∴$\frac{1}{r}=\frac{r^2-6}{r^2}$
两边同乘$r^2$（$r\ne0$）整理得$r^2-r-6=0$
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去）
∴$AB=2r=2×3=6$
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆的基本性质，平行线的判定，锐角三角函数
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问侧重基础性质的应用，结合等腰三角形外角性质即可快速推导平行关系；第二问需要灵活运用等角的三角函数值相等建立方程求解，兼顾了几何性质和代数计算能力的考查。
【难度系数】
0.65
（1）要证明OC//AD，可通过判定同旁内角互补推导。首先根据圆的半径相等得OC=OB，推出∠OCB=∠ABC，再结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，代入已知条件∠DAB+2∠ABC=180°，即可得到∠DAB与∠AOC互补，进而证得平行。
（2）求AB的长，可先设半圆的半径为r，由（1）的平行关系推导得∠DAB=∠COB；再分别在等腰△OAD、△BOC中，结合锐角三角函数表示出两个等角的余弦值，建立关于r的方程求解，最终得到直径AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵OC、OB都是半圆O的半径，
∴OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵∠AOC是△OBC的外角，
∴∠AOC=∠ABC+∠OCB=2∠ABC
已知∠DAB+2∠ABC=180°，将∠AOC=2∠ABC代入得：
∠DAB+∠AOC=180°
∴OC//AD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：设半圆O的半径为r，则OA=OB=OC=r，AB=2r
∵OC//AD，
∴∠DAB=∠COB（两直线平行，同位角相等）
过O作OE⊥AD于E，由垂径定理得AE=½AD=1
在Rt△AOE中，$\cos∠ DAB=\frac{AE}{OA}=\frac{1}{r}$
在△BOC中，由余弦定义得：
$\cos∠ COB=\frac{OC^2+OB^2-BC^2}{2· OC· OB}=\frac{r^2+r^2-(2\sqrt{3})^2}{2r^2}=\frac{r^2-6}{r^2}$
∵∠DAB=∠COB，
∴$\frac{1}{r}=\frac{r^2-6}{r^2}$
两边同乘$r^2$（$r\ne0$）整理得$r^2-r-6=0$
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去）
∴$AB=2r=2×3=6$
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆的基本性质，平行线的判定，锐角三角函数
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问侧重基础性质的应用，结合等腰三角形外角性质即可快速推导平行关系；第二问需要灵活运用等角的三角函数值相等建立方程求解，兼顾了几何性质和代数计算能力的考查。
【难度系数】
0.65
