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1. (★)计算下列多项式的积：
(1)$(x+1)^2$；
(2)$(m+2)^2$；
(3)$(a-3)^2$；
(4)$(b-4)^2$。
(1)$(x+1)^2$；
(2)$(m+2)^2$；
(3)$(a-3)^2$；
(4)$(b-4)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
(2) 原式$=m^2 + 2· m· 2 + 2^2 = m^2 + 4m + 4$
(3) 原式$=a^2 - 2· a· 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$
(4) 原式$=b^2 - 2· b· 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
(2) 原式$=m^2 + 2· m· 2 + 2^2 = m^2 + 4m + 4$
(3) 原式$=a^2 - 2· a· 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$
(4) 原式$=b^2 - 2· b· 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$
2. (★)观察第1题中四个式子及运算结果,用式子表示你发现的规律为.也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们的,加上(或减去)它们的积的.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
答案
解：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
平方和
2倍
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
平方和
2倍
3. (★)如图,边长为a的大正方形去掉阴影部分后得到一个小正方形,我们可以用两种方法表示出
(第3题)
空白部分的面积,从而验证公式的正确性.
(第3题)空白部分的面积,从而验证公式的正确性.
答案
解：
方法1：空白部分是边长为$a - b$的正方形，因此空白部分的面积可表示为$(a - b)^2$。
方法2：空白部分的面积等于边长为$a$的大正方形的面积减去所有阴影部分的面积，大正方形面积为$a^2$，阴影部分面积和为$ab + b(a - b) = 2ab - b^2$，因此空白部分的面积可表示为$a^2 - 2ab + b^2$。
两种方法表示的是同一空白部分的面积，因此验证公式：
$\boldsymbol{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
方法1：空白部分是边长为$a - b$的正方形，因此空白部分的面积可表示为$(a - b)^2$。
方法2：空白部分的面积等于边长为$a$的大正方形的面积减去所有阴影部分的面积，大正方形面积为$a^2$，阴影部分面积和为$ab + b(a - b) = 2ab - b^2$，因此空白部分的面积可表示为$a^2 - 2ab + b^2$。
两种方法表示的是同一空白部分的面积，因此验证公式：
$\boldsymbol{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
4. (★)用“=”或“≠”填空：
$(a+b)^2$ ______ $(-a-b)^2$；$(a-b)^2$ ______ $(b-a)^2$；$(a-b)^2$ ______ $a^2-b^2$.
$(a+b)^2$ ______ $(-a-b)^2$；$(a-b)^2$ ______ $(b-a)^2$；$(a-b)^2$ ______ $a^2-b^2$.
答案
解：
$\because (-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2$，
$\therefore (a+b)^2 \boldsymbol{=} (-a-b)^2$；
$\because (b-a)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，
$\therefore (a-b)^2 \boldsymbol{=} (b-a)^2$；
$\because (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2 ≠ a^2-b^2$，
$\therefore (a-b)^2 \boldsymbol{≠} a^2-b^2$。
答案依次为：$=$；$=$；$≠$。
$\because (-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2$，
$\therefore (a+b)^2 \boldsymbol{=} (-a-b)^2$；
$\because (b-a)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，
$\therefore (a-b)^2 \boldsymbol{=} (b-a)^2$；
$\because (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2 ≠ a^2-b^2$，
$\therefore (a-b)^2 \boldsymbol{≠} a^2-b^2$。
答案依次为：$=$；$=$；$≠$。
5. (★)下列各式与$(a-1)^2$相等的是 【 】
A.$a^2 -1$
B.$a^2 -2a +1$
C.$a^2 -2a -1$
D.$a^2 +2a +1$
A.$a^2 -1$
B.$a^2 -2a +1$
C.$a^2 -2a -1$
D.$a^2 +2a +1$
答案
B
解析
根据完全平方差公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$x=a$，$y=1$代入公式，可得$(a-1)^2=a^2-2· a·1 +1^2=a^2-2a+1$，对比各选项得出结果。
6. (★)下列等式成立的是 【 】
A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(x-y)^2 = x^2 - y^2$
C.$(x-2y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
D.$( \frac{1}{2}x - y )^2 = \frac{1}{4}x^2 - xy + y^2$
A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(x-y)^2 = x^2 - y^2$
C.$(x-2y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
D.$( \frac{1}{2}x - y )^2 = \frac{1}{4}x^2 - xy + y^2$
答案
D
解析
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一验证选项：
A.$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\ne x^2+y^2$，等式不成立；
B.$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\ne x^2-y^2$，等式不成立；
C.$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\ne x^2-2xy+y^2$，等式不成立；
D.$(\frac{1}{2}x-y)^2=(\frac{1}{2}x)^2-2·\frac{1}{2}x· y + y^2=\frac{1}{4}x^2-xy+y^2$，等式成立。
A.$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\ne x^2+y^2$，等式不成立；
B.$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\ne x^2-y^2$，等式不成立；
C.$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\ne x^2-2xy+y^2$，等式不成立；
D.$(\frac{1}{2}x-y)^2=(\frac{1}{2}x)^2-2·\frac{1}{2}x· y + y^2=\frac{1}{4}x^2-xy+y^2$，等式成立。
7. (★)下列图形阴影部分的面积能够直观地解释$(x-1)^2=x^2-2x+1$的是 【 】
答案
$\boldsymbol{A}$
解析
解：
分别计算各选项阴影部分的面积：
选项A：阴影部分是边长为$(x-1)$的正方形，面积为$(x-1)^2$；同时该阴影面积也可由边长为$x$的大正方形面积，减去长为$x$宽为$1$的两个长方形面积，再加回被重复减去的边长为$1$的小正方形面积得到，即$x^2 - 2x + 1$，符合等式$(x-1)^2=x^2-2x+1$。
选项B：阴影部分是边长为$x$的正方形，面积为$x^2$，大正方形边长为$x+1$，可解释$(x+1)^2=x^2+2x+1$，不符合要求。
选项C：阴影部分面积为$1· x + 1·(x-1)=2x-1$，不符合等式。
选项D：阴影部分面积为$1· x + 1· x - 1·1=2x-1$，不符合等式。
分别计算各选项阴影部分的面积：
选项A：阴影部分是边长为$(x-1)$的正方形，面积为$(x-1)^2$；同时该阴影面积也可由边长为$x$的大正方形面积，减去长为$x$宽为$1$的两个长方形面积，再加回被重复减去的边长为$1$的小正方形面积得到，即$x^2 - 2x + 1$，符合等式$(x-1)^2=x^2-2x+1$。
选项B：阴影部分是边长为$x$的正方形，面积为$x^2$，大正方形边长为$x+1$，可解释$(x+1)^2=x^2+2x+1$，不符合要求。
选项C：阴影部分面积为$1· x + 1·(x-1)=2x-1$，不符合等式。
选项D：阴影部分面积为$1· x + 1· x - 1·1=2x-1$，不符合等式。
