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1. 圆的切线
垂直
于过切点
的半径。答案
1. 垂直 切点
解析
【分析】
这道题考查圆的切线性质定理的识记，解题时只需回忆对应的定理内容即可作答。圆的切线与圆仅有唯一公共点即切点，教材中相关性质明确规定了切线和过该切点的半径的位置关系，直接对应内容填空即可。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“垂直”，第二个空填“切点”。
【答案】
垂直 切点
【知识点】
圆的切线性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心定理的记忆掌握，熟练识记教材基础定理即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查圆的切线性质定理的识记，解题时只需回忆对应的定理内容即可作答。圆的切线与圆仅有唯一公共点即切点，教材中相关性质明确规定了切线和过该切点的半径的位置关系，直接对应内容填空即可。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“垂直”，第二个空填“切点”。
【答案】
垂直 切点
【知识点】
圆的切线性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心定理的记忆掌握，熟练识记教材基础定理即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 经过半径的
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线。答案
2. 外端 垂直
解析
【分析】
这是一道概念识记类填空题，解题核心是回忆圆的切线判定定理的内容。圆的切线判定有两个缺一不可的条件：一是直线需经过半径的外端点，若仅经过半径上除外端的其他点，哪怕和半径垂直，也不属于切线；二是直线要和这条半径互相垂直，若仅经过半径外端但不垂直，直线会和圆有两个交点，属于割线。结合这两个限定条件即可填出正确内容。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填写外端、垂直。
【答案】
外端 垂直
【知识点】
圆的切线判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对教材核心定理的识记情况，学习时要注意准确记忆定理的限定条件，避免缺漏相关要点。
【难度系数】
0.9
这是一道概念识记类填空题，解题核心是回忆圆的切线判定定理的内容。圆的切线判定有两个缺一不可的条件：一是直线需经过半径的外端点，若仅经过半径上除外端的其他点，哪怕和半径垂直，也不属于切线；二是直线要和这条半径互相垂直，若仅经过半径外端但不垂直，直线会和圆有两个交点，属于割线。结合这两个限定条件即可填出正确内容。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填写外端、垂直。
【答案】
外端 垂直
【知识点】
圆的切线判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对教材核心定理的识记情况，学习时要注意准确记忆定理的限定条件，避免缺漏相关要点。
【难度系数】
0.9
1. 如图30.1-6，OA交$\odot O$于点B，AD切$\odot O$于点D，点C在$\odot O$上。若$∠ A=40°$，则$∠ C$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
B
）。A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先根据切线的特征，优先考虑连接切点与圆心构造直角三角形：第一步，连接OD，利用切线垂直于过切点的半径得到直角△ODA；第二步，结合已知∠A的度数，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角∠AOD的度数；第三步，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵AD切$\odot O$于点D，
∴$OD⊥ AD$，即$∠ ODA=90°$。
在$Rt△ ODA$中，$∠ A=40°$，
∴$∠ AOD=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
∵$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是掌握切线的性质并正确作出连接切点和圆心的辅助线，结合圆周角定理即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先根据切线的特征，优先考虑连接切点与圆心构造直角三角形：第一步，连接OD，利用切线垂直于过切点的半径得到直角△ODA；第二步，结合已知∠A的度数，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角∠AOD的度数；第三步，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵AD切$\odot O$于点D，
∴$OD⊥ AD$，即$∠ ODA=90°$。
在$Rt△ ODA$中，$∠ A=40°$，
∴$∠ AOD=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
∵$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是掌握切线的性质并正确作出连接切点和圆心的辅助线，结合圆周角定理即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知$P$是$\odot O$上一点，用直尺和圆规过点$P$作一条直线，使它与$\odot O$相切于点$P$.以下是甲、乙二人的作法.下列判断正确的是（
图30.1-6
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确，乙不正确
D.甲不正确，乙正确
A
）.图30.1-6
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确，乙不正确
D.甲不正确，乙正确
答案
2. A
解析
【分析】
要判断两人的作法是否正确，核心依据是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需验证两人作出的直线是否垂直于半径OP即可。首先分析甲的作法：通过作图条件可推出△OAP是等边三角形，再结合AB=OP的条件，可证△OPB是直角三角形，得到PB⊥OP；再分析乙的作法：根据⊙A的半径都相等，可得到AP是△PBC的中线且等于BC的一半，由此推出△PBC是直角三角形，得到PC⊥OP，即可判断两人作法的正误。
【解析】
要判断过P的直线是否为⊙O的切线，只需证明直线垂直于半径OP即可：
1. 验证甲的作法：
由作图可知，OA=OP（⊙O的半径），PA=OP（作图时取的半径），因此OA=OP=PA，△OAP是等边三角形，故OA=AP。
又
∵AB=OP=AP，
∴AP=OA=AB，即AP是△OPB中OB边上的中线，且$AP=\frac{1}{2}OB$，根据“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形”，可得∠OPB=90°，即PB⊥OP。
∵P在⊙O上，PB⊥OP，
∴PB是⊙O的切线，甲的作法正确。
2. 验证乙的作法：
由作图可知，AB、AC、AP都是⊙A的半径，因此AB=AC=AP，即AP是△PBC中BC边上的中线，且$AP=\frac{1}{2}BC$，同理可得∠BPC=90°，即PC⊥OP。
∵P在⊙O上，PC⊥OP，
∴PC是⊙O的切线，乙的作法正确。
因此甲、乙的作法都正确。
【答案】A
【知识点】切线的判定定理；等边三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】本题考查尺规作圆的切线的原理，解题关键是抓住切线的判定核心，结合特殊三角形的性质验证所作直线与半径的垂直关系，对几何作图的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.7
要判断两人的作法是否正确，核心依据是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需验证两人作出的直线是否垂直于半径OP即可。首先分析甲的作法：通过作图条件可推出△OAP是等边三角形，再结合AB=OP的条件，可证△OPB是直角三角形，得到PB⊥OP；再分析乙的作法：根据⊙A的半径都相等，可得到AP是△PBC的中线且等于BC的一半，由此推出△PBC是直角三角形，得到PC⊥OP，即可判断两人作法的正误。
【解析】
要判断过P的直线是否为⊙O的切线，只需证明直线垂直于半径OP即可：
1. 验证甲的作法：
由作图可知，OA=OP（⊙O的半径），PA=OP（作图时取的半径），因此OA=OP=PA，△OAP是等边三角形，故OA=AP。
又
∵AB=OP=AP，
∴AP=OA=AB，即AP是△OPB中OB边上的中线，且$AP=\frac{1}{2}OB$，根据“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形”，可得∠OPB=90°，即PB⊥OP。
∵P在⊙O上，PB⊥OP，
∴PB是⊙O的切线，甲的作法正确。
2. 验证乙的作法：
由作图可知，AB、AC、AP都是⊙A的半径，因此AB=AC=AP，即AP是△PBC中BC边上的中线，且$AP=\frac{1}{2}BC$，同理可得∠BPC=90°，即PC⊥OP。
∵P在⊙O上，PC⊥OP，
∴PC是⊙O的切线，乙的作法正确。
因此甲、乙的作法都正确。
【答案】A
【知识点】切线的判定定理；等边三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】本题考查尺规作圆的切线的原理，解题关键是抓住切线的判定核心，结合特殊三角形的性质验证所作直线与半径的垂直关系，对几何作图的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.7
