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11. 如图30.1-4，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作$\odot A$.
（1）当半径r为何值时，$\odot A$与直线BC相切？
（2）当半径r为何值时，$\odot A$与直线BD相切？
（3）当半径r的取值范围是多少时，$\odot A$与直线BC相交且与直线CD相离？
图30.1-4
（1）当半径r为何值时，$\odot A$与直线BC相切？
（2）当半径r为何值时，$\odot A$与直线BD相切？
（3）当半径r的取值范围是多少时，$\odot A$与直线BC相交且与直线CD相离？
图30.1-4
答案
11. 解：(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=90°.
∴AB⊥BC，AD⊥DC.
∵圆心A到BC边的距离为AB=3，⊙A与直线BC相切，
∴r=AB=3.
∴当半径r为3时，⊙A与直线BC相切.
(2) 如图，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
又$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD · AE=\frac{1}{2}AB · AD$，
∴圆心A到BD边的距离为$AE=\frac{12}{5}=2.4$.
又⊙A与直线BD相切，
∴r=AE=2.4.
∴当半径r为2.4时，⊙A与直线BD相切.
(3)
∵⊙A与直线BC相交，圆心A到BC边的距离为AB=3，
∴r＞3.
又⊙A与直线CD相离，圆心A到CD边的距离为AD=4，
∴r＜4.
∴当半径r的取值范围为3＜r＜4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离.
解析
【分析】
本题是直线与圆位置关系的应用类题目，解题核心是利用“圆心到直线的距离d与半径r的大小关系”判定位置关系：d=r时相切，d＜r时相交，d＞r时相离。解题思路如下：①第一问先利用矩形邻边垂直的性质，得到点A到直线BC的距离为AB的长，结合相切的条件即可求出r；②第二问先过点A作BD的垂线，先用勾股定理求出BD的长度，再用三角形等面积法求出垂线段的长度（即点A到BD的距离），结合相切条件得到r的值；③第三问分别求出点A到BC、CD的距离，结合相交、相离的判定条件列不等式，联立即可得到r的取值范围。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC。
∵圆心A到BC边的距离为AB=3，且$\odot A$与直线BC相切，
∴r=AB=3。
(2) 连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E。
在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AE$，也可表示为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·AD$，
∴$\frac{1}{2}BD·AE=\frac{1}{2}AB·AD$，解得$AE=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$，即圆心A到直线BD的距离为2.4。
∵$\odot A$与直线BD相切，
∴r=AE=2.4。
(3)
∵$\odot A$与直线BC相交，圆心A到BC的距离为3，
∴r＞3。
又
∵$\odot A$与直线CD相离，圆心A到CD的距离为AD=4，
∴r＜4。
联立两个不等式即可得到r的取值范围。
【答案】
(1) 当半径r为3时，$\odot A$与直线BC相切；
(2) 当半径r为2.4（或$\frac{12}{5}$）时，$\odot A$与直线BD相切，辅助线如下图：
(3) 当半径r的取值范围为$3＜r＜4$时，$\odot A$与直线BC相交且与直线CD相离。
【知识点】
直线与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查直线与圆位置关系的判定，解题时要准确找到圆心到对应直线的距离，结合d和r的大小关系列式即可，其中用等面积法求垂线段长度是几何中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题是直线与圆位置关系的应用类题目，解题核心是利用“圆心到直线的距离d与半径r的大小关系”判定位置关系：d=r时相切，d＜r时相交，d＞r时相离。解题思路如下：①第一问先利用矩形邻边垂直的性质，得到点A到直线BC的距离为AB的长，结合相切的条件即可求出r；②第二问先过点A作BD的垂线，先用勾股定理求出BD的长度，再用三角形等面积法求出垂线段的长度（即点A到BD的距离），结合相切条件得到r的值；③第三问分别求出点A到BC、CD的距离，结合相交、相离的判定条件列不等式，联立即可得到r的取值范围。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC。
∵圆心A到BC边的距离为AB=3，且$\odot A$与直线BC相切，
∴r=AB=3。
(2) 连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E。
在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AE$，也可表示为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·AD$，
∴$\frac{1}{2}BD·AE=\frac{1}{2}AB·AD$，解得$AE=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$，即圆心A到直线BD的距离为2.4。
∵$\odot A$与直线BD相切，
∴r=AE=2.4。
(3)
∵$\odot A$与直线BC相交，圆心A到BC的距离为3，
∴r＞3。
又
∵$\odot A$与直线CD相离，圆心A到CD的距离为AD=4，
∴r＜4。
联立两个不等式即可得到r的取值范围。
【答案】
(1) 当半径r为3时，$\odot A$与直线BC相切；
(2) 当半径r为2.4（或$\frac{12}{5}$）时，$\odot A$与直线BD相切，辅助线如下图：
(3) 当半径r的取值范围为$3＜r＜4$时，$\odot A$与直线BC相交且与直线CD相离。
【知识点】
直线与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查直线与圆位置关系的判定，解题时要准确找到圆心到对应直线的距离，结合d和r的大小关系列式即可，其中用等面积法求垂线段长度是几何中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12. 如图30.1-5，∠AOB=30°，点M在OB上，且OM=5 cm，以M为圆心、r为半径作圆.
（1）讨论射线OA与⊙M的公共点个数，并写出r对应的取值范围；
（2）若C是OA上一点，$OC=5\sqrt{3} cm$，当r＞5 cm时，求线段OC与⊙M的公共点个数.
（1）讨论射线OA与⊙M的公共点个数，并写出r对应的取值范围；
（2）若C是OA上一点，$OC=5\sqrt{3} cm$，当r＞5 cm时，求线段OC与⊙M的公共点个数.
答案
12. （1） 作MN⊥OA，垂足为N.
∵∠AOB=30°，OM=5 cm，
∴点M到射线OA的距离d = MN = $\frac{1}{2}OM=2.5$ cm.
∴当r=2.5 cm时，⊙M与射线OA只有一个公共点；
当0 cm＜r＜2.5 cm时，⊙M与射线OA没有公共点；
当2.5 cm＜r≤5 cm时，⊙M与射线OA有两个公共点；
当r＞5 cm时，⊙M与射线OA只有一个公共点.
（2） 连接CM.
在Rt△OMN中，由勾股定理，得ON=$\sqrt{OM^2-MN^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$(cm).
∵OC=5√3 cm，
∴ON=CN.
∴CM=OM=5 cm.
∴当r＞5 cm时，线段OC与⊙M的公共点个数为0.
解析
【分析】
（1）判断射线OA与⊙M的公共点个数，首先需求出圆心M到直线OA的距离，利用直角三角形30°角的性质可算出该距离，再结合射线仅向OA一侧延伸的特性，分情况比较半径r与该距离、OM长度的大小关系，即可得到不同r对应的公共点个数。
（2）先通过勾股定理计算ON的长度，判断N为OC中点，结合垂直平分线的性质得到CM的长度，再分析r＞5cm时⊙M与线段OC的交点位置，最终得到公共点个数。
【解析】
（1）过点M作MN⊥OA，垂足为N。
∵∠AOB=30°，OM=5 cm，
在Rt△OMN中，30°角所对直角边为斜边的一半，
∴圆心M到直线OA的距离$d = MN = \frac{1}{2}OM=2.5$ cm。
分情况讨论：
①当$0\ \mathrm{cm}＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时，$d＞r$，⊙M与直线OA相离，和射线OA无公共点；
②当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，⊙M与直线OA相切，切点在射线OA上，和射线OA有1个公共点；
③当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，且点O在圆上或圆外，⊙M和射线OA有2个公共点；
④当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，且点O在圆内，直线OA与圆的两个交点仅有1个在射线OA上，故和射线OA有1个公共点。
（2）连接CM。
在Rt△OMN中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OM^2-MN^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵$OC=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$CN=OC-ON=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即$ON=CN$。
又
∵MN⊥OA，
∴MN是OC的垂直平分线，
∴$CM=OM=5\ \mathrm{cm}$。
当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，直线OA与⊙M的两个交点到N的距离为$\sqrt{r^2-2.5^2}＞\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即两个交点分别在O点左侧、C点右侧，均不在线段OC上，故线段OC与⊙M的公共点个数为0。
【答案】
（1）当0 cm＜r＜2.5 cm时，没有公共点；当r=2.5 cm时，1个公共点；当2.5 cm＜r≤5 cm时，2个公共点；当r＞5 cm时，1个公共点。
（2）公共点个数为0。
【知识点】
直线与圆的位置关系，30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判断，解题时要注意区分直线、射线、线段与圆相交的差异，不能仅依靠圆心到直线的距离判断，还要结合图形范围分析交点是否落在对应图形上，需做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.65
（1）判断射线OA与⊙M的公共点个数，首先需求出圆心M到直线OA的距离，利用直角三角形30°角的性质可算出该距离，再结合射线仅向OA一侧延伸的特性，分情况比较半径r与该距离、OM长度的大小关系，即可得到不同r对应的公共点个数。
（2）先通过勾股定理计算ON的长度，判断N为OC中点，结合垂直平分线的性质得到CM的长度，再分析r＞5cm时⊙M与线段OC的交点位置，最终得到公共点个数。
【解析】
（1）过点M作MN⊥OA，垂足为N。
∵∠AOB=30°，OM=5 cm，
在Rt△OMN中，30°角所对直角边为斜边的一半，
∴圆心M到直线OA的距离$d = MN = \frac{1}{2}OM=2.5$ cm。
分情况讨论：
①当$0\ \mathrm{cm}＜r＜2.5\ \mathrm{cm}$时，$d＞r$，⊙M与直线OA相离，和射线OA无公共点；
②当$r=2.5\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，⊙M与直线OA相切，切点在射线OA上，和射线OA有1个公共点；
③当$2.5\ \mathrm{cm}＜r≤5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，且点O在圆上或圆外，⊙M和射线OA有2个公共点；
④当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，$d＜r$，且点O在圆内，直线OA与圆的两个交点仅有1个在射线OA上，故和射线OA有1个公共点。
（2）连接CM。
在Rt△OMN中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OM^2-MN^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵$OC=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$CN=OC-ON=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即$ON=CN$。
又
∵MN⊥OA，
∴MN是OC的垂直平分线，
∴$CM=OM=5\ \mathrm{cm}$。
当$r＞5\ \mathrm{cm}$时，直线OA与⊙M的两个交点到N的距离为$\sqrt{r^2-2.5^2}＞\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，即两个交点分别在O点左侧、C点右侧，均不在线段OC上，故线段OC与⊙M的公共点个数为0。
【答案】
（1）当0 cm＜r＜2.5 cm时，没有公共点；当r=2.5 cm时，1个公共点；当2.5 cm＜r≤5 cm时，2个公共点；当r＞5 cm时，1个公共点。
（2）公共点个数为0。
【知识点】
直线与圆的位置关系，30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判断，解题时要注意区分直线、射线、线段与圆相交的差异，不能仅依靠圆心到直线的距离判断，还要结合图形范围分析交点是否落在对应图形上，需做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.65
