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14. (★★)运用乘法公式计算：
(1) $(3x+y)(3x-y)-(3x-y)^2$；
(2) $[(2x-y)(2x+y)]^2$；
(3) $(\frac{x}{4}+5)^2 - (\frac{x}{4}-5)^2$；
(4) $(a+3b)^2 - 2(a+3b)(a-3b) + (a-3b)^2$。
(1) $(3x+y)(3x-y)-(3x-y)^2$；
(2) $[(2x-y)(2x+y)]^2$；
(3) $(\frac{x}{4}+5)^2 - (\frac{x}{4}-5)^2$；
(4) $(a+3b)^2 - 2(a+3b)(a-3b) + (a-3b)^2$。
答案
解：
(1) 原式 = $(9x^2 - y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)$
$= 9x^2 - y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2$
$= 6xy - 2y^2$
(2) 原式 = $(4x^2 - y^2)^2$
$= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$
(3) 原式 = $[(\frac{x}{4}+5) + (\frac{x}{4}-5)] · [(\frac{x}{4}+5) - (\frac{x}{4}-5)]$
$= \frac{x}{2} × 10$
$= 5x$
(4) 原式 = $[(a+3b) - (a-3b)]^2$
$= (6b)^2$
$= 36b^2$
(1) 原式 = $(9x^2 - y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)$
$= 9x^2 - y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2$
$= 6xy - 2y^2$
(2) 原式 = $(4x^2 - y^2)^2$
$= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$
(3) 原式 = $[(\frac{x}{4}+5) + (\frac{x}{4}-5)] · [(\frac{x}{4}+5) - (\frac{x}{4}-5)]$
$= \frac{x}{2} × 10$
$= 5x$
(4) 原式 = $[(a+3b) - (a-3b)]^2$
$= (6b)^2$
$= 36b^2$
解析
【分析】
本题考查乘法公式在整式化简中的应用，解题前需牢记平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，解题时先观察每道小题的式子结构，选择对应公式计算：
(1) 前半部分符合平方差公式结构，后半部分是完全平方的形式，分别套用两个公式展开后，再去括号合并同类项即可；
(2) 中括号内的乘积符合平方差公式，先算括号内的结果，再对结果套用完全平方公式计算；
(3) 式子是两个平方的差，可直接逆用平方差公式，转化为两个式子的和乘两个式子的差，简化计算；
(4) 式子符合完全平方差公式的逆用形式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，把$a+3b$看作$m$，$a-3b$看作$n$，先算$m-n$再平方，比分别展开计算更简便。
【解析】
(1) 分别套用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(9x^2 - y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\\&= 9x^2 - y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\\&= 6xy - 2y^2\end{aligned}$
(2) 先算括号内的平方差，再对结果套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 - y^2)^2\\&= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(3) 逆用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&= [(\frac{x}{4}+5) + (\frac{x}{4}-5)] · [(\frac{x}{4}+5) - (\frac{x}{4}-5)]\\&= \frac{x}{2} × 10\\&= 5x\end{aligned}$
(4) 逆用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&= [(a+3b) - (a-3b)]^2\\&= (6b)^2\\&= 36b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $6xy-2y^2$；(2) $16x^4-8x^2y^2+y^4$；(3) $5x$；(4) $36b^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是熟练掌握乘法公式的正用与逆用，解题时优先观察式子结构，选择合适的公式可大幅简化计算过程，同时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.75
本题考查乘法公式在整式化简中的应用，解题前需牢记平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，解题时先观察每道小题的式子结构，选择对应公式计算：
(1) 前半部分符合平方差公式结构，后半部分是完全平方的形式，分别套用两个公式展开后，再去括号合并同类项即可；
(2) 中括号内的乘积符合平方差公式，先算括号内的结果，再对结果套用完全平方公式计算；
(3) 式子是两个平方的差，可直接逆用平方差公式，转化为两个式子的和乘两个式子的差，简化计算；
(4) 式子符合完全平方差公式的逆用形式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，把$a+3b$看作$m$，$a-3b$看作$n$，先算$m-n$再平方，比分别展开计算更简便。
【解析】
(1) 分别套用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(9x^2 - y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\\&= 9x^2 - y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\\&= 6xy - 2y^2\end{aligned}$
(2) 先算括号内的平方差，再对结果套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 - y^2)^2\\&= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(3) 逆用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&= [(\frac{x}{4}+5) + (\frac{x}{4}-5)] · [(\frac{x}{4}+5) - (\frac{x}{4}-5)]\\&= \frac{x}{2} × 10\\&= 5x\end{aligned}$
(4) 逆用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&= [(a+3b) - (a-3b)]^2\\&= (6b)^2\\&= 36b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $6xy-2y^2$；(2) $16x^4-8x^2y^2+y^4$；(3) $5x$；(4) $36b^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是熟练掌握乘法公式的正用与逆用，解题时优先观察式子结构，选择合适的公式可大幅简化计算过程，同时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.75
15. (★★★)如图,两个正方形的边长分别为$a$,$b$,已知$a+b=7$,$ab=9$,则阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{11}$
解析
【分析】
本题可采用“整体减空白”的思路求解阴影面积：首先阴影为不规则图形，先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积，得到阴影面积的代数式；再利用完全平方公式的变形，将已知的$a+b$、$ab$整体代入计算，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算步骤。
【解析】
阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白直角三角形的面积：
1. 写出各部分面积表达式：
大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$；
右上角空白三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$；
左下角空白三角形的面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
2. 推导并化简阴影面积的代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
3. 结合完全平方公式变形代入计算：
根据完全平方公式可得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，将$a+b=7$，$ab=9$代入得：
$a^2 + b^2=7^2 - 2×9=49-18=31$
再将$a^2 + b^2=31$、$ab=9$代入阴影面积公式：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{1}{2}×(31 - 9)=\frac{1}{2}×22=11$
【答案】
$\boldsymbol{11}$
【知识点】
完全平方公式变形，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的典型习题，解题核心是通过割补法转化不规则图形的面积，再利用完全平方公式的变形整体代入计算，避免了单独求解$a$、$b$的繁琐过程，能有效考查学生对乘法公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65
本题可采用“整体减空白”的思路求解阴影面积：首先阴影为不规则图形，先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积，得到阴影面积的代数式；再利用完全平方公式的变形，将已知的$a+b$、$ab$整体代入计算，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算步骤。
【解析】
阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白直角三角形的面积：
1. 写出各部分面积表达式：
大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$；
右上角空白三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$；
左下角空白三角形的面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
2. 推导并化简阴影面积的代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
3. 结合完全平方公式变形代入计算：
根据完全平方公式可得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，将$a+b=7$，$ab=9$代入得：
$a^2 + b^2=7^2 - 2×9=49-18=31$
再将$a^2 + b^2=31$、$ab=9$代入阴影面积公式：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{1}{2}×(31 - 9)=\frac{1}{2}×22=11$
【答案】
$\boldsymbol{11}$
【知识点】
完全平方公式变形，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的典型习题，解题核心是通过割补法转化不规则图形的面积，再利用完全平方公式的变形整体代入计算，避免了单独求解$a$、$b$的繁琐过程，能有效考查学生对乘法公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65
16. (★★★)(1)已知$x+\frac{1}{x}=3$，则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值为；
(2)已知$x+y=5,xy=4$，则$x-y$的值为。
(2)已知$x+y=5,xy=4$，则$x-y$的值为。
答案
(1) $\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{\pm3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知$x+\frac{1}{x}$的值，要求$x^2+\frac{1}{x^2}$，可利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知等式两边同时平方，展开后通过移项即可求出目标式的值；
(2) 已知$x+y$和$xy$的值，要求$x-y$，可先推导$(x-y)^2$与$(x+y)^2$、$xy$的关系：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入数值先求出$(x-y)^2$，再开平方即可得到$x-y$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 将$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$
化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$
移项计算得：$x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$
(2) 根据完全平方公式的变形可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-4xy=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=5$，$xy=4$代入上式：
$(x-y)^2=5^2 - 4×4=25-16=9$
因为9的平方根为$\pm3$，所以$x-y=\pm3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{\pm3}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、平方根运算
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，重点考查完全平方公式的变形技巧，第二问需注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知$x+\frac{1}{x}$的值，要求$x^2+\frac{1}{x^2}$，可利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知等式两边同时平方，展开后通过移项即可求出目标式的值；
(2) 已知$x+y$和$xy$的值，要求$x-y$，可先推导$(x-y)^2$与$(x+y)^2$、$xy$的关系：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入数值先求出$(x-y)^2$，再开平方即可得到$x-y$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 将$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=9$
化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$
移项计算得：$x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$
(2) 根据完全平方公式的变形可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-4xy=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=5$，$xy=4$代入上式：
$(x-y)^2=5^2 - 4×4=25-16=9$
因为9的平方根为$\pm3$，所以$x-y=\pm3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{\pm3}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、平方根运算
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，重点考查完全平方公式的变形技巧，第二问需注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
