10.如图,已知$△ ABC$,用尺规作图法按如下步骤作图:
①以点$C$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$BC,AC$于点$M,N$;
②以点$A$为圆心,$CM$的长为半径画弧,交$AB$于点$P$;
③以点$P$为圆心,$MN$的长为半径画弧,两弧相交于点$Q$;
④连接$AQ$并延长,与$CB$的延长线交于点$D$.

若$AD=BC$,请解答下列问题:
(1)求证:点$B$为线段$CD$的黄金分割点.
(2)若$CD=(10\sqrt{5}+10)\mathrm{cm}$,求$AD$的长.

10.解:(1)证明:由作图步骤可得,$∠ BAD=∠ C. \because ∠ D=∠ D, \therefore △ ABD∽△ CAD. \therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}. \because AD=BC, \therefore \frac{BC}{CD}=\frac{BD}{BC}. \therefore$点$B$为线段$CD$的黄金分割点.(2)由(1)可知,点$B$为线段$CD$的黄金分割点,$\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,即$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}CD. \because CD=(10\sqrt{5}+10)\mathrm{cm}, \therefore BC=\frac{(\sqrt{5}-1)(10\sqrt{5}+10)}{2}=20(\mathrm{cm}). \because AD=BC, \therefore AD=20\ \mathrm{cm}.$

【分析】
(1) 要证点B是CD的黄金分割点，需满足黄金分割的比例关系$\frac{BC}{CD}=\frac{BD}{BC}$。首先根据作图步骤可推出$∠ BAD=∠ C$，结合公共角$∠ D$可证$△ ABD ∽ △ CAD$，得到边的比例关系，再代入已知$AD=BC$即可推导出黄金分割的比例式。
(2) 由(1)的结论可知BC是CD的较长黄金分割段，其与CD的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入CD的长度求出BC，再结合$AD=BC$即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：由作图步骤可得$∠ BAD = ∠ C$。
$\because ∠ D = ∠ D$，
$\therefore △ ABD ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$。
$\because AD=BC$，
$\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{BD}{BC}$，
$\therefore$点$B$为线段$CD$的黄金分割点。
(2) 解：由(1)可知点$B$为线段$CD$的黄金分割点，
$\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}CD$。
$\because CD=(10\sqrt{5}+10)\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=\frac{(\sqrt{5}-1)(10\sqrt{5}+10)}{2}=20(\mathrm{cm})$。
$\because AD=BC$，
$\therefore AD=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明成立，点B为线段CD的黄金分割点；
(2) $20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，尺规作相等角，黄金分割
【点评】
本题将尺规作图、相似三角形和黄金分割知识相结合，既考查对作图规则的理解，也考查几何推理与计算能力，解题的核心是通过作图得到等角，进而证明相似推导出黄金分割的比例关系。
【难度系数】
0.6

阅读理解:如图1,点B把线段AC分成两部分,如果$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$,那么称线段AC被点B黄金分割,点B为线段AC的黄金分割点.AB与AC(或BC与AB)的比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$称为黄金比.如图2,在矩形ABCD中,如果BC与AB(BC＜AB)的比为黄金比,这样的矩形称为黄金矩形.
实践探索:第一步,将边长为2的正方形纸片ABCD沿ME对折,使AB与CD重合,然后展平,如图3;第二步,沿DE折叠后展平,如图4;第三步,再沿DQ折叠,使得DA落在折痕DE上,如图5.
(1)延长DQ交CB的延长线于点F,则BF的长为.
(2)求证:点Q是AB的黄金分割点.

(1) $\sqrt{5}-1$
(2) 证明:
∵四边形ABCD是正方形,且边长为2,
∴AD//BF,AD=2.
∴∠F=∠ADQ. 又
∵∠BQF=∠AQD,
∴△BFQ∽△ADQ.
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{BQ}{AQ}$. 由(1)知,$BF=\sqrt{5}-1$,
∴$\frac{BQ}{AQ}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴点Q是AB的黄金分割点.

【分析】
(1) 求解BF的长度时，首先利用正方形对折的性质得到E是BC中点，结合勾股定理求出DE的长度；再根据折叠的性质得到DQ平分∠ADE，结合AD//BC推出△DEF是等腰三角形，得到EF=DE，最后用EF减去BE的长度即可得到BF的长。
(2) 要证明点Q是AB的黄金分割点，需得到BQ与AQ的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。先根据AD//BC证明△BFQ和△ADQ相似，得到对应边成比例，再代入(1)中BF的长度和AD的边长，即可得到符合黄金分割定义的比例关系。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的边长为2，沿ME对折后AB与CD重合，
∴E为BC的中点，即$BE=EC=\frac{1}{2}BC=1$。
在$Rt△ DCE$中，$DC=2$，$EC=1$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵沿DQ折叠后DA落在DE上，
∴DQ平分$∠ ADE$，即$∠ ADQ=∠ EDQ$。
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ ADQ=∠ F$，$\therefore ∠ EDQ=∠ F$，
$\therefore EF=DE=\sqrt{5}$，
$\therefore BF=EF-BE=\sqrt{5}-1$。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
$\therefore AD// BF$，$AD=2$。
$\therefore ∠ F=∠ ADQ$，
又$\because ∠ BQF=∠ AQD$（对顶角相等），
$\therefore △ BFQ∽ △ ADQ$，
$\therefore \frac{BF}{AD}=\frac{BQ}{AQ}$。
由(1)知$BF=\sqrt{5}-1$，代入得：
$\frac{BQ}{AQ}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比例要求，
∴点Q是AB的黄金分割点。
【答案】
(1) $\sqrt{5}-1$
(2) 点Q是AB的黄金分割点，证明见解析。
【知识点】
黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，折叠的性质
【点评】
本题结合正方形折叠的操作，考查黄金分割的判定，解题的关键是灵活运用折叠的性质和相似三角形的对应边成比例关系，将几何特征转化为代数比例关系验证，注重对基础概念和性质的综合应用。
【难度系数】
0.7