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知识建构
填空：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
填空：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
答案
解：
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
解析
【分析】
本题是对整式乘除模块知识体系的基础考查，解题时需结合所学的幂的运算法则、零指数幂的规定、整式乘除的运算关系、乘法公式的内容，逐个对应空缺位置填写即可，所有考点均为该模块需要熟练记忆的基础内容。
【解析】
① 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^m · a^n = a^{m+n}$；
② 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^m)^n = a^{mn}$；
③ 根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(ab)^n = a^n b^n$；
④ 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，需满足$a≠0$，m、n为正整数且$m＞n$，可得$a^m ÷ a^n = a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)$；
⑤ 根据零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得$a^0=1\ (a≠0)$；
⑥ 整式的乘法和整式的除法是互逆的运算关系，故此处填互逆；
⑦ 根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；
⑧ 根据完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，可得$(a±b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$。
【答案】
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
【知识点】
幂的运算性质；乘法公式；整式的乘除
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查整式乘除相关的基础法则、公式的记忆情况，这些内容是开展整式混合运算、化简求值等题型的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题是对整式乘除模块知识体系的基础考查，解题时需结合所学的幂的运算法则、零指数幂的规定、整式乘除的运算关系、乘法公式的内容，逐个对应空缺位置填写即可，所有考点均为该模块需要熟练记忆的基础内容。
【解析】
① 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^m · a^n = a^{m+n}$；
② 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^m)^n = a^{mn}$；
③ 根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(ab)^n = a^n b^n$；
④ 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，需满足$a≠0$，m、n为正整数且$m＞n$，可得$a^m ÷ a^n = a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)$；
⑤ 根据零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得$a^0=1\ (a≠0)$；
⑥ 整式的乘法和整式的除法是互逆的运算关系，故此处填互逆；
⑦ 根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；
⑧ 根据完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，可得$(a±b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$。
【答案】
① $\boldsymbol{a^{m+n}}$
② $\boldsymbol{a^{mn}}$
③ $\boldsymbol{a^n b^n}$
④ $\boldsymbol{a^{m-n}\ (a≠0,\ m、n为正整数,\ m＞n)}$
⑤ $\boldsymbol{1}$
⑥ $\boldsymbol{互逆}$
⑦ $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
⑧ $\boldsymbol{a^2\pm 2ab + b^2}$
【知识点】
幂的运算性质；乘法公式；整式的乘除
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查整式乘除相关的基础法则、公式的记忆情况，这些内容是开展整式混合运算、化简求值等题型的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$a^2 · a^6 = a^8$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
A.$a^2 · a^6 = a^8$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
答案
A
解析
【分析】
本题考查幂的各类运算性质，解题时需分别回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们根据幂的运算规则逐一判断选项：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，所以$a^2 · a^6 = a^{2+6}=a^8$，该选项计算正确；
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(a^3)^2 = a^{3 × 2}=a^6 ≠ a^5$，该选项计算错误；
选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$），所以$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6 ≠ a^4$，该选项计算错误；
选项D：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n = a^n b^n$，所以$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3 b^{6} ≠ ab^6$，该选项计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算对应的指数计算规则，避免混淆法则导致错误。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的各类运算性质，解题时需分别回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们根据幂的运算规则逐一判断选项：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，所以$a^2 · a^6 = a^{2+6}=a^8$，该选项计算正确；
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(a^3)^2 = a^{3 × 2}=a^6 ≠ a^5$，该选项计算错误；
选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$），所以$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6 ≠ a^4$，该选项计算错误；
选项D：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n = a^n b^n$，所以$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3 b^{6} ≠ ab^6$，该选项计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算对应的指数计算规则，避免混淆法则导致错误。
【难度系数】
0.9
2. (★)若$(2x-1)^0$有意义，则x的取值范围是
【】
A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$
【】
A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】要确定零指数幂有意义时x的取值范围，首先回忆零指数幂的相关规定：只有当底数不为0时，零指数幂才有意义。因此我们只需让本题中零指数幂的底数不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】根据零指数幂的定义，$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$。
对于$(2x-1)^0$，令底数满足：
$2x-1≠0$
解不等式得：
$2x≠1$
$x≠\frac{1}{2}$
因此x的取值范围为$x≠\frac{1}{2}$。
【答案】C
【知识点】1. 零指数幂有意义的条件 2. 解一元一次不等式
【点评】本题属于基础概念题，重点考查对零指数幂限制条件的记忆，只要准确掌握“零指数幂的底数不能为0”的规则，就能快速求解得分。
【难度系数】0.9
【解析】根据零指数幂的定义，$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$。
对于$(2x-1)^0$，令底数满足：
$2x-1≠0$
解不等式得：
$2x≠1$
$x≠\frac{1}{2}$
因此x的取值范围为$x≠\frac{1}{2}$。
【答案】C
【知识点】1. 零指数幂有意义的条件 2. 解一元一次不等式
【点评】本题属于基础概念题，重点考查对零指数幂限制条件的记忆，只要准确掌握“零指数幂的底数不能为0”的规则，就能快速求解得分。
【难度系数】0.9
3. (★★)已知$2m+3n=6$,则$4^m · 8^n$的值为【 】
A.16
B.25
C.32
D.64
A.16
B.25
C.32
D.64
答案
D
解析
【分析】
首先观察所求代数式的底数4和8都可以转化为以2为底的幂的形式，因此可以先利用幂的乘方法则将原式变形为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，最后将已知条件2m+3n=6整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先将所求式子的底数统一为2：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m+3n}$，
将已知$2m+3n=6$代入上式得：
$2^{2m+3n} = 2^6 = 64$。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的典型基础题，解题核心是熟练掌握幂的运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用整体代入思想简化计算，无需单独求解m、n的值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的底数4和8都可以转化为以2为底的幂的形式，因此可以先利用幂的乘方法则将原式变形为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，最后将已知条件2m+3n=6整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先将所求式子的底数统一为2：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m+3n}$，
将已知$2m+3n=6$代入上式得：
$2^{2m+3n} = 2^6 = 64$。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的典型基础题，解题核心是熟练掌握幂的运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用整体代入思想简化计算，无需单独求解m、n的值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
4. (★)若$(-2a^{m}b)^{3}(\dfrac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，则$m=$，$n=$;
答案
解：
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
$m=\boldsymbol{1}$，$n=\boldsymbol{2}$。
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
$m=\boldsymbol{1}$，$n=\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需按照“化简左侧式子→对比指数列方程→求解参数”的思路开展：首先运用幂的相关运算法则对等式左侧的整式进行化简，再根据两个相等的单项式中相同字母的指数分别相等的性质，建立关于m、n的方程组，最后解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
【答案】
$1$；$2$
【知识点】
幂的运算；同类项的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察幂的运算法则的应用能力，以及利用相等单项式的指数特征建立方程求解参数的方法，熟练掌握幂的各类运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需按照“化简左侧式子→对比指数列方程→求解参数”的思路开展：首先运用幂的相关运算法则对等式左侧的整式进行化简，再根据两个相等的单项式中相同字母的指数分别相等的性质，建立关于m、n的方程组，最后解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
先对等式左边的式子进行化简：
$\begin{aligned}(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}&=(-8a^{3m}b^{3})·(\frac{1}{4}a^{2n}b^{2m})\\&=(-8×\frac{1}{4})a^{3m+2n}b^{3+2m}\\&=-2a^{3m+2n}b^{2m+3}\end{aligned}$
已知$(-2a^{m}b)^{3}(\frac{1}{2}a^{n}b^{m})^{2}=-2a^{7}b^{5}$，对应同类项的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + 3 = 5\\3m + 2n = 7\end{cases}$
解第一个方程得：$2m=2$，即$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程得：$3×1 + 2n =7$，解得$n=2$。
【答案】
$1$；$2$
【知识点】
幂的运算；同类项的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察幂的运算法则的应用能力，以及利用相等单项式的指数特征建立方程求解参数的方法，熟练掌握幂的各类运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
$(1.5× 10^{10})÷(3× 10^{5})=\_\_\_\_\_\_.$
答案
$\boldsymbol{5× 10^{4}}$（或50000）
解析
【分析】
这是一道科学记数法的除法运算题，解题时可依据单项式除以单项式的运算规则，把系数和含10的幂的部分分开计算，再将两个结果相乘。第一步先计算系数1.5与3的商，第二步根据同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算10^10除以10^5的结果，最后把两部分的乘积整理为规范的科学记数法形式即可。
【解析】
根据单项式除法的运算法则，将系数和同底数幂分别相除：
原式$=(1.5÷3)×(10^{10}÷10^{5})$
①计算系数的商：$1.5÷3=0.5$
②计算同底数幂的商：根据同底数幂相除法则，$10^{10}÷10^{5}=10^{10-5}=10^5$
③合并结果并整理为规范科学记数法：$0.5×10^5=5×10^{-1}×10^5=5×10^4$，也可转换为普通数字形式50000。
【答案】
$\boldsymbol{5× 10^{4}}$（或50000）
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 科学记数法运算
3. 单项式除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查科学记数法的除法运算规则，解题的易错点是运算后忘记将结果整理为符合要求的科学记数法形式（$a×10^n$中需满足$1≤|a|＜10$），熟练掌握相关运算法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
这是一道科学记数法的除法运算题，解题时可依据单项式除以单项式的运算规则，把系数和含10的幂的部分分开计算，再将两个结果相乘。第一步先计算系数1.5与3的商，第二步根据同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算10^10除以10^5的结果，最后把两部分的乘积整理为规范的科学记数法形式即可。
【解析】
根据单项式除法的运算法则，将系数和同底数幂分别相除：
原式$=(1.5÷3)×(10^{10}÷10^{5})$
①计算系数的商：$1.5÷3=0.5$
②计算同底数幂的商：根据同底数幂相除法则，$10^{10}÷10^{5}=10^{10-5}=10^5$
③合并结果并整理为规范科学记数法：$0.5×10^5=5×10^{-1}×10^5=5×10^4$，也可转换为普通数字形式50000。
【答案】
$\boldsymbol{5× 10^{4}}$（或50000）
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 科学记数法运算
3. 单项式除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查科学记数法的除法运算规则，解题的易错点是运算后忘记将结果整理为符合要求的科学记数法形式（$a×10^n$中需满足$1≤|a|＜10$），熟练掌握相关运算法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
5. (★★)计算：
(1) $3xy(5x^2y -7xy -1)$；
(2) $(2a -3b)(3a +7b)$。
(1) $3xy(5x^2y -7xy -1)$；
(2) $(2a -3b)(3a +7b)$。
答案
解：
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
解析
【分析】
(1) 第一小问为单项式乘多项式运算，解题时遵循单项式乘多项式法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再将所有乘积相加。运算过程中要注意每一项的符号，计算单项式乘单项式时，系数相乘、同底数幂分别相乘，单独出现的字母要连同指数保留。
(2) 第二小问为多项式乘多项式运算，遵循多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有乘积相加，最后合并同类项得到结果。运算时需注意不要漏乘项，带负号的项相乘要准确判断符号，同类项要合并彻底。
【解析】
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
【答案】
(1) $\boxed{15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy}$
(2) $\boxed{6a^2 +5ab -21b^2}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 多项式乘多项式
3. 合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考察整式乘法运算法则的应用，解题时需重点规避漏乘项、符号判断错误、同类项合并错误三类常见失误，熟练掌握运算法则即可快速解答，是整式运算板块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问为单项式乘多项式运算，解题时遵循单项式乘多项式法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再将所有乘积相加。运算过程中要注意每一项的符号，计算单项式乘单项式时，系数相乘、同底数幂分别相乘，单独出现的字母要连同指数保留。
(2) 第二小问为多项式乘多项式运算，遵循多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有乘积相加，最后合并同类项得到结果。运算时需注意不要漏乘项，带负号的项相乘要准确判断符号，同类项要合并彻底。
【解析】
(1) 原式$=3xy· 5x^2y + 3xy·(-7xy) + 3xy·(-1)$
$=15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy$
(2) 原式$=2a· 3a + 2a·7b -3b·3a -3b·7b$
$=6a^2 +14ab -9ab -21b^2$
$=6a^2 +5ab -21b^2$
【答案】
(1) $\boxed{15x^3y^2 -21x^2y^2 -3xy}$
(2) $\boxed{6a^2 +5ab -21b^2}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 多项式乘多项式
3. 合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考察整式乘法运算法则的应用，解题时需重点规避漏乘项、符号判断错误、同类项合并错误三类常见失误，熟练掌握运算法则即可快速解答，是整式运算板块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
