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1. 已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC, BC，且AC＞BC，则下列说法错误的是 （
A.若$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，则线段 AB 被点 C 黄金分割
B.若$AC^2=AB· BC$，则线段 AB 被点 C 黄金分割
C.若线段 AB 被点 C 黄金分割，则 BC 与 AB 的比叫作黄金比
D.0.618 是黄金比的近似值
C
）A.若$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，则线段 AB 被点 C 黄金分割
B.若$AC^2=AB· BC$，则线段 AB 被点 C 黄金分割
C.若线段 AB 被点 C 黄金分割，则 BC 与 AB 的比叫作黄金比
D.0.618 是黄金比的近似值
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题首先需要明确黄金分割的定义及相关概念，再逐一核对每个选项的描述是否符合概念，最终选出错误的选项。首先回忆黄金分割的核心特征：点C分线段AB为AC＞BC两段，满足较长段与全长的比等于较短段与较长段的比，该比值（较长段/全长）为黄金比，近似值为0.618，据此判断每个选项即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$（交叉相乘可得$AC^2=AB· BC$），则称线段AB被点C黄金分割，其中较长线段AC与线段AB的比值叫做黄金比，黄金比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似值约为0.618。
对各选项逐一分析：
A. 给出的比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$完全符合黄金分割的定义，说法正确，不符合题意；
B. $AC^2=AB· BC$是黄金分割定义中比例式的等积变形，满足该式即可判定AB被C黄金分割，说法正确，不符合题意；
C. 黄金比是较长线段AC与AB的比值，不是BC与AB的比，该说法错误，符合题意；
D. 黄金比的准确值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，因此0.618是黄金比的近似值，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；黄金比
【点评】
本题考查黄金分割的基础概念，解题的关键是明确黄金分割的判定条件，准确区分黄金比是较长线段与整条线段的比值，避免混淆长短线段对应的比例关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要明确黄金分割的定义及相关概念，再逐一核对每个选项的描述是否符合概念，最终选出错误的选项。首先回忆黄金分割的核心特征：点C分线段AB为AC＞BC两段，满足较长段与全长的比等于较短段与较长段的比，该比值（较长段/全长）为黄金比，近似值为0.618，据此判断每个选项即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$（交叉相乘可得$AC^2=AB· BC$），则称线段AB被点C黄金分割，其中较长线段AC与线段AB的比值叫做黄金比，黄金比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似值约为0.618。
对各选项逐一分析：
A. 给出的比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$完全符合黄金分割的定义，说法正确，不符合题意；
B. $AC^2=AB· BC$是黄金分割定义中比例式的等积变形，满足该式即可判定AB被C黄金分割，说法正确，不符合题意；
C. 黄金比是较长线段AC与AB的比值，不是BC与AB的比，该说法错误，符合题意；
D. 黄金比的准确值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，因此0.618是黄金比的近似值，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；黄金比
【点评】
本题考查黄金分割的基础概念，解题的关键是明确黄金分割的判定条件，准确区分黄金比是较长线段与整条线段的比值，避免混淆长短线段对应的比例关系。
【难度系数】
0.8
2.已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC.若AB=2，则AC的长为
$\sqrt{5}-1$
.(结果保留根号)答案
2.$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题首先要回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与原线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，则这个点是这条线段的黄金分割点，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AC＞BC，因此AC是线段AB的较长分割段，只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵AB=2，
∴$AC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义、线段比例计算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值为黄金比，需注意题干中给出的AC＞BC的条件，避免混淆较长、较短线段导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与原线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，则这个点是这条线段的黄金分割点，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AC＞BC，因此AC是线段AB的较长分割段，只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵AB=2，
∴$AC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义、线段比例计算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值为黄金比，需注意题干中给出的AC＞BC的条件，避免混淆较长、较短线段导致计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 生活情境·人体雕像 如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，则可增强视觉美感。按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（
A.1 m
B.$\sqrt{5}$ m
C.$(\sqrt{5}+1)$m
D.$(\sqrt{5}-1)$m
D
）A.1 m
B.$\sqrt{5}$ m
C.$(\sqrt{5}+1)$m
D.$(\sqrt{5}-1)$m
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先提取题干的比例关系：雕像上部高度与下部高度的比值等于下部高度与全身高度的比值，已知总高度为2m，我们可以设下部高度为未知数，用总高度表示出上部高度，代入比例关系得到方程，求解方程后结合长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到答案。
【解析】
设雕像下部的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则雕像上部（腰部以上）的高度为$ (2 - x) \, \mathrm{m} $。
根据题意可列比例式：
$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$
交叉相乘整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 × 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为高度为正数，所以舍去负根$ x = -1 - \sqrt{5} $，得$ x = \sqrt{5} - 1 $。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的雕像美感情境命题，是黄金分割的典型应用题目，解题关键是准确理解题干给出的比例关系列出方程，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题干的比例关系：雕像上部高度与下部高度的比值等于下部高度与全身高度的比值，已知总高度为2m，我们可以设下部高度为未知数，用总高度表示出上部高度，代入比例关系得到方程，求解方程后结合长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到答案。
【解析】
设雕像下部的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则雕像上部（腰部以上）的高度为$ (2 - x) \, \mathrm{m} $。
根据题意可列比例式：
$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$
交叉相乘整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 × 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为高度为正数，所以舍去负根$ x = -1 - \sqrt{5} $，得$ x = \sqrt{5} - 1 $。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的雕像美感情境命题，是黄金分割的典型应用题目，解题关键是准确理解题干给出的比例关系列出方程，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
4. 新考向·跨学科融合(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且$AB// NP$,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若$NP=2$ cm,则BC的长为
$(\sqrt{5}-1)$
cm(结果保留根号).答案
4.$(\sqrt{5}-1)$
解析
【分析】
首先观察图形，习字格为正方形，已知边长$NP=2\ \mathrm{cm}$，$AB// NP$且端点A、B分别在正方形的边MN、PQ上，根据正方形对边相等的性质可推出AB的长度等于NP的长度。再结合题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将AB的长度代入比例式即可求出BC的长。
【解析】
∵ 四边形$MNPQ$是正方形，$AB// NP$，点A在$MN$上，点B在$PQ$上，
∴ $AB = NP = 2\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 点C是AB的黄金分割点，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $BC = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)$
【知识点】
正方形的性质；黄金分割
【点评】
本题结合汉字书写结构考查黄金分割的实际应用，解题的关键是先根据正方形的性质确定AB的长度，再代入黄金分割比例计算，题型基础，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，习字格为正方形，已知边长$NP=2\ \mathrm{cm}$，$AB// NP$且端点A、B分别在正方形的边MN、PQ上，根据正方形对边相等的性质可推出AB的长度等于NP的长度。再结合题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将AB的长度代入比例式即可求出BC的长。
【解析】
∵ 四边形$MNPQ$是正方形，$AB// NP$，点A在$MN$上，点B在$PQ$上，
∴ $AB = NP = 2\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 点C是AB的黄金分割点，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $BC = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)$
【知识点】
正方形的性质；黄金分割
【点评】
本题结合汉字书写结构考查黄金分割的实际应用，解题的关键是先根据正方形的性质确定AB的长度，再代入黄金分割比例计算，题型基础，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
5. 如图，已知$△ ABC$的面积为4，点D是边BC的黄金分割点，$BD＞CD$，那么$△ ABD$的面积是
$2\sqrt{5}-2$
.(结果保留根号)答案
5.$2\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先观察△ABD和△ABC的位置关系，两个三角形过顶点A作BC的高是公共高，根据三角形面积公式可知，同高的两个三角形面积之比等于对应底边长的比，因此△ABD和△ABC的面积比等于BD与BC的长度比；②再根据黄金分割的定义，点D是BC的黄金分割点且BD＞CD，可得BD与BC的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；③最后用△ABC的面积乘以黄金比即可算出△ABD的面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AE$
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{BC}$。
∵点D是边BC的黄金分割点，且$BD＞CD$，
根据黄金分割的定义，得$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又
∵$S_{△ ABC}=4$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABC} × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=4 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割的性质；同高三角形面积与底的关系；二次根式运算
【点评】
本题考查黄金分割和三角形面积的综合应用，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合黄金分割的比值代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先观察△ABD和△ABC的位置关系，两个三角形过顶点A作BC的高是公共高，根据三角形面积公式可知，同高的两个三角形面积之比等于对应底边长的比，因此△ABD和△ABC的面积比等于BD与BC的长度比；②再根据黄金分割的定义，点D是BC的黄金分割点且BD＞CD，可得BD与BC的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；③最后用△ABC的面积乘以黄金比即可算出△ABD的面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AE$
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{BC}$。
∵点D是边BC的黄金分割点，且$BD＞CD$，
根据黄金分割的定义，得$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又
∵$S_{△ ABC}=4$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABC} × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=4 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割的性质；同高三角形面积与底的关系；二次根式运算
【点评】
本题考查黄金分割和三角形面积的综合应用，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合黄金分割的比值代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
6.已知线段MN的长为1 cm,点P是MN的黄金分割点,则MP的长是
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
.(结果保留根号)答案
6.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
解析
【分析】
解决本题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于本题没有说明MP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。
【解析】
已知线段$MN=1\mathrm{cm}$，点$P$是$MN$的黄金分割点，分两种情况计算：
1. 当$MP$为较长线段时：
根据黄金分割的性质，较长线段长度 = 原线段长度×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此$MP = 1×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$；
2. 当$MP$为较短线段时：
较长线段的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$，
因此$MP = MN - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2-\sqrt{5}+1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
【知识点】
黄金分割；线段计算；分类讨论
【点评】
本题重点考查黄金分割的概念，易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种线段长度情况导致漏解。解题时要牢记黄金分割对应的长短线段与原线段的数量关系，若题目未明确指定线段的长短属性，需分情况讨论得到所有符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于本题没有说明MP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。
【解析】
已知线段$MN=1\mathrm{cm}$，点$P$是$MN$的黄金分割点，分两种情况计算：
1. 当$MP$为较长线段时：
根据黄金分割的性质，较长线段长度 = 原线段长度×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此$MP = 1×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$；
2. 当$MP$为较短线段时：
较长线段的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$，
因此$MP = MN - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2-\sqrt{5}+1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
【知识点】
黄金分割；线段计算；分类讨论
【点评】
本题重点考查黄金分割的概念，易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种线段长度情况导致漏解。解题时要牢记黄金分割对应的长短线段与原线段的数量关系，若题目未明确指定线段的长短属性，需分情况讨论得到所有符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
7.已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，则下列各式不正确的是（
A.$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$AP^2=PB· AB$
C.$\frac{AP}{BP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C
）A.$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$AP^2=PB· AB$
C.$\frac{AP}{BP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP时，较长线段AP与全线段AB的比等于较短线段BP与较长线段AP的比，黄金比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据定义推导出AP、BP、AB三者的数量关系，再逐一验证四个选项，找出表述错误的选项即可。
【解析】
已知点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，根据黄金分割的定义可得：
1. 黄金比为$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此A选项表述正确，不符合题意；
2. 由比例关系$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2=PB·AB$，因此B选项表述正确，不符合题意；
3. 设$AB=1$，则$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$BP=AB-AP=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，因此$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，D选项表述正确，不符合题意；
4. 计算$\frac{AP}{BP}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$，分母有理化后得$\frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此C选项表述错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质；分母有理化
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题的关键是明确黄金分割中较长线段、较短线段与全线段的对应比例关系，注意不要混淆不同线段的比值。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP时，较长线段AP与全线段AB的比等于较短线段BP与较长线段AP的比，黄金比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据定义推导出AP、BP、AB三者的数量关系，再逐一验证四个选项，找出表述错误的选项即可。
【解析】
已知点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，根据黄金分割的定义可得：
1. 黄金比为$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此A选项表述正确，不符合题意；
2. 由比例关系$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2=PB·AB$，因此B选项表述正确，不符合题意；
3. 设$AB=1$，则$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$BP=AB-AP=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，因此$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，D选项表述正确，不符合题意；
4. 计算$\frac{AP}{BP}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$，分母有理化后得$\frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此C选项表述错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质；分母有理化
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题的关键是明确黄金分割中较长线段、较短线段与全线段的对应比例关系，注意不要混淆不同线段的比值。
【难度系数】
0.7
8.如图,乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$,两个端点$A,B$固定在乐器面板上,支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,则支撑点$C,D$之间的距离为
$(80\sqrt{5}-160)$
$\mathrm{cm}.$(结果保留根号)答案
8.$(80\sqrt{5}-160)$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确黄金分割的定义：若一个点把线段分成两部分，较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，分别求出较长线段AC、BD的长度，再结合线段的和差关系$AC+BD=AB+CD$，变形得到$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，
∵点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段和差规律可得$AC+BD=AB+CD$，因此：
$CD=AC+BD-AB$
代入数值计算：
$CD=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80$
$=80(\sqrt{5}-1)-80$
$=80\sqrt{5}-80-80$
$=(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
黄金分割的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于黄金分割的常规应用题，解题关键是熟记黄金分割的比值，根据点的位置准确判断较长线段和原线段的数量关系，结合线段的和差规律即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确黄金分割的定义：若一个点把线段分成两部分，较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，分别求出较长线段AC、BD的长度，再结合线段的和差关系$AC+BD=AB+CD$，变形得到$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，
∵点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段和差规律可得$AC+BD=AB+CD$，因此：
$CD=AC+BD-AB$
代入数值计算：
$CD=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80$
$=80(\sqrt{5}-1)-80$
$=80\sqrt{5}-80-80$
$=(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
黄金分割的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于黄金分割的常规应用题，解题关键是熟记黄金分割的比值，根据点的位置准确判断较长线段和原线段的数量关系，结合线段的和差规律即可求解。
【难度系数】
0.7
9.黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域,我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割.在如图所示的五角星中,$AD=BC$,且$C,D$两点都是$AB$的黄金分割点.若$AB=1$,则$CD$的长是
$\sqrt{5}-2$
.答案
9.$\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若一个点把一条线段分成两部分，使得较长线段是整条线段的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，则这个点是线段的黄金分割点。本题已知C、D都是AB的黄金分割点，AB长度为1，可先求出较长线段AC、BD的长度；再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，中间重叠部分CD被计算了2次，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可得到CD的计算式，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵C、D都是AB的黄金分割点，$AB=1$，
根据黄金分割的性质，较长线段长度为原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵$AC + BD = AB + CD$（AC与BD重叠部分为CD，相加时CD被计算2次），
∴$CD = AC + BD - AB$，
代入数值计算：
$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1=(\sqrt{5}-1)-1=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割的定义，线段和差计算
【点评】
本题重点考查黄金分割性质的应用，解题关键是熟记黄金分割的比值，准确找出线段之间的和差关系，是黄金分割相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆黄金分割的定义：若一个点把一条线段分成两部分，使得较长线段是整条线段的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍，则这个点是线段的黄金分割点。本题已知C、D都是AB的黄金分割点，AB长度为1，可先求出较长线段AC、BD的长度；再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，中间重叠部分CD被计算了2次，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可得到CD的计算式，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵C、D都是AB的黄金分割点，$AB=1$，
根据黄金分割的性质，较长线段长度为原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵$AC + BD = AB + CD$（AC与BD重叠部分为CD，相加时CD被计算2次），
∴$CD = AC + BD - AB$，
代入数值计算：
$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1=(\sqrt{5}-1)-1=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割的定义，线段和差计算
【点评】
本题重点考查黄金分割性质的应用，解题关键是熟记黄金分割的比值，准确找出线段之间的和差关系，是黄金分割相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
