登录
9. (★)$3ab -4bc +1 = 3ab - (\quad)$, 括号中应填入的整式是 【 】
A.$-4bc+1$
B.$4bc+1$
C.$4bc-1$
D.$-4bc-1$
A.$-4bc+1$
B.$4bc+1$
C.$4bc-1$
D.$-4bc-1$
答案
C
解析
【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先明确添括号的运算规则：当括号前是负号时，括到括号内的每一项都需要改变符号。观察等式两侧，左侧为$3ab -4bc +1$，右侧是$3ab$减去一个整式，相当于把左侧中$3ab$后面的部分$(-4bc+1)$整体放到前面带负号的括号中，只需按照法则对括号内各项变号即可得到括号内应填的整式。
【解析】
根据添括号法则：所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。
对式子$3ab -4bc +1$变形，将$-4bc +1$放入前带负号的括号中：
$3ab -4bc +1 = 3ab - (4bc - 1)$
因此括号内应填的整式为$4bc-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
添括号法则；整式的恒等变形
【点评】
本题属于基础题，重点考查添括号法则的应用，解题时需注意当括号前为负号时，括号内所有项都要变号，切勿出现只改变第一项符号的常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先明确添括号的运算规则：当括号前是负号时，括到括号内的每一项都需要改变符号。观察等式两侧，左侧为$3ab -4bc +1$，右侧是$3ab$减去一个整式，相当于把左侧中$3ab$后面的部分$(-4bc+1)$整体放到前面带负号的括号中，只需按照法则对括号内各项变号即可得到括号内应填的整式。
【解析】
根据添括号法则：所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。
对式子$3ab -4bc +1$变形，将$-4bc +1$放入前带负号的括号中：
$3ab -4bc +1 = 3ab - (4bc - 1)$
因此括号内应填的整式为$4bc-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
添括号法则；整式的恒等变形
【点评】
本题属于基础题，重点考查添括号法则的应用，解题时需注意当括号前为负号时，括号内所有项都要变号，切勿出现只改变第一项符号的常见错误。
【难度系数】
0.8
10. (★)将多项式$3x^3 - 2x^2 + 4x -5$变形正确的是
【 】
A.$3x^3-(2x^2+4x-5)$
B.$(3x^3+4x)-(2x^2+5)$
C.$(3x^3-5)+(-2x^2-4x)$
D.$2x^2+(3x^3+4x-5)$
【 】
A.$3x^3-(2x^2+4x-5)$
B.$(3x^3+4x)-(2x^2+5)$
C.$(3x^3-5)+(-2x^2-4x)$
D.$2x^2+(3x^3+4x-5)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查添括号、去括号法则的应用，解题思路如下：首先回忆去括号的符号规则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项都要变号。我们可以将每个选项的括号去掉后，和原式$3x^3 - 2x^2 + 4x -5$对比，若完全相等就是正确选项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：
$3x^3-(2x^2+4x-5)=3x^3-2x^2-4x+5$，与原式对比，一次项$4x$和常数项$-5$符号均错误，故A错误。
2. 验证选项B：
$(3x^3+4x)-(2x^2+5)=3x^3+4x-2x^2-5=3x^3-2x^2+4x-5$，与原式完全一致，故B正确。
3. 验证选项C：
$(3x^3-5)+(-2x^2-4x)=3x^3-5-2x^2-4x=3x^3-2x^2-4x-5$，与原式对比，一次项$4x$符号错误，故C错误。
4. 验证选项D：
$2x^2+(3x^3+4x-5)=2x^2+3x^3+4x-5=3x^3+2x^2+4x-5$，与原式对比，二次项$-2x^2$符号错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考察添去括号过程中的符号变化规律，做题时只要仔细核对每一项的符号，就能快速得出正确答案，是整式运算的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
本题考查添括号、去括号法则的应用，解题思路如下：首先回忆去括号的符号规则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项都要变号。我们可以将每个选项的括号去掉后，和原式$3x^3 - 2x^2 + 4x -5$对比，若完全相等就是正确选项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：
$3x^3-(2x^2+4x-5)=3x^3-2x^2-4x+5$，与原式对比，一次项$4x$和常数项$-5$符号均错误，故A错误。
2. 验证选项B：
$(3x^3+4x)-(2x^2+5)=3x^3+4x-2x^2-5=3x^3-2x^2+4x-5$，与原式完全一致，故B正确。
3. 验证选项C：
$(3x^3-5)+(-2x^2-4x)=3x^3-5-2x^2-4x=3x^3-2x^2-4x-5$，与原式对比，一次项$4x$符号错误，故C错误。
4. 验证选项D：
$2x^2+(3x^3+4x-5)=2x^2+3x^3+4x-5=3x^3+2x^2+4x-5$，与原式对比，二次项$-2x^2$符号错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考察添去括号过程中的符号变化规律，做题时只要仔细核对每一项的符号，就能快速得出正确答案，是整式运算的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
11. (★)不改变式子$a-(2b-c)$的值，把括号前的“-”变成“+”的结果应是 【 】
A.$a+(-2b-c)$
B.$a+(-2b+c)$
C.$a+(2b+c)$
D.$a+(2b-c)$
A.$a+(-2b-c)$
B.$a+(-2b+c)$
C.$a+(2b+c)$
D.$a+(2b-c)$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是利用去括号和添括号的符号变化规则，保证式子的值不变。我们可以先将原式去括号得到无括号的形式，再将除a外的部分添入带“+”号的括号中，根据添括号规则判断括号内的符号即可；也可以直接推导：把括号前的“-”改为“+”时，括号内每一项都要变号，以此得到正确结果。
【解析】
第一步：对原式去括号，根据去括号法则：括号前是“-”号，去掉括号和前导“-”号后，括号内所有项都要变号，因此：
$a-(2b-c)=a-2b+c$
第二步：将式子改写为$a$加一个括号的形式，根据添括号法则：括号前是“+”号，括入括号的各项符号不变，因此将$-2b+c$添入加号后的括号中，可得：
$a-2b+c=a+(-2b+c)$
因此符合要求的结果是B选项。
【答案】
B
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考察去括号、添括号过程中的符号变化规则，解题时注意不要出现漏变符号的错误，熟练掌握规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，核心是利用去括号和添括号的符号变化规则，保证式子的值不变。我们可以先将原式去括号得到无括号的形式，再将除a外的部分添入带“+”号的括号中，根据添括号规则判断括号内的符号即可；也可以直接推导：把括号前的“-”改为“+”时，括号内每一项都要变号，以此得到正确结果。
【解析】
第一步：对原式去括号，根据去括号法则：括号前是“-”号，去掉括号和前导“-”号后，括号内所有项都要变号，因此：
$a-(2b-c)=a-2b+c$
第二步：将式子改写为$a$加一个括号的形式，根据添括号法则：括号前是“+”号，括入括号的各项符号不变，因此将$-2b+c$添入加号后的括号中，可得：
$a-2b+c=a+(-2b+c)$
因此符合要求的结果是B选项。
【答案】
B
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考察去括号、添括号过程中的符号变化规则，解题时注意不要出现漏变符号的错误，熟练掌握规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
12. (★★)已知$2a - 3b^2 = 5$，则$10 - 4a + 6b^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征：已知条件给出$2a-3b^2=5$，待求式$10-4a+6b^2$中含字母的部分为$-4a+6b^2$，可提取公因式$-2$变形为$-2(2a-3b^2)$，刚好和已知等式的左边成倍数关系，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体值，采用整体代入的方法即可快速算出结果。
【解析】
解：对待求代数式进行恒等变形：
$\begin{aligned}10 - 4a + 6b^2 &= 10 - (4a - 6b^2) \\&= 10 - 2(2a - 3b^2)\end{aligned}$
将已知条件$2a - 3b^2 = 5$代入上式，可得：
原式$= 10 - 2×5 = 10 - 10 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、整式恒等变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的计算思想，解题关键是找到待求式与已知式之间的数量关联，通过变形后整体代入计算，省去了求解单个未知数的繁琐步骤，是代数运算中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征：已知条件给出$2a-3b^2=5$，待求式$10-4a+6b^2$中含字母的部分为$-4a+6b^2$，可提取公因式$-2$变形为$-2(2a-3b^2)$，刚好和已知等式的左边成倍数关系，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体值，采用整体代入的方法即可快速算出结果。
【解析】
解：对待求代数式进行恒等变形：
$\begin{aligned}10 - 4a + 6b^2 &= 10 - (4a - 6b^2) \\&= 10 - 2(2a - 3b^2)\end{aligned}$
将已知条件$2a - 3b^2 = 5$代入上式，可得：
原式$= 10 - 2×5 = 10 - 10 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、整式恒等变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的计算思想，解题关键是找到待求式与已知式之间的数量关联，通过变形后整体代入计算，省去了求解单个未知数的繁琐步骤，是代数运算中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
13. (★★)有下列变形:①$(-a-b)^2=(a+b)^2$；②$(-a+b)^2=(a-b)^2$；③$(b-a)^2=(a-b)^2$；④$(a+b)^2=a^2+b^2$. 其中正确的是________(填序号).
答案
解：
① $(-a-b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2$，变形正确；
② $(-a+b)^2 = [-(a-b)]^2 = (a-b)^2$，变形正确；
③ $(b-a)^2 = [-(a-b)]^2 = (a-b)^2$，变形正确；
④ 由完全平方公式得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ≠ a^2 + b^2$，变形错误。
所以正确的是①②③。
① $(-a-b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2$，变形正确；
② $(-a+b)^2 = [-(a-b)]^2 = (a-b)^2$，变形正确；
③ $(b-a)^2 = [-(a-b)]^2 = (a-b)^2$，变形正确；
④ 由完全平方公式得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ≠ a^2 + b^2$，变形错误。
所以正确的是①②③。
解析
【分析】
解决这道题需结合偶次幂的性质和完全平方公式，逐个验证4个变形是否正确：首先利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质，对带负号的括号平方变形时，先提取括号内的负号，再消去负号对比右侧式子判断对错；对于第④个变形，直接根据完全平方公式展开验证即可。
【解析】
① 对$(-a-b)^2$变形：$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2$，变形正确；
② 对$(-a+b)^2$变形：$(-a+b)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，变形正确；
③ 对$(b-a)^2$变形：$(b-a)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，变形正确；
④ 根据完全平方公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，与$a^2+b^2$不相等，变形错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
完全平方公式、偶次幂的性质
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，易错点是容易遗漏完全平方公式中的交叉项$2ab$，熟练掌握互为相反数的两个数平方相等的性质，可快速解决这类平方变形类题目。
【难度系数】
0.7
解决这道题需结合偶次幂的性质和完全平方公式，逐个验证4个变形是否正确：首先利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质，对带负号的括号平方变形时，先提取括号内的负号，再消去负号对比右侧式子判断对错；对于第④个变形，直接根据完全平方公式展开验证即可。
【解析】
① 对$(-a-b)^2$变形：$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2$，变形正确；
② 对$(-a+b)^2$变形：$(-a+b)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，变形正确；
③ 对$(b-a)^2$变形：$(b-a)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，变形正确；
④ 根据完全平方公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，与$a^2+b^2$不相等，变形错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
完全平方公式、偶次幂的性质
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，易错点是容易遗漏完全平方公式中的交叉项$2ab$，熟练掌握互为相反数的两个数平方相等的性质，可快速解决这类平方变形类题目。
【难度系数】
0.7
14. (★★)运用乘法公式计算:
(1)$(a+2b-1)(a-2b-1)$;
(2)$(a-2b+c)^2$;
(3)$(x-2y-1)(x+2y+1)-(1-2y)^2$.
(1)$(a+2b-1)(a-2b-1)$;
(2)$(a-2b+c)^2$;
(3)$(x-2y-1)(x+2y+1)-(1-2y)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=[(a-1)+2b][(a-1)-2b]$
$=(a-1)^2-(2b)^2$
$=a^2-2a+1-4b^2$
$=a^2-4b^2-2a+1$
(2) 原式$=[(a-2b)+c]^2$
$=(a-2b)^2 + 2·(a-2b)· c + c^2$
$=a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) 原式$=[x-(2y+1)][x+(2y+1)]-(1-2y)^2$
$=x^2-(2y+1)^2-(1-2y)^2$
$=x^2-(4y^2+4y+1)-(1-4y+4y^2)$
$=x^2-4y^2-4y-1-1+4y-4y^2$
$=x^2-8y^2-2$
(1) 原式$=[(a-1)+2b][(a-1)-2b]$
$=(a-1)^2-(2b)^2$
$=a^2-2a+1-4b^2$
$=a^2-4b^2-2a+1$
(2) 原式$=[(a-2b)+c]^2$
$=(a-2b)^2 + 2·(a-2b)· c + c^2$
$=a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) 原式$=[x-(2y+1)][x+(2y+1)]-(1-2y)^2$
$=x^2-(2y+1)^2-(1-2y)^2$
$=x^2-(4y^2+4y+1)-(1-4y+4y^2)$
$=x^2-4y^2-4y-1-1+4y-4y^2$
$=x^2-8y^2-2$
解析
【分析】
这三道题均考查乘法公式的灵活应用，解题核心是运用整体思想，将多项式中相同的项、互为相反数的项分别分组，凑出平方差公式或完全平方公式的标准形式，再按公式展开，最后去括号合并同类项即可。
(1) 观察两个因式的结构，相同的项是$a$和$-1$，互为相反数的项是$+2b$和$-2b$，因此把$(a-1)$看作一个整体，即可凑成平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，代入公式展开后再计算完全平方即可。
(2) 三个项的平方运算，可将前两个项$(a-2b)$看作一个整体，原式就转化为两个项的完全平方，套用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开后，再对$(a-2b)^2$展开，最后整理结果。
(3) 前半部分两个因式中，相同项是$x$，互为相反数的项是$-(2y+1)$和$+(2y+1)$，先把$(2y+1)$看作整体用平方差公式展开，再对后面的$(1-2y)^2$用完全平方公式展开，最后去括号合并同类项，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式$=[(a-1)+2b][(a-1)-2b]$
$=(a-1)^2-(2b)^2$
$=a^2-2a+1-4b^2$
$=a^2-4b^2-2a+1$
(2) 原式$=[(a-2b)+c]^2$
$=(a-2b)^2 + 2·(a-2b)·c + c^2$
$=a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) 原式$=[x-(2y+1)][x+(2y+1)]-(1-2y)^2$
$=x^2-(2y+1)^2-(1-2y)^2$
$=x^2-(4y^2+4y+1)-(1-4y+4y^2)$
$=x^2-4y^2-4y-1-1+4y-4y^2$
$=x^2-8y^2-2$
【答案】
(1) $a^2-4b^2-2a+1$
(2) $a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) $x^2-8y^2-2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整式加减运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，核心是掌握整体思想对多项式进行合理分组，凑出公式的结构特征，计算时需注意去括号的符号规则，合并同类项时不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查乘法公式的灵活应用，解题核心是运用整体思想，将多项式中相同的项、互为相反数的项分别分组，凑出平方差公式或完全平方公式的标准形式，再按公式展开，最后去括号合并同类项即可。
(1) 观察两个因式的结构，相同的项是$a$和$-1$，互为相反数的项是$+2b$和$-2b$，因此把$(a-1)$看作一个整体，即可凑成平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，代入公式展开后再计算完全平方即可。
(2) 三个项的平方运算，可将前两个项$(a-2b)$看作一个整体，原式就转化为两个项的完全平方，套用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开后，再对$(a-2b)^2$展开，最后整理结果。
(3) 前半部分两个因式中，相同项是$x$，互为相反数的项是$-(2y+1)$和$+(2y+1)$，先把$(2y+1)$看作整体用平方差公式展开，再对后面的$(1-2y)^2$用完全平方公式展开，最后去括号合并同类项，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式$=[(a-1)+2b][(a-1)-2b]$
$=(a-1)^2-(2b)^2$
$=a^2-2a+1-4b^2$
$=a^2-4b^2-2a+1$
(2) 原式$=[(a-2b)+c]^2$
$=(a-2b)^2 + 2·(a-2b)·c + c^2$
$=a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) 原式$=[x-(2y+1)][x+(2y+1)]-(1-2y)^2$
$=x^2-(2y+1)^2-(1-2y)^2$
$=x^2-(4y^2+4y+1)-(1-4y+4y^2)$
$=x^2-4y^2-4y-1-1+4y-4y^2$
$=x^2-8y^2-2$
【答案】
(1) $a^2-4b^2-2a+1$
(2) $a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$
(3) $x^2-8y^2-2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整式加减运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，核心是掌握整体思想对多项式进行合理分组，凑出公式的结构特征，计算时需注意去括号的符号规则，合并同类项时不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
