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知识建构
填空：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
填空：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
答案
解：
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
1. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$a^2 · a^6 = a^8$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
A.$a^2 · a^6 = a^8$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
答案
A
解析
根据幂的运算法则逐一验证：
1. 对A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^2 · a^6 = a^{2+6}=a^8$，计算正确；
2. 对B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，计算错误；
3. 对C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6≠ a^4$，计算错误；
4. 对D：积的乘方，各因式分别乘方后相乘，$(ab^2)^3 = a^3(b^2)^3=a^3b^6≠ ab^6$，计算错误。
综上，正确的是A选项。
1. 对A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^2 · a^6 = a^{2+6}=a^8$，计算正确；
2. 对B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，计算错误；
3. 对C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6≠ a^4$，计算错误；
4. 对D：积的乘方，各因式分别乘方后相乘，$(ab^2)^3 = a^3(b^2)^3=a^3b^6≠ ab^6$，计算错误。
综上，正确的是A选项。
2. (★)若$(2x-1)^0$有意义，则x的取值范围是
【】
A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$
【】
A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$
答案
C
解析
根据零指数幂的定义，底数不为0时，零指数幂才有意义，因此令底数2x-1≠0，解不等式得2x≠1，即x≠$\frac{1}{2}$。
3. (★★)已知$2m+3n=6$,则$4^m · 8^n$的值为【 】
A.16
B.25
C.32
D.64
A.16
B.25
C.32
D.64
答案
D
解析
先将原式转化为以2为底的幂的形式：
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^n=(2^3)^n=2^{3n}$，
根据同底数幂的乘法法则：$a^p · a^q=a^{p+q}$，可得
$4^m · 8^n=2^{2m} · 2^{3n}=2^{2m+3n}$，
已知$2m+3n=6$，代入得$2^{2m+3n}=2^6=64$。
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^n=(2^3)^n=2^{3n}$，
根据同底数幂的乘法法则：$a^p · a^q=a^{p+q}$，可得
$4^m · 8^n=2^{2m} · 2^{3n}=2^{2m+3n}$，
已知$2m+3n=6$，代入得$2^{2m+3n}=2^6=64$。
4. (★)若$(-2a^{m}b)^{3}(\dfrac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，则$m=$，$n=$;
答案
解：
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
$m=\boldsymbol{1}$，$n=\boldsymbol{2}$。
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
$m=\boldsymbol{1}$，$n=\boldsymbol{2}$。
$(1.5× 10^{10})÷(3× 10^{5})=\_\_\_\_\_\_.$
答案
$\boldsymbol{5× 10^{4}}$（或50000）
解析
解：
原式$=(1.5÷ 3)×(10^{10}÷ 10^{5})$
$=0.5× 10^{5}$
$=5× 10^{4}$
原式$=(1.5÷ 3)×(10^{10}÷ 10^{5})$
$=0.5× 10^{5}$
$=5× 10^{4}$
5. (★★)计算：
(1) $3xy(5x^2y -7xy -1)$；
(2) $(2a -3b)(3a +7b)$。
(1) $3xy(5x^2y -7xy -1)$；
(2) $(2a -3b)(3a +7b)$。
答案
解：
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
