登录
6. (★)下列多项式的乘法可以用平方差公式进行计算的是 【 】
A.$(x+1)(1+x)$
B.$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$
C.$(-a + b)(a - b)$
D.$(x^2 - y)(x + y^2)$
A.$(x+1)(1+x)$
B.$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$
C.$(-a + b)(a - b)$
D.$(x^2 - y)(x + y^2)$
答案
B
解析
【分析】
解题前先明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，适用条件是两个二项式相乘，且两个因式中存在一项完全相同、另一项互为相反数。解题时只需逐个核对每个选项是否符合该结构特征，就能快速选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$(x+1)(1+x)=(x+1)^2$，两个因式的两项均完全相同，无互为相反数的项，符合完全平方公式结构，不能用平方差公式计算，排除；
B选项：$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$，两个因式中相同项为$b$，另一项$\frac{1}{2}a$和$-\frac{1}{2}a$互为相反数，完全符合平方差公式的结构，可使用平方差公式计算；
C选项：$(-a + b)(a - b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，两个因式的两项均互为相反数，可变形为完全平方形式，不能用平方差公式计算，排除；
D选项：$(x^2 - y)(x + y^2)$，两个因式中既没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法
【点评】
本题是对平方差公式基础应用的考查，解题的关键是牢记公式的结构特征，准确区分相同项和相反项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题前先明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，适用条件是两个二项式相乘，且两个因式中存在一项完全相同、另一项互为相反数。解题时只需逐个核对每个选项是否符合该结构特征，就能快速选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$(x+1)(1+x)=(x+1)^2$，两个因式的两项均完全相同，无互为相反数的项，符合完全平方公式结构，不能用平方差公式计算，排除；
B选项：$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$，两个因式中相同项为$b$，另一项$\frac{1}{2}a$和$-\frac{1}{2}a$互为相反数，完全符合平方差公式的结构，可使用平方差公式计算；
C选项：$(-a + b)(a - b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，两个因式的两项均互为相反数，可变形为完全平方形式，不能用平方差公式计算，排除；
D选项：$(x^2 - y)(x + y^2)$，两个因式中既没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法
【点评】
本题是对平方差公式基础应用的考查，解题的关键是牢记公式的结构特征，准确区分相同项和相反项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
7. (★)若$a+b=8$，$a^2+b^2=74$，则$ab$的值为【 】
A.-10
B.-5
C.5
D.10
A.-10
B.-5
C.5
D.10
答案
B
解析
【分析】
本题已知$a+b$与$a^2+b^2$的值，要求$ab$的值，应联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，该公式中刚好包含题干给出的三个量，我们可以先对公式进行变形，将$ab$用含$a+b$和$a^2+b^2$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
对公式变形求解$ab$：
$ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$
将$a+b=8$，$a^2+b^2=74$代入上式：
$ab = \frac{8^2 - 74}{2} = \frac{64 - 74}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见推导变形是解决此类问题的核心，解题时注意代入数值计算的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+b$与$a^2+b^2$的值，要求$ab$的值，应联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，该公式中刚好包含题干给出的三个量，我们可以先对公式进行变形，将$ab$用含$a+b$和$a^2+b^2$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
对公式变形求解$ab$：
$ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$
将$a+b=8$，$a^2+b^2=74$代入上式：
$ab = \frac{8^2 - 74}{2} = \frac{64 - 74}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见推导变形是解决此类问题的核心，解题时注意代入数值计算的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
8. (★★)如图,现有甲、乙两张正方形纸片.小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放,小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放.若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2,按方式二摆放时阴影部分的面积为8,则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为 【 】
A.12
B.10
C.8
D.6
A.12
B.10
C.8
D.6
答案
B
解析
【分析】
我们可以通过设未知数表示甲、乙正方形的边长，结合两种摆放方式的阴影面积列出关系式，再利用完全平方公式的变形计算甲、乙的面积和。步骤如下：第一步，设甲正方形边长为$a$，乙正方形边长为$b$；第二步，分析方式一：阴影小正方形边长为$b-a$，可得$(b-a)^2=2$；第三步，分析方式二：大正方形边长为$a+b$，阴影面积为大正方形面积减去甲、乙的面积，可得$(a+b)^2-a^2-b^2=8$，化简得$2ab=8$；第四步，甲、乙面积和为$a^2+b^2$，利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(b-a)^2+2ab$，代入数值即可求解。
【解析】
设甲正方形的边长为$a$，乙正方形的边长为$b$（$b＞a＞0$）。
1. 根据方式一的阴影面积可得：
阴影小正方形边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=2$，展开得：$a^2+b^2-2ab=2$ ①。
2. 根据方式二的阴影面积可得：
大正方形边长为$a+b$，阴影面积 = 大正方形面积 - 甲面积 - 乙面积，即：
$(a+b)^2-a^2-b^2=8$
展开化简左边得$2ab=8$ ②。
3. 计算甲、乙面积和：
将②代入①，得$a^2+b^2-8=2$，解得$a^2+b^2=10$，即甲、乙两张正方形纸片的面积之和为10。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题结合几何图形的摆放考查完全平方公式的应用，解题的关键是通过图形分析得到边长的数量关系，再利用完全平方公式的变形简化计算，无需单独求解边长即可得到结果，对公式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数表示甲、乙正方形的边长，结合两种摆放方式的阴影面积列出关系式，再利用完全平方公式的变形计算甲、乙的面积和。步骤如下：第一步，设甲正方形边长为$a$，乙正方形边长为$b$；第二步，分析方式一：阴影小正方形边长为$b-a$，可得$(b-a)^2=2$；第三步，分析方式二：大正方形边长为$a+b$，阴影面积为大正方形面积减去甲、乙的面积，可得$(a+b)^2-a^2-b^2=8$，化简得$2ab=8$；第四步，甲、乙面积和为$a^2+b^2$，利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(b-a)^2+2ab$，代入数值即可求解。
【解析】
设甲正方形的边长为$a$，乙正方形的边长为$b$（$b＞a＞0$）。
1. 根据方式一的阴影面积可得：
阴影小正方形边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=2$，展开得：$a^2+b^2-2ab=2$ ①。
2. 根据方式二的阴影面积可得：
大正方形边长为$a+b$，阴影面积 = 大正方形面积 - 甲面积 - 乙面积，即：
$(a+b)^2-a^2-b^2=8$
展开化简左边得$2ab=8$ ②。
3. 计算甲、乙面积和：
将②代入①，得$a^2+b^2-8=2$，解得$a^2+b^2=10$，即甲、乙两张正方形纸片的面积之和为10。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题结合几何图形的摆放考查完全平方公式的应用，解题的关键是通过图形分析得到边长的数量关系，再利用完全平方公式的变形简化计算，无需单独求解边长即可得到结果，对公式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
9. (★★)先化简,再求值:$(x+y)^2 + x(x-2y)$,其中$x=1,y=-2.$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×1^2 + (-2)^2\\&=2 + 4\\&=6\end{aligned}$
先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×1^2 + (-2)^2\\&=2 + 4\\&=6\end{aligned}$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题遵循“先化简、后代入求值”的原则，可减少计算量、降低出错率。第一步先运用完全平方公式展开$(x+y)^2$，再运用单项式乘多项式的法则展开$x(x-2y)$；第二步合并展开式中的同类项，得到最简整式；第三步将$x$、$y$的取值代入最简整式计算，即可求出结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×1^2 + (-2)^2\\&=2 + 4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式乘法的运算法则，解题时需注意展开运算不要漏乘、符号不要写错，代入负数计算平方时要注意符号处理，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题遵循“先化简、后代入求值”的原则，可减少计算量、降低出错率。第一步先运用完全平方公式展开$(x+y)^2$，再运用单项式乘多项式的法则展开$x(x-2y)$；第二步合并展开式中的同类项，得到最简整式；第三步将$x$、$y$的取值代入最简整式计算，即可求出结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×1^2 + (-2)^2\\&=2 + 4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式乘法的运算法则，解题时需注意展开运算不要漏乘、符号不要写错，代入负数计算平方时要注意符号处理，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
10. (★★)计算:
(1)$2(-a^3)^4 + 3(-a^2)^6 =$ ;
(2)$a · a^3 · a^4 + (-a^2)^4 + (-2a^4)^2 =$ .
(1)$2(-a^3)^4 + 3(-a^2)^6 =$ ;
(2)$a · a^3 · a^4 + (-a^2)^4 + (-2a^4)^2 =$ .
答案
(1) $\boldsymbol{5a^{12}}$；(2) $\boldsymbol{6a^8}$
解析
【分析】
这两道题属于幂的运算与整式加减的混合计算题，解题思路如下：
1. 先明确运算顺序：先算乘方运算，再算乘法运算，最后合并同类项得到结果；
2. 牢记幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于各因式分别乘方的积；同时注意负数的偶次幂为正，避免符号错误；
3. 最后将所有同类项的系数相加，字母和指数保持不变即可。
【解析】
(1) 分别计算两个乘方项再合并：
第一步：计算$2(-a^3)^4$：根据幂的乘方法则和负数偶次幂为正，得$2× (a^{3×4})=2a^{12}$；
第二步：计算$3(-a^2)^6$：同理得$3× (a^{2×6})=3a^{12}$；
第三步：合并同类项：$2a^{12}+3a^{12}=5a^{12}$。
(2) 先算同底数幂乘法，再算乘方，最后合并：
第一步：计算$a· a^3· a^4$：根据同底数幂乘法法则，指数相加得$a^{1+3+4}=a^8$；
第二步：计算$(-a^2)^4$：得$a^{2×4}=a^8$；
第三步：计算$(-2a^4)^2$：根据积的乘方法则，得$(-2)^2× (a^4)^2=4a^8$；
第四步：合并同类项：$a^8+a^8+4a^8=6a^8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5a^{12}}$；(2) $\boldsymbol{6a^8}$
【知识点】
幂的运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的熟练应用，解题时需特别注意运算顺序和负数乘方的符号判断，熟练掌握基础法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这两道题属于幂的运算与整式加减的混合计算题，解题思路如下：
1. 先明确运算顺序：先算乘方运算，再算乘法运算，最后合并同类项得到结果；
2. 牢记幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于各因式分别乘方的积；同时注意负数的偶次幂为正，避免符号错误；
3. 最后将所有同类项的系数相加，字母和指数保持不变即可。
【解析】
(1) 分别计算两个乘方项再合并：
第一步：计算$2(-a^3)^4$：根据幂的乘方法则和负数偶次幂为正，得$2× (a^{3×4})=2a^{12}$；
第二步：计算$3(-a^2)^6$：同理得$3× (a^{2×6})=3a^{12}$；
第三步：合并同类项：$2a^{12}+3a^{12}=5a^{12}$。
(2) 先算同底数幂乘法，再算乘方，最后合并：
第一步：计算$a· a^3· a^4$：根据同底数幂乘法法则，指数相加得$a^{1+3+4}=a^8$；
第二步：计算$(-a^2)^4$：得$a^{2×4}=a^8$；
第三步：计算$(-2a^4)^2$：根据积的乘方法则，得$(-2)^2× (a^4)^2=4a^8$；
第四步：合并同类项：$a^8+a^8+4a^8=6a^8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5a^{12}}$；(2) $\boldsymbol{6a^8}$
【知识点】
幂的运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的熟练应用，解题时需特别注意运算顺序和负数乘方的符号判断，熟练掌握基础法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
11. (★★)已知 $a^x = 5, a^y = 3, a^z = 2$，则 $a^{2x+y+z}$ 的值为 。
答案
$\boldsymbol{150}$
解析
【分析】
解题时首先回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，逆用可得$a^{m+n}=a^m · a^n$；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{mn}$，逆用可得$a^{mn}=(a^m)^n$。观察所求式子$a^{2x+y+z}$的指数，可拆分为$2x+y+z$，结合上述法则的逆用，将其转化为用$a^x、a^y、a^z$表示的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算，对所求式子变形：
$a^{2x+y+z} = a^{2x} · a^y · a^z = (a^x)^2 · a^y · a^z$
将$a^x=5,a^y=3,a^z=2$代入上式：
原式$=5^2 × 3 × 2 = 25 × 3 × 2 = 150$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题的关键是将所求代数式的指数合理拆分，转化为已知条件对应的幂的乘积形式，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，逆用可得$a^{m+n}=a^m · a^n$；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{mn}$，逆用可得$a^{mn}=(a^m)^n$。观察所求式子$a^{2x+y+z}$的指数，可拆分为$2x+y+z$，结合上述法则的逆用，将其转化为用$a^x、a^y、a^z$表示的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算，对所求式子变形：
$a^{2x+y+z} = a^{2x} · a^y · a^z = (a^x)^2 · a^y · a^z$
将$a^x=5,a^y=3,a^z=2$代入上式：
原式$=5^2 × 3 × 2 = 25 × 3 × 2 = 150$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题的关键是将所求代数式的指数合理拆分，转化为已知条件对应的幂的乘积形式，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. (★★)下列等式成立的是 【 】
A.$(x-y)^2 = x^2 - xy + y^2$
B.$(x-2y)(x+2y) = x^2 - 2y^2$
C.$(-3m-2n)(3m+2n) = 9m^2 -4n^2$
D.$(3-y)(3+y) =9 - y^2$
A.$(x-y)^2 = x^2 - xy + y^2$
B.$(x-2y)(x+2y) = x^2 - 2y^2$
C.$(-3m-2n)(3m+2n) = 9m^2 -4n^2$
D.$(3-y)(3+y) =9 - y^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路为：先回忆完全平方公式与平方差公式的标准形式，再将每个选项的左侧式子按照对应公式展开，与选项给出的右侧结果对比，判断等式是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，与选项右侧$x^2-xy+y^2$不符，等式不成立。
选项B：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(x-2y)(x+2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，与选项右侧$x^2-2y^2$不符，等式不成立。
选项C：先变形左侧式子：$(-3m-2n)(3m+2n)=-(3m+2n)(3m+2n)=-(3m+2n)^2$，再根据完全平方公式展开得$-(9m^2+12mn+4n^2)=-9m^2-12mn-4n^2$，与选项右侧$9m^2-4n^2$不符，等式不成立。
选项D：根据平方差公式，得$(3-y)(3+y)=3^2-y^2=9-y^2$，与选项右侧一致，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是准确掌握两个整式乘法公式的结构特征，尤其要注意平方差公式适用的前提是两个因式中存在相同项和相反项，完全平方公式展开后为三项，避免出现漏乘系数、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路为：先回忆完全平方公式与平方差公式的标准形式，再将每个选项的左侧式子按照对应公式展开，与选项给出的右侧结果对比，判断等式是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，与选项右侧$x^2-xy+y^2$不符，等式不成立。
选项B：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(x-2y)(x+2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，与选项右侧$x^2-2y^2$不符，等式不成立。
选项C：先变形左侧式子：$(-3m-2n)(3m+2n)=-(3m+2n)(3m+2n)=-(3m+2n)^2$，再根据完全平方公式展开得$-(9m^2+12mn+4n^2)=-9m^2-12mn-4n^2$，与选项右侧$9m^2-4n^2$不符，等式不成立。
选项D：根据平方差公式，得$(3-y)(3+y)=3^2-y^2=9-y^2$，与选项右侧一致，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是准确掌握两个整式乘法公式的结构特征，尤其要注意平方差公式适用的前提是两个因式中存在相同项和相反项，完全平方公式展开后为三项，避免出现漏乘系数、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
13. (★★)下列计算正确的是 【 】
A.$(-m-n)^2=-m^2-2mn-n^2$
B.$(2m+n)^2=4m^2+n^2$
C.$(3x-y)^2=3x^2-6xy+y^2$
D.$(x-m)^2=x^2+m^2-2mx$
A.$(-m-n)^2=-m^2-2mn-n^2$
B.$(2m+n)^2=4m^2+n^2$
C.$(3x-y)^2=3x^2-6xy+y^2$
D.$(x-m)^2=x^2+m^2-2mx$
答案
D
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$（可记口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央，符号同前方），再将每个选项左边的式子按照公式展开，和选项给出的右边式子对比，判断是否正确即可。
【解析】
首先明确完全平方公式：
两数和的平方：$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
两数差的平方：$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
逐一验证选项：
A选项：$(-m-n)^2=[-(m+n)]^2=(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，和选项给出的$-m^2-2mn-n^2$不符，错误；
B选项：$(2m+n)^2=(2m)^2+2×2m× n +n^2=4m^2+4mn+n^2$，和选项给出的$4m^2+n^2$不符，错误；
C选项：$(3x-y)^2=(3x)^2-2×3x× y +y^2=9x^2-6xy+y^2$，和选项给出的$3x^2-6xy+y^2$不符，错误；
D选项：$(x-m)^2=x^2-2× x× m +m^2=x^2+m^2-2mx$，和选项内容一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式
2.整式运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是使用完全平方公式时漏算中间项、首项带系数时忘记给系数平方，或者处理负号时出错，只要牢记公式结构，逐项展开验证即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$（可记口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央，符号同前方），再将每个选项左边的式子按照公式展开，和选项给出的右边式子对比，判断是否正确即可。
【解析】
首先明确完全平方公式：
两数和的平方：$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
两数差的平方：$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
逐一验证选项：
A选项：$(-m-n)^2=[-(m+n)]^2=(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，和选项给出的$-m^2-2mn-n^2$不符，错误；
B选项：$(2m+n)^2=(2m)^2+2×2m× n +n^2=4m^2+4mn+n^2$，和选项给出的$4m^2+n^2$不符，错误；
C选项：$(3x-y)^2=(3x)^2-2×3x× y +y^2=9x^2-6xy+y^2$，和选项给出的$3x^2-6xy+y^2$不符，错误；
D选项：$(x-m)^2=x^2-2× x× m +m^2=x^2+m^2-2mx$，和选项内容一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式
2.整式运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是使用完全平方公式时漏算中间项、首项带系数时忘记给系数平方，或者处理负号时出错，只要牢记公式结构，逐项展开验证即可得分。
【难度系数】
0.8
14. (★ ★) 计算：$(-2xy)^2 · (-3x)^3 y =$ .
答案
解：
先计算积的乘方：
$(-2xy)^2 = 4x^2y^2$，$(-3x)^3 = -27x^3$
再计算单项式乘法：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2 · (-27x^3)y\\&=4×(-27)· x^{2+3}· y^{2+1}\\&=-108x^5y^3\end{aligned}$
最终结果：$\boldsymbol{-108x^5y^3}$
先计算积的乘方：
$(-2xy)^2 = 4x^2y^2$，$(-3x)^3 = -27x^3$
再计算单项式乘法：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2 · (-27x^3)y\\&=4×(-27)· x^{2+3}· y^{2+1}\\&=-108x^5y^3\end{aligned}$
最终结果：$\boldsymbol{-108x^5y^3}$
解析
【分析】
本题属于整式的乘法运算题，解题时遵循先乘方、再乘法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则分别计算$(-2xy)^2$和$(-3x)^3$，计算乘方时要注意负数乘方的符号规律，以及每个因式都要分别乘方；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数相乘、同底数幂的指数分别相加，合并得到最终结果。
【解析】
首先计算积的乘方：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(-2xy)^2 = (-2)^2 · x^2 · y^2 = 4x^2y^2$
$(-3x)^3 = (-3)^3 · x^3 = -27x^3$
再计算单项式乘法：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂的指数相加，可得：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2 · (-27x^3)y\\&=4×(-27)· x^{2+3}· y^{2+1}\\&=-108x^5y^3\end{aligned}$
【答案】
$-108x^5y^3$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查整式乘法的运算顺序和相关运算法则，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，以及同底数幂运算时指数的计算，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的乘法运算题，解题时遵循先乘方、再乘法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则分别计算$(-2xy)^2$和$(-3x)^3$，计算乘方时要注意负数乘方的符号规律，以及每个因式都要分别乘方；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数相乘、同底数幂的指数分别相加，合并得到最终结果。
【解析】
首先计算积的乘方：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(-2xy)^2 = (-2)^2 · x^2 · y^2 = 4x^2y^2$
$(-3x)^3 = (-3)^3 · x^3 = -27x^3$
再计算单项式乘法：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂的指数相加，可得：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2 · (-27x^3)y\\&=4×(-27)· x^{2+3}· y^{2+1}\\&=-108x^5y^3\end{aligned}$
【答案】
$-108x^5y^3$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查整式乘法的运算顺序和相关运算法则，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，以及同底数幂运算时指数的计算，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
15. (★★)计算：
(1) $200^2 - 400×199 + 199^2 = $ ；
(2) $40\frac{1}{3}×39\frac{2}{3} = $ 。
(1) $200^2 - 400×199 + 199^2 = $ ；
(2) $40\frac{1}{3}×39\frac{2}{3} = $ 。
答案
解：
(1) 原式$=200^2 - 2×200×199 + 199^2$
$=(200-199)^2$
$=1^2$
$=1$
(2) 原式$=(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
$=40^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=1600 - \frac{1}{9}$
$=1599\frac{8}{9}$
(1) 原式$=200^2 - 2×200×199 + 199^2$
$=(200-199)^2$
$=1^2$
$=1$
(2) 原式$=(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
$=40^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=1600 - \frac{1}{9}$
$=1599\frac{8}{9}$
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，可发现400能改写为2×200，此时式子恰好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，套用公式即可简化计算，无需直接计算高次平方项。
(2) 观察两个带分数乘数，可分别变形为$40+\frac{1}{3}$和$40-\frac{1}{3}$，恰好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，套用公式可避免复杂的带分数乘法运算，快速得出结果。
【解析】
(1) 原式$=200^2 - 2×200×199 + 199^2$
$=(200-199)^2$
$=1^2$
$=1$
(2) 原式$=(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
$=40^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=1600 - \frac{1}{9}$
$=1599\frac{8}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1599\frac{8}{9}}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；简便运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，合理套用公式可大幅降低计算量，避免直接运算出错。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子结构，可发现400能改写为2×200，此时式子恰好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，套用公式即可简化计算，无需直接计算高次平方项。
(2) 观察两个带分数乘数，可分别变形为$40+\frac{1}{3}$和$40-\frac{1}{3}$，恰好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，套用公式可避免复杂的带分数乘法运算，快速得出结果。
【解析】
(1) 原式$=200^2 - 2×200×199 + 199^2$
$=(200-199)^2$
$=1^2$
$=1$
(2) 原式$=(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
$=40^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=1600 - \frac{1}{9}$
$=1599\frac{8}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1599\frac{8}{9}}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；简便运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，合理套用公式可大幅降低计算量，避免直接运算出错。
【难度系数】
0.8
16. (★★)一个长方形的两邻边分别是$8-x$,$x-2$,若$(8-x)^2+(x-2)^2=13$,则这个长方形的面积是.
答案
解：设$a = 8 - x$，$b = x - 2$，
则$a + b = (8 - x) + (x - 2) = 6$。
由完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a+b=6$，$a^2 + b^2 = 13$代入得：
$6^2 = 13 + 2ab$，
即$36 = 13 + 2ab$，
解得$ab = \frac{23}{2}$。
长方形的面积为两邻边的乘积，即$S=(8-x)(x-2)=ab$，
所以这个长方形的面积是$\frac{23}{2}$。
则$a + b = (8 - x) + (x - 2) = 6$。
由完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a+b=6$，$a^2 + b^2 = 13$代入得：
$6^2 = 13 + 2ab$，
即$36 = 13 + 2ab$，
解得$ab = \frac{23}{2}$。
长方形的面积为两邻边的乘积，即$S=(8-x)(x-2)=ab$，
所以这个长方形的面积是$\frac{23}{2}$。
解析
【分析】
要求长方形的面积，本质是求两邻边的乘积，即求$(8-x)(x-2)$的值。题目已知$(8-x)^2+(x-2)^2=13$，可联想到完全平方公式的变形关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，只需先求出$(8-x)+(x-2)$的和，再代入公式即可直接算出乘积，无需单独求解$x$的取值，简化计算。
【解析】
设$a = 8 - x$，$b = x - 2$，
则两邻边的和为：$a + b = (8 - x) + (x - 2) = 6$，
长方形的面积$S=ab$，已知$a^2 + b^2 = 13$。
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=6$、$a^2 + b^2=13$代入得：
$6^2 = 13 + 2ab$，
即$36 = 13 + 2ab$，
移项计算得$2ab=36-13=23$，解得$ab=\frac{23}{2}$。
因此长方形的面积为$\frac{23}{2}$。
【答案】
$\frac{23}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，解题时无需解出未知数$x$的具体值，通过整体代入的思想即可快速求出结果，能有效提升整体运算的思维，避免了繁琐的一元二次方程求解。
【难度系数】
0.7
要求长方形的面积，本质是求两邻边的乘积，即求$(8-x)(x-2)$的值。题目已知$(8-x)^2+(x-2)^2=13$，可联想到完全平方公式的变形关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，只需先求出$(8-x)+(x-2)$的和，再代入公式即可直接算出乘积，无需单独求解$x$的取值，简化计算。
【解析】
设$a = 8 - x$，$b = x - 2$，
则两邻边的和为：$a + b = (8 - x) + (x - 2) = 6$，
长方形的面积$S=ab$，已知$a^2 + b^2 = 13$。
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=6$、$a^2 + b^2=13$代入得：
$6^2 = 13 + 2ab$，
即$36 = 13 + 2ab$，
移项计算得$2ab=36-13=23$，解得$ab=\frac{23}{2}$。
因此长方形的面积为$\frac{23}{2}$。
【答案】
$\frac{23}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，解题时无需解出未知数$x$的具体值，通过整体代入的思想即可快速求出结果，能有效提升整体运算的思维，避免了繁琐的一元二次方程求解。
【难度系数】
0.7
17. (★★)计算：
(1) $(a+b-3)(a-b+3)$；
(2) $(3x-2y)^2(3x+2y)^2$。
(1) $(a+b-3)(a-b+3)$；
(2) $(3x-2y)^2(3x+2y)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=[a+(b-3)][a-(b-3)]$
$=a^2-(b-3)^2$
$=a^2-(b^2-6b+9)$
$=a^2-b^2+6b-9$
(2) 原式$=[(3x-2y)(3x+2y)]^2$
$=[(3x)^2-(2y)^2]^2$
$=(9x^2-4y^2)^2$
$=81x^4-72x^2y^2+16y^4$
(1) 原式$=[a+(b-3)][a-(b-3)]$
$=a^2-(b-3)^2$
$=a^2-(b^2-6b+9)$
$=a^2-b^2+6b-9$
(2) 原式$=[(3x-2y)(3x+2y)]^2$
$=[(3x)^2-(2y)^2]^2$
$=(9x^2-4y^2)^2$
$=81x^4-72x^2y^2+16y^4$
解析
【分析】
(1) 观察第一问的式子结构，两个因式中$a$的符号相同，$b$和$-3$的符号相反，因此可将$(b-3)$看作整体，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方，最后去括号化简即可。
(2) 观察第二问的式子，两个乘方的指数相同，可逆用积的乘方运算法则，先将两个底数相乘，得到的乘积正好符合平方差公式的结构，计算出结果后再对结果做完全平方展开，能大幅简化运算，避免直接展开的繁琐。
【解析】
(1) 原式$=[a+(b-3)][a-(b-3)]$
$=a^2-(b-3)^2$
$=a^2-(b^2-6b+9)$
$=a^2-b^2+6b-9$
(2) 原式$=[(3x-2y)(3x+2y)]^2$
$=[(3x)^2-(2y)^2]^2$
$=(9x^2-4y^2)^2$
$=81x^4-72x^2y^2+16y^4$
【答案】
(1) $a^2-b^2+6b-9$
(2) $81x^4-72x^2y^2+16y^4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、积的乘方运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，解题核心是通过整体思想识别式子的结构特征，构造符合乘法公式的形式简化计算，解题时要注意去括号的符号规则，避免公式展开时漏项、错写系数。
【难度系数】
0.7
(1) 观察第一问的式子结构，两个因式中$a$的符号相同，$b$和$-3$的符号相反，因此可将$(b-3)$看作整体，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方，最后去括号化简即可。
(2) 观察第二问的式子，两个乘方的指数相同，可逆用积的乘方运算法则，先将两个底数相乘，得到的乘积正好符合平方差公式的结构，计算出结果后再对结果做完全平方展开，能大幅简化运算，避免直接展开的繁琐。
【解析】
(1) 原式$=[a+(b-3)][a-(b-3)]$
$=a^2-(b-3)^2$
$=a^2-(b^2-6b+9)$
$=a^2-b^2+6b-9$
(2) 原式$=[(3x-2y)(3x+2y)]^2$
$=[(3x)^2-(2y)^2]^2$
$=(9x^2-4y^2)^2$
$=81x^4-72x^2y^2+16y^4$
【答案】
(1) $a^2-b^2+6b-9$
(2) $81x^4-72x^2y^2+16y^4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、积的乘方运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，解题核心是通过整体思想识别式子的结构特征，构造符合乘法公式的形式简化计算，解题时要注意去括号的符号规则，避免公式展开时漏项、错写系数。
【难度系数】
0.7
