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1. 根据物理学知识,作用于物体上的压力F(单位:N)所产生的压强p(单位:Pa)与物体受力面积S(单位:m²)三者之间满足关系$p=\frac{F}{S}$.若压力为100 N时,压强要大于1 000 Pa,则此时关于S的说法正确的是()
A.S小于0.1 m²
B.S大于0.1 m²
C.S小于10 m²
D.S大于10 m²
A.S小于0.1 m²
B.S大于0.1 m²
C.S小于10 m²
D.S大于10 m²
答案
A
解析
将F=100N代入压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得$p=\frac{100}{S}$，其中受力面积$S＞0$。根据题意压强$p＞1000\ \mathrm{Pa}$，即$\frac{100}{S}＞1000$，由于$S＞0$，不等式两边同时乘S得$100＞1000S$，解得$S＜0.1$，即S小于$0.1\ \mathrm{m}^2$。
2.已知某市的耕地面积约为$375\ \mathrm{km}^2$，人均占有的耕地面积$S$(单位：$\mathrm{km}^2/\mathrm{人}$)随全市人口数$n$(单位：人)的变化而变化，则$S$关于$n$的函数解析式是。
。
。
答案
解：
由题意可知，人均占有耕地面积乘以全市人口数等于耕地总面积，即$S· n = 375$，
整理得$S=\frac{375}{n}$，
结合实际意义，人口数$n＞0$，
因此$S$关于$n$的函数解析式是$\boldsymbol{S=\frac{375}{n}\ (n＞0)}$。
由题意可知，人均占有耕地面积乘以全市人口数等于耕地总面积，即$S· n = 375$，
整理得$S=\frac{375}{n}$，
结合实际意义，人口数$n＞0$，
因此$S$关于$n$的函数解析式是$\boldsymbol{S=\frac{375}{n}\ (n＞0)}$。
3.在生态学中,某种濒危鸟类的有效栖息地面积$ S $(单位:$ \mathrm{km}^2 $)与其种群密度$ a $(单位:只$/\mathrm{km}^2$)近似满足反比例关系.研究发现,当有效栖息地面积为$ 20 \ \mathrm{km}^2 $时,种群密度为$ 25 $只$/\mathrm{km}^2$.若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入或迁出),当因森林砍伐导致有效栖息地面积缩减至$ 5 \ \mathrm{km}^2 $时,种群密度$ a=$只$/\mathrm{km}^2$.
答案
解：
设有效栖息地面积$S$与种群密度$a$的反比例函数关系式为$S=\frac{k}{a}\ (k≠0)$。
将$S=20$，$a=25$代入关系式，得：
$20=\frac{k}{25}$
解得$k=500$。
因此$S$与$a$的函数关系式为$S=\frac{500}{a}$。
当$S=5$时，代入得：
$5=\frac{500}{a}$
解得$a=100$。
答：种群密度$a=100$只$/ \mathrm{km}^2$。
设有效栖息地面积$S$与种群密度$a$的反比例函数关系式为$S=\frac{k}{a}\ (k≠0)$。
将$S=20$，$a=25$代入关系式，得：
$20=\frac{k}{25}$
解得$k=500$。
因此$S$与$a$的函数关系式为$S=\frac{500}{a}$。
当$S=5$时，代入得：
$5=\frac{500}{a}$
解得$a=100$。
答：种群密度$a=100$只$/ \mathrm{km}^2$。
4.生活中做拉面的过程渗透着数学知识,一定体积的面团做成拉面,面条总长度与面条粗细(横截面面积)存在一定的函数关系.项目化学习小组的同学们用一块面团进行了试验,并将数据整理如下:
根据以上数据可知,当面条总长度为220 cm时,面条粗细为 cm².
根据以上数据可知,当面条总长度为220 cm时,面条粗细为 cm².
答案
解：
由题意可知，面条总长度$y$与面条横截面积$S$成反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$。
将$S=0.4$，$y=33$代入解析式，得$33=\frac{k}{0.4}$，解得$k=13.2$。
验证其余数据：$0.3×44=13.2$，$0.2×66=13.2$，$0.1×132=13.2$，均满足该关系，因此函数解析式为$y=\frac{13.2}{S}$。
当$y=220$时，代入解析式得$220=\frac{13.2}{S}$，解得$S=0.06$。
答：当面条总长度为220 cm时，面条粗细为$\boldsymbol{0.06}\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知，面条总长度$y$与面条横截面积$S$成反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$。
将$S=0.4$，$y=33$代入解析式，得$33=\frac{k}{0.4}$，解得$k=13.2$。
验证其余数据：$0.3×44=13.2$，$0.2×66=13.2$，$0.1×132=13.2$，均满足该关系，因此函数解析式为$y=\frac{13.2}{S}$。
当$y=220$时，代入解析式得$220=\frac{13.2}{S}$，解得$S=0.06$。
答：当面条总长度为220 cm时，面条粗细为$\boldsymbol{0.06}\ \mathrm{cm}^2$。
5. 提升题 某公园计划改造修建一块一面靠墙且面积为$800\ \mathrm{m}^2$的运动休闲场地，设场地的长为$a\ \mathrm{m}$，宽为$b\ \mathrm{m}(a＞b)$。
(1)判断$a$，$b$是否成反比例关系。
(2)若运动休闲场地用长为$100\ \mathrm{m}$的围栏(全部用完)隔离，求$a$与$b$的值。
(3)如图，附近居民建议在场地内设计一个面积为$100π\ \mathrm{m}^2$的半圆形儿童乐园，方案是否可行？如果可行，求出$b$的值；如果不可行，请说明理由。
(1)判断$a$，$b$是否成反比例关系。
(2)若运动休闲场地用长为$100\ \mathrm{m}$的围栏(全部用完)隔离，求$a$与$b$的值。
(3)如图，附近居民建议在场地内设计一个面积为$100π\ \mathrm{m}^2$的半圆形儿童乐园，方案是否可行？如果可行，求出$b$的值；如果不可行，请说明理由。
答案
解：
(1) 由题意得场地面积满足 $ ab = 800 $，变形得 $ a = \frac{800}{b} \ (b＞0) $，符合反比例函数的定义，因此$ a $与$ b $成反比例关系。
(2) 由题意，一面靠墙，围栏总长为100m，可得 $ a + 2b = 100 $。
联立方程组：
$\begin{cases}ab = 800 \\a + 2b = 100\end{cases}$
将 $ a = 100 - 2b $ 代入 $ ab = 800 $，得：
$ (100 - 2b)b = 800 $
整理得 $ b^2 - 50b + 400 = 0 $
解得 $ b_1 = 10 $，$ b_2 = 40 $。
当 $ b=10 $ 时，$ a = 100 - 2×10 = 80 $，满足 $ a＞b $；
当 $ b=40 $ 时，$ a = 100 - 2×40 = 20 $，此时 $ a ＜ b $，不符合题意，舍去。
因此 $ a=80 $，$ b=10 $。
(3) 方案不可行，理由如下：
设半圆形儿童乐园的半径为$ r \, \mathrm{m} $，由题意得：
$ \frac{1}{2}π r^2 = 100π $
解得 $ r^2 = 200 $，即 $ r = 10\sqrt{2} $（负值舍去）。
由图可知，半圆的直径沿场地右侧竖直边放置，要使半圆完全在场地内，需满足直径 $ 2r ≤ b $，结合已知条件 $ a＞b $，可得：
$ a ＞ b ≥ 2r = 20\sqrt{2} $
因此 $ ab ＞ 20\sqrt{2} × 20\sqrt{2} = 800 $，与场地面积 $ ab=800 $ 矛盾。
因此该方案不可行。
(1) 由题意得场地面积满足 $ ab = 800 $，变形得 $ a = \frac{800}{b} \ (b＞0) $，符合反比例函数的定义，因此$ a $与$ b $成反比例关系。
(2) 由题意，一面靠墙，围栏总长为100m，可得 $ a + 2b = 100 $。
联立方程组：
$\begin{cases}ab = 800 \\a + 2b = 100\end{cases}$
将 $ a = 100 - 2b $ 代入 $ ab = 800 $，得：
$ (100 - 2b)b = 800 $
整理得 $ b^2 - 50b + 400 = 0 $
解得 $ b_1 = 10 $，$ b_2 = 40 $。
当 $ b=10 $ 时，$ a = 100 - 2×10 = 80 $，满足 $ a＞b $；
当 $ b=40 $ 时，$ a = 100 - 2×40 = 20 $，此时 $ a ＜ b $，不符合题意，舍去。
因此 $ a=80 $，$ b=10 $。
(3) 方案不可行，理由如下：
设半圆形儿童乐园的半径为$ r \, \mathrm{m} $，由题意得：
$ \frac{1}{2}π r^2 = 100π $
解得 $ r^2 = 200 $，即 $ r = 10\sqrt{2} $（负值舍去）。
由图可知，半圆的直径沿场地右侧竖直边放置，要使半圆完全在场地内，需满足直径 $ 2r ≤ b $，结合已知条件 $ a＞b $，可得：
$ a ＞ b ≥ 2r = 20\sqrt{2} $
因此 $ ab ＞ 20\sqrt{2} × 20\sqrt{2} = 800 $，与场地面积 $ ab=800 $ 矛盾。
因此该方案不可行。
