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8.如图,已知正方形ABCD的边长为8,E是正方形内部的一点,连接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,点P是边AB上一动点,连接PD,PE,则PD+PE长度的最小值为 (
A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$8\sqrt{5}-4$
D.$4\sqrt{13}-4$
D
)A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$8\sqrt{5}-4$
D.$4\sqrt{13}-4$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先从角的等量关系入手，推导得出∠BEC=90°，由此确定动点E的轨迹是以BC为直径的圆；再结合动点P在AB上的特征，利用将军饮马模型作点D关于AB的对称点D'，将PD转化为PD'，把PD+PE的最小值问题转化为圆外点D'到圆上点E的最短距离问题，最终用“圆外一点到圆上点的最短距离=点到圆心的距离-半径”计算即可。
【解析】
1. 确定点E的轨迹
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=90°，即$∠ ABE + ∠ EBC = 90°$。
又
∵ $∠ ABE=∠ BCE$，
∴ $∠ BCE + ∠ EBC = 90°$，可得$∠ BEC=90°$。
∴ 点E在以BC为直径的圆上，设BC中点为O，则O为圆心，半径$OE=\frac{1}{2}BC=4$。
2. 对称转化线段
建立平面直角坐标系：设$B(0,0)$，则$C(8,0)$，$A(0,8)$，$D(8,8)$，圆心$O(4,0)$。
作点D关于AB的对称点$D'$，由对称性质得$D'(-8,8)$，且$PD=PD'$，因此$PD+PE=PD'+PE$。
3. 计算最小值
根据两点之间线段最短，$PD'+PE≥ D'E$；圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径。
计算$D'$到O的距离：$D'O=\sqrt{(-8-4)^2+(8-0)^2}=\sqrt{144+64}=4\sqrt{13}$。
则$D'E$的最小值为$D'O-OE=4\sqrt{13}-4$，即$PD+PE$的最小值为$4\sqrt{13}-4$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论，轴对称的性质，最短路径计算
【点评】
本题将正方形性质、动点轨迹判断、几何最值模型结合考查，解题的核心是先确定隐藏的动点轨迹，再通过对称转化线段，结合常见的最值规律求解，能有效锻炼综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.3
解题时先从角的等量关系入手，推导得出∠BEC=90°，由此确定动点E的轨迹是以BC为直径的圆；再结合动点P在AB上的特征，利用将军饮马模型作点D关于AB的对称点D'，将PD转化为PD'，把PD+PE的最小值问题转化为圆外点D'到圆上点E的最短距离问题，最终用“圆外一点到圆上点的最短距离=点到圆心的距离-半径”计算即可。
【解析】
1. 确定点E的轨迹
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=90°，即$∠ ABE + ∠ EBC = 90°$。
又
∵ $∠ ABE=∠ BCE$，
∴ $∠ BCE + ∠ EBC = 90°$，可得$∠ BEC=90°$。
∴ 点E在以BC为直径的圆上，设BC中点为O，则O为圆心，半径$OE=\frac{1}{2}BC=4$。
2. 对称转化线段
建立平面直角坐标系：设$B(0,0)$，则$C(8,0)$，$A(0,8)$，$D(8,8)$，圆心$O(4,0)$。
作点D关于AB的对称点$D'$，由对称性质得$D'(-8,8)$，且$PD=PD'$，因此$PD+PE=PD'+PE$。
3. 计算最小值
根据两点之间线段最短，$PD'+PE≥ D'E$；圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径。
计算$D'$到O的距离：$D'O=\sqrt{(-8-4)^2+(8-0)^2}=\sqrt{144+64}=4\sqrt{13}$。
则$D'E$的最小值为$D'O-OE=4\sqrt{13}-4$，即$PD+PE$的最小值为$4\sqrt{13}-4$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论，轴对称的性质，最短路径计算
【点评】
本题将正方形性质、动点轨迹判断、几何最值模型结合考查，解题的核心是先确定隐藏的动点轨迹，再通过对称转化线段，结合常见的最值规律求解，能有效锻炼综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.3
9.如图，M是等腰直角三角形ABC的边BC的中点，P是平面内的一点，连接AP，将线段AP以点A为旋转中心逆时针旋转$90°$，得到线段AQ，连接MQ。若$AB=4$，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为 （
A.4
B.5
C.3
D.$2\sqrt{2}-1$
C
）A.4
B.5
C.3
D.$2\sqrt{2}-1$
答案
9.C
解析
【分析】
本题是旋转结合最值的几何综合题，解题思路如下：①首先利用旋转性质，AP逆时针旋转90°得AQ，可得AP=AQ、∠PAQ=90°，结合等腰直角△ABC的∠BAC=90°，通过构造全等三角形将已知的PM=1转化为Q到某定点的定长，确定Q的轨迹是圆；②先计算等腰直角△ABC斜边上中线AM的长度，再算出Q的轨迹圆圆心与点M的距离；③根据圆上一点到定点的最短距离为两点连线长度减去圆半径，即可求出MQ的最小值。
【解析】
连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AM'，连接M'Q、MM'。
1. 由旋转性质得：$AP=AQ$，$∠ PAQ=90°$，$AM=AM'$，$∠ MAM'=90°$，
$\therefore ∠ PAQ - ∠ PAM' = ∠ MAM' - ∠ PAM'$，即$∠ PAM=∠ QAM'$。
2. 在$△ PAM$和$△ QAM'$中：
$\begin{cases} AP=AQ \\ ∠ PAM=∠ QAM' \\ AM=AM' \end{cases}$
$\therefore △ PAM ≌ △ QAM'$（SAS），$\therefore QM'=PM=1$，即Q在以$M'$为圆心、半径为1的圆上。
3. $\because$等腰直角$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ BAC=90°$，M是BC中点，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$AM=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
4. $\because ∠ MAM'=90°$，$AM=AM'=2\sqrt{2}$，
$\therefore MM'=\sqrt{AM^2+AM'^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
5. 根据圆的性质，点M到圆$M'$上点的最短距离为$MM'$减去半径，
$\therefore MQ$的最小值为$4-1=3$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，全等三角形判定与性质，圆中最值
【点评】
本题是几何综合类典型题型，核心是通过构造全等确定动点Q的轨迹为圆，再结合圆的最值性质求解，能有效考查几何变换的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是旋转结合最值的几何综合题，解题思路如下：①首先利用旋转性质，AP逆时针旋转90°得AQ，可得AP=AQ、∠PAQ=90°，结合等腰直角△ABC的∠BAC=90°，通过构造全等三角形将已知的PM=1转化为Q到某定点的定长，确定Q的轨迹是圆；②先计算等腰直角△ABC斜边上中线AM的长度，再算出Q的轨迹圆圆心与点M的距离；③根据圆上一点到定点的最短距离为两点连线长度减去圆半径，即可求出MQ的最小值。
【解析】
连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AM'，连接M'Q、MM'。
1. 由旋转性质得：$AP=AQ$，$∠ PAQ=90°$，$AM=AM'$，$∠ MAM'=90°$，
$\therefore ∠ PAQ - ∠ PAM' = ∠ MAM' - ∠ PAM'$，即$∠ PAM=∠ QAM'$。
2. 在$△ PAM$和$△ QAM'$中：
$\begin{cases} AP=AQ \\ ∠ PAM=∠ QAM' \\ AM=AM' \end{cases}$
$\therefore △ PAM ≌ △ QAM'$（SAS），$\therefore QM'=PM=1$，即Q在以$M'$为圆心、半径为1的圆上。
3. $\because$等腰直角$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ BAC=90°$，M是BC中点，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$AM=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
4. $\because ∠ MAM'=90°$，$AM=AM'=2\sqrt{2}$，
$\therefore MM'=\sqrt{AM^2+AM'^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
5. 根据圆的性质，点M到圆$M'$上点的最短距离为$MM'$减去半径，
$\therefore MQ$的最小值为$4-1=3$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，全等三角形判定与性质，圆中最值
【点评】
本题是几何综合类典型题型，核心是通过构造全等确定动点Q的轨迹为圆，再结合圆的最值性质求解，能有效考查几何变换的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
10.如图，点A，B的坐标分别为$(2\sqrt{2},0),(0,2\sqrt{2})$，C为坐标平面内的一点，$BC=1$，M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为
$\frac{3}{2}$
.答案
10.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先确定动点C的运动轨迹：由BC=1、B为定点，可知C在以B为圆心、半径为1的圆上。接下来将待求的OM线段进行转化：利用M是AC中点的条件，构造三角形中位线，把OM转化为另一条线段的一半，将OM的最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，最后利用“圆外一点到圆上点的最短距离=该点到圆心的距离-半径”计算即可。
【解析】
1. 确定点C的轨迹：
已知点B的坐标为$(0,2\sqrt{2})$，且$BC=1$，因此点C在以B为圆心，半径$r=1$的圆上运动。
2. 构造中位线转化线段：
作点A关于原点O的对称点$P(-2\sqrt{2},0)$，则O是线段AP的中点。
∵ M是线段AC的中点，
∴ OM是$△ APC$的中位线，根据三角形中位线性质可得：$OM=\frac{1}{2}PC$，要求OM的最小值，即求PC的最小值。
3. 计算PC的最小值：
圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径。
先计算点P到圆心B的距离$PB$：
由两点间距离公式：
$PB=\sqrt{(0 - (-2\sqrt{2}))^2 + (2\sqrt{2}-0)^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$
因此PC的最小值为：$PB - r=4 - 1=3$
4. 求OM的最小值：
将PC的最小值代入$OM=\frac{1}{2}PC$，得$OM_{\mathrm{最小值}}=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 圆的轨迹判定
2. 三角形中位线定理
3. 圆中最短距离计算
【点评】
本题属于典型的动点最值问题，解题核心是先明确动点的轨迹为圆，再通过中位线性质转化待求线段，将陌生问题转化为熟悉的圆外点到圆的最短距离问题，注重对转化思想的考察。
【难度系数】
0.6
解题时首先确定动点C的运动轨迹：由BC=1、B为定点，可知C在以B为圆心、半径为1的圆上。接下来将待求的OM线段进行转化：利用M是AC中点的条件，构造三角形中位线，把OM转化为另一条线段的一半，将OM的最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，最后利用“圆外一点到圆上点的最短距离=该点到圆心的距离-半径”计算即可。
【解析】
1. 确定点C的轨迹：
已知点B的坐标为$(0,2\sqrt{2})$，且$BC=1$，因此点C在以B为圆心，半径$r=1$的圆上运动。
2. 构造中位线转化线段：
作点A关于原点O的对称点$P(-2\sqrt{2},0)$，则O是线段AP的中点。
∵ M是线段AC的中点，
∴ OM是$△ APC$的中位线，根据三角形中位线性质可得：$OM=\frac{1}{2}PC$，要求OM的最小值，即求PC的最小值。
3. 计算PC的最小值：
圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径。
先计算点P到圆心B的距离$PB$：
由两点间距离公式：
$PB=\sqrt{(0 - (-2\sqrt{2}))^2 + (2\sqrt{2}-0)^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$
因此PC的最小值为：$PB - r=4 - 1=3$
4. 求OM的最小值：
将PC的最小值代入$OM=\frac{1}{2}PC$，得$OM_{\mathrm{最小值}}=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 圆的轨迹判定
2. 三角形中位线定理
3. 圆中最短距离计算
【点评】
本题属于典型的动点最值问题，解题核心是先明确动点的轨迹为圆，再通过中位线性质转化待求线段，将陌生问题转化为熟悉的圆外点到圆的最短距离问题，注重对转化思想的考察。
【难度系数】
0.6
11. 能力训练点·探究建模【初步探究】（1）如图①，AB为$\odot O$的直径，点P在BA的延长线上，在$\odot O$上任取一点C（不与A，B两点重合），连接PC，OC，则PA
【直接运用】（2）如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=4$，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值；
【构造运用】（3）图③是一个边长为200 m的等边三角形空地ABC，P为$△ ABC$区域内的一点，分别沿PA，PB，PC修建三条人行小道，三条人行小道将三角形空地ABC分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使$∠ PAB=∠ PCA$，小道BP的最小值为
＜
PC；（填“＞”“＜”或“=”）【直接运用】（2）如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=4$，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值；
【构造运用】（3）图③是一个边长为200 m的等边三角形空地ABC，P为$△ ABC$区域内的一点，分别沿PA，PB，PC修建三条人行小道，三条人行小道将三角形空地ABC分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使$∠ PAB=∠ PCA$，小道BP的最小值为
$\frac{200\sqrt{3}}{3}$
m.答案
11.解：(1)$＜$ (2)$2\sqrt{5}-2$. (3)$\frac{200\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
（1）利用同圆半径相等得到OC=OA，再结合三角形三边关系“两边之差小于第三边”，即可推导PA和PC的大小关系；
（2）圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径。先找到半圆的圆心（BC中点），计算圆心到点A的距离，再减去半圆半径即可得到AP的最小值；
（3）先根据角度关系推导得∠APC=120°，确定点P的轨迹是以AC为弦、所含圆周角为120°的圆弧，再求点B到这段圆弧的最短距离，即为BP的最小值。
【解析】
(1)
∵OC、OA都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OA$。
在$△ POC$中，由三角形三边关系得：$PC＞PO-OC$，
将$OC$替换为$OA$，得$PC＞PO-OA=PA$，故$PA＜PC$。
(2) 设BC的中点为O，即半圆的圆心，连接AO交半圆于点P，此时AP长度最小。
由题意得：$OC=OP=\frac{1}{2}BC=2$，
∵$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ACO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴AP的最小值为$AO-OP=2\sqrt{5}-2$。
(3)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，即$∠ PAB+∠ PAC=60°$，
又
∵$∠ PAB=∠ PCA$，
∴$∠ PCA+∠ PAC=60°$，
∴$∠ APC=180°-60°=120°$，
即点P的轨迹是以AC为弦，所含圆周角为$120°$的圆弧（$△ ABC$内部部分），设该圆弧半径为R，
由弦长与半径关系：$\frac{1}{2}AC=R·\sin60°$，代入$AC=200$，
得$100=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$R=\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
即BP的最小值为$\frac{200\sqrt{3}}{3}$m。
【答案】
(1) $＜$；(2) $2\sqrt{5}-2$；(3) $\frac{200\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
三角形三边关系；圆中最值；动点轨迹
【点评】
本题围绕几何最值模型层层递进设置问题，既考查了基础的三角形性质、圆的基本性质，也考查了模型迁移和构造能力，需要熟练掌握常见的最值求解方法。
【难度系数】
0.65
（1）利用同圆半径相等得到OC=OA，再结合三角形三边关系“两边之差小于第三边”，即可推导PA和PC的大小关系；
（2）圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径。先找到半圆的圆心（BC中点），计算圆心到点A的距离，再减去半圆半径即可得到AP的最小值；
（3）先根据角度关系推导得∠APC=120°，确定点P的轨迹是以AC为弦、所含圆周角为120°的圆弧，再求点B到这段圆弧的最短距离，即为BP的最小值。
【解析】
(1)
∵OC、OA都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OA$。
在$△ POC$中，由三角形三边关系得：$PC＞PO-OC$，
将$OC$替换为$OA$，得$PC＞PO-OA=PA$，故$PA＜PC$。
(2) 设BC的中点为O，即半圆的圆心，连接AO交半圆于点P，此时AP长度最小。
由题意得：$OC=OP=\frac{1}{2}BC=2$，
∵$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ACO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴AP的最小值为$AO-OP=2\sqrt{5}-2$。
(3)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，即$∠ PAB+∠ PAC=60°$，
又
∵$∠ PAB=∠ PCA$，
∴$∠ PCA+∠ PAC=60°$，
∴$∠ APC=180°-60°=120°$，
即点P的轨迹是以AC为弦，所含圆周角为$120°$的圆弧（$△ ABC$内部部分），设该圆弧半径为R，
由弦长与半径关系：$\frac{1}{2}AC=R·\sin60°$，代入$AC=200$，
得$100=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$R=\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
即BP的最小值为$\frac{200\sqrt{3}}{3}$m。
【答案】
(1) $＜$；(2) $2\sqrt{5}-2$；(3) $\frac{200\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
三角形三边关系；圆中最值；动点轨迹
【点评】
本题围绕几何最值模型层层递进设置问题，既考查了基础的三角形性质、圆的基本性质，也考查了模型迁移和构造能力，需要熟练掌握常见的最值求解方法。
【难度系数】
0.65
