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10. (★★)如图,在平面直角坐标系中, A(3,4),B(4,2),C(1,1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁沿y轴向下平移5个单位长度后得到的△A₂B₂C₂;
(3)若线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,则对应的点M₂的坐标是.
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁沿y轴向下平移5个单位长度后得到的△A₂B₂C₂;
(3)若线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,则对应的点M₂的坐标是.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1(-3,4)$，$B_1(-4,2)$，$C_1(-1,1)$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别将点$A_1$、$B_1$、$C_1$沿y轴向下平移5个单位长度，得到点$A_2(-3,-1)$，$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-4)$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 点$M(a,b)$关于y轴对称后，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到对应点坐标为$(-a,b)$；再沿y轴向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减5，因此点$M_2$的坐标是$\boldsymbol{(-a, b-5)}$。
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1(-3,4)$，$B_1(-4,2)$，$C_1(-1,1)$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别将点$A_1$、$B_1$、$C_1$沿y轴向下平移5个单位长度，得到点$A_2(-3,-1)$，$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-4)$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 点$M(a,b)$关于y轴对称后，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到对应点坐标为$(-a,b)$；再沿y轴向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减5，因此点$M_2$的坐标是$\boldsymbol{(-a, b-5)}$。
11. (★)若点$A(a,2 026)$与点$B(2 027,b)$关于$x$轴对称，则$a+b$的值为 【 】
A.1
B.-1
C.2
D.-2
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
A
解析
根据关于x轴对称的点的坐标性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数。已知点$A(a,2026)$与点$B(2027,b)$关于x轴对称，可得$a=2027$，$b=-2026$，因此$a+b=2027+(-2026)=1$。
12. (★)若A,B两点关于x轴对称,则下列说法正确的是
【 】
A.线段$AB// x$轴
B.线段$AB⊥ y$轴
C.线段AB垂直平分x轴
D.x轴垂直平分线段AB
【 】
A.线段$AB// x$轴
B.线段$AB⊥ y$轴
C.线段AB垂直平分x轴
D.x轴垂直平分线段AB
答案
D
解析
根据关于x轴对称的点的性质：若两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，对称轴是对应点连线的垂直平分线。逐一判断选项：
1. 选项A：线段AB平行于y轴，不平行于x轴，错误；
2. 选项B：线段AB平行于y轴，不垂直于y轴，错误；
3. 选项C：x轴是无限延伸的直线，线段AB无法平分x轴，错误；
4. 选项D：由轴对称的性质，x轴是点A、B的对称轴，因此x轴垂直平分线段AB，正确。
1. 选项A：线段AB平行于y轴，不平行于x轴，错误；
2. 选项B：线段AB平行于y轴，不垂直于y轴，错误；
3. 选项C：x轴是无限延伸的直线，线段AB无法平分x轴，错误；
4. 选项D：由轴对称的性质，x轴是点A、B的对称轴，因此x轴垂直平分线段AB，正确。
13. (★★)若点$P(a+1,2-2a)$关于$x$轴的对称点在第四象限,则$a$的取值范围是【 】
A.$a＞1$
B.$a＜-1$
C.$-1＜a＜1$
D.$-1≤ a≤1$
A.$a＞1$
B.$a＜-1$
C.$-1＜a＜1$
D.$-1≤ a≤1$
答案
C
解析
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点坐标为(a+1, 2a-2)。
由该对称点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\2a-2＜0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$a＞-1$，
解第二个不等式得：$a＜1$，
因此a的取值范围是$-1＜a＜1$。
由该对称点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\2a-2＜0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$a＞-1$，
解第二个不等式得：$a＜1$，
因此a的取值范围是$-1＜a＜1$。
14. (★★)如图,在平面直角坐标系中,∠A=90°,OA=4,OB平分OA与x轴非负半轴的夹角,则点B(a-1,a-2)关于x轴的对称点是 【 】
A.$(-4,3)$
B.$(5,-2)$
C.$(4,-3)$
D.$(5,-3)$
A.$(-4,3)$
B.$(5,-2)$
C.$(4,-3)$
D.$(5,-3)$
答案
C
解析
过点B作BC⊥x轴于点C，
1. 由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得AB=BC；
2. 在△OAB和△OCB中，∠OAB=∠OCB=90°，∠AOB=∠COB，OB=OB，可证△OAB≌△OCB（AAS），因此OC=OA=4；
3. 点B的横坐标为a-1，即a-1=4，解得a=5；
4. 代入得点B的纵坐标为a-2=5-2=3，即B点坐标为(4,3)；
5. 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得点B关于x轴的对称点为(4,-3)。
1. 由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得AB=BC；
2. 在△OAB和△OCB中，∠OAB=∠OCB=90°，∠AOB=∠COB，OB=OB，可证△OAB≌△OCB（AAS），因此OC=OA=4；
3. 点B的横坐标为a-1，即a-1=4，解得a=5；
4. 代入得点B的纵坐标为a-2=5-2=3，即B点坐标为(4,3)；
5. 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得点B关于x轴的对称点为(4,-3)。
15. (★★)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁(不写作法),点A₁的坐标为,点B₁的坐标为.
(2)若网格中的每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是.
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁(不写作法),点A₁的坐标为,点B₁的坐标为.
(2)若网格中的每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是.
答案
解：
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得
点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
(2) 利用割补法，将$△ ABC$包围在长为5、宽为4的矩形内：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=5×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×3×3 - \frac{1}{2}×5×1\\&=20 - 4 - 4.5 - 2.5\\&=9\end{aligned}$
则$△ ABC$的面积是$\boldsymbol{9}$。
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得
点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
(2) 利用割补法，将$△ ABC$包围在长为5、宽为4的矩形内：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=5×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×3×3 - \frac{1}{2}×5×1\\&=20 - 4 - 4.5 - 2.5\\&=9\end{aligned}$
则$△ ABC$的面积是$\boldsymbol{9}$。
16. (★★)已知$A(m+1,n-2),B(4,3)$两点。
(1)若$A,B$两点关于$x$轴对称,求$m-n$的值；
(2)若点$A$到$y$轴的距离是3,且$AB// x$轴,求点$A$的坐标。
(1)若$A,B$两点关于$x$轴对称,求$m-n$的值；
(2)若点$A$到$y$轴的距离是3,且$AB// x$轴,求点$A$的坐标。
答案
解：
(1) ∵A，B两点关于x轴对称，
∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即 $\begin{cases} m+1=4 \\ n-2=-3 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=3 \\ n=-1 \end{cases}$
∴ $m-n=3 - (-1)=4$。
(2) ∵$AB// x$轴，
∴点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，
即 $n-2=3$，可得点A的纵坐标为3。
∵点A到y轴的距离是3，
∴点A横坐标的绝对值为3，即$|m+1|=3$，
∴$m+1=3$ 或 $m+1=-3$，
即点A的横坐标为3或-3，
∴点A的坐标为$(3,3)$ 或 $(-3,3)$。
(1) ∵A，B两点关于x轴对称，
∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即 $\begin{cases} m+1=4 \\ n-2=-3 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=3 \\ n=-1 \end{cases}$
∴ $m-n=3 - (-1)=4$。
(2) ∵$AB// x$轴，
∴点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，
即 $n-2=3$，可得点A的纵坐标为3。
∵点A到y轴的距离是3，
∴点A横坐标的绝对值为3，即$|m+1|=3$，
∴$m+1=3$ 或 $m+1=-3$，
即点A的横坐标为3或-3，
∴点A的坐标为$(3,3)$ 或 $(-3,3)$。
