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8. (★★)运用完全平方公式计算:
(1) $(3+5p)^2$；
(2) $(7x-2)^2$；
(3) $(-2a-5)^2$；
(4) $(-2x+3y)^2$；
(5) $101^2$.
(1) $(3+5p)^2$；
(2) $(7x-2)^2$；
(3) $(-2a-5)^2$；
(4) $(-2x+3y)^2$；
(5) $101^2$.
答案
解：
(1) 原式$=3^2 + 2×3×5p + (5p)^2$
$=9 + 30p + 25p^2$
$=25p^2 + 30p + 9$
(2) 原式$=(7x)^2 - 2×7x×2 + 2^2$
$=49x^2 - 28x + 4$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2×(-2a)×(-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2×(-2x)×3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
(5) 原式$=(100+1)^2$
$=100^2 + 2×100×1 + 1^2$
$=10000 + 200 + 1$
$=10201$
(1) 原式$=3^2 + 2×3×5p + (5p)^2$
$=9 + 30p + 25p^2$
$=25p^2 + 30p + 9$
(2) 原式$=(7x)^2 - 2×7x×2 + 2^2$
$=49x^2 - 28x + 4$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2×(-2a)×(-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2×(-2x)×3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
(5) 原式$=(100+1)^2$
$=100^2 + 2×100×1 + 1^2$
$=10000 + 200 + 1$
$=10201$
9. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$(-x-y)^2 = -x^2 -2xy -y^2$
B.$(m+2n)^2 = m^2 +4n^2$
C.$(-3x+y)^2 = 3x^2 -6xy + y^2$
D.$(\frac{1}{2}x +5)^2 = \frac{1}{4}x^2 +5x +25$
A.$(-x-y)^2 = -x^2 -2xy -y^2$
B.$(m+2n)^2 = m^2 +4n^2$
C.$(-3x+y)^2 = 3x^2 -6xy + y^2$
D.$(\frac{1}{2}x +5)^2 = \frac{1}{4}x^2 +5x +25$
答案
D
解析
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一验证：
1. 验证A：$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，计算错误。
2. 验证B：$(m+2n)^2=m^2+2· m·2n+(2n)^2=m^2+4mn+4n^2$，计算错误。
3. 验证C：$(-3x+y)^2=(-3x)^2+2·(-3x)· y+y^2=9x^2-6xy+y^2$，计算错误。
4. 验证D：$(\frac{1}{2}x+5)^2=(\frac{1}{2}x)^2+2·\frac{1}{2}x·5+5^2=\frac{1}{4}x^2+5x+25$，计算正确。
1. 验证A：$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，计算错误。
2. 验证B：$(m+2n)^2=m^2+2· m·2n+(2n)^2=m^2+4mn+4n^2$，计算错误。
3. 验证C：$(-3x+y)^2=(-3x)^2+2·(-3x)· y+y^2=9x^2-6xy+y^2$，计算错误。
4. 验证D：$(\frac{1}{2}x+5)^2=(\frac{1}{2}x)^2+2·\frac{1}{2}x·5+5^2=\frac{1}{4}x^2+5x+25$，计算正确。
10. (★★)一个长方形的长和宽分别为a，b，若$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 27$，则该长方形的面积为
【 】
A.10
B.11
C.12
D.13
【 】
A.10
B.11
C.12
D.13
答案
D
解析
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a-b=1$，$a^2+b^2=27$代入公式，得$1^2=27-2ab$，整理得$1=27-2ab$，解得$ab=13$。长方形的面积为长乘宽，即$ab$，因此该长方形的面积为13。
11. (★★)如图,小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片拼成图②所示的图形,则根据图②的面积关系能验证的恒等式为【 】
A.$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
B.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
C.$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
D.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
A.$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
B.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
C.$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
D.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
答案
B
解析
图②的大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；内部空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4张长为$a$、宽为$b$的长方形卡片的总面积为$4ab$。根据大正方形面积等于内部小正方形面积与4个长方形面积之和，可得恒等式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
12. (★★)计算：
(1)$(y+\frac{1}{2})^2 =$ ；
(2)$(-2x-1)^2 =$ 。
(1)$(y+\frac{1}{2})^2 =$ ；
(2)$(-2x-1)^2 =$ 。
答案
(1) $\boldsymbol{y^2 + y + \dfrac{1}{4}}$；
(2) $\boldsymbol{4x^2 + 4x + 1}$。
(2) $\boldsymbol{4x^2 + 4x + 1}$。
解析
解：
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(y+\frac{1}{2})^2&=y^2 + 2· y·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\\&=y^2 + y + \frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 先变形得$(-2x-1)^2=[-(2x+1)]^2=(2x+1)^2$，再由完全平方公式得
$\begin{aligned}(-2x-1)^2&=(2x+1)^2\\&=(2x)^2 + 2· 2x·1 + 1^2\\&=4x^2 + 4x + 1\end{aligned}$
最终
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(y+\frac{1}{2})^2&=y^2 + 2· y·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\\&=y^2 + y + \frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 先变形得$(-2x-1)^2=[-(2x+1)]^2=(2x+1)^2$，再由完全平方公式得
$\begin{aligned}(-2x-1)^2&=(2x+1)^2\\&=(2x)^2 + 2· 2x·1 + 1^2\\&=4x^2 + 4x + 1\end{aligned}$
最终
13. (★★)运用完全平方公式计算：
(1) $(-a+2b)^2$；
(2) $(3x-2y)^2$；
(3) $(-2m-3n)^2$；
(4) $(x-2y)^2$。
(1) $(-a+2b)^2$；
(2) $(3x-2y)^2$；
(3) $(-2m-3n)^2$；
(4) $(x-2y)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(2b - a)^2$
$=(2b)^2 - 2· 2b· a + a^2$
$=4b^2 - 4ab + a^2$
$=a^2 - 4ab + 4b^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2· 3x· 2y + (2y)^2$
$=9x^2 - 12xy + 4y^2$
(3) 原式$=[-(2m + 3n)]^2$
$=(2m + 3n)^2$
$=(2m)^2 + 2· 2m· 3n + (3n)^2$
$=4m^2 + 12mn + 9n^2$
(4) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=x^2 - 4xy + 4y^2$
(1) 原式$=(2b - a)^2$
$=(2b)^2 - 2· 2b· a + a^2$
$=4b^2 - 4ab + a^2$
$=a^2 - 4ab + 4b^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2· 3x· 2y + (2y)^2$
$=9x^2 - 12xy + 4y^2$
(3) 原式$=[-(2m + 3n)]^2$
$=(2m + 3n)^2$
$=(2m)^2 + 2· 2m· 3n + (3n)^2$
$=4m^2 + 12mn + 9n^2$
(4) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=x^2 - 4xy + 4y^2$
