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18. (★★)先化简,再求值:$(a+b)(a-b)+(4ab^3 -8a^2b^2)÷(4ab)$,其中$a=2,b=1.$
答案
解：
原式$=a^2 - b^2 + (4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab)$
$=a^2 - b^2 + b^2 - 2ab$
$=a^2 - 2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=2^2 - 2×2×1$
$=4 - 4$
$=0$
原式$=a^2 - b^2 + (4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab)$
$=a^2 - b^2 + b^2 - 2ab$
$=a^2 - 2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=2^2 - 2×2×1$
$=4 - 4$
$=0$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路清晰分为两步：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算多项式乘法$(a+b)(a-b)$，再根据多项式除以单项式的法则，将多项式$4ab^3 -8a^2b^2$的每一项分别除以$4ab$，之后合并同类项得到最简整式；第二步将$a=2$、$b=1$代入化简后的最简整式，计算得到最终结果即可。
【解析】
解：
原式$=a^2 - b^2 + (4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab)$
$=a^2 - b^2 + b^2 - 2ab$
$=a^2 - 2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=2^2 - 2×2×1$
$=4 - 4$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式，整式的除法，化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查整式混合运算的规则，解题时需熟练掌握平方差公式、多项式除以单项式的运算方法，运算过程中注意符号的准确性，合并同类项时不要混淆同类项，代值计算足够细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路清晰分为两步：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算多项式乘法$(a+b)(a-b)$，再根据多项式除以单项式的法则，将多项式$4ab^3 -8a^2b^2$的每一项分别除以$4ab$，之后合并同类项得到最简整式；第二步将$a=2$、$b=1$代入化简后的最简整式，计算得到最终结果即可。
【解析】
解：
原式$=a^2 - b^2 + (4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab)$
$=a^2 - b^2 + b^2 - 2ab$
$=a^2 - 2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=2^2 - 2×2×1$
$=4 - 4$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式，整式的除法，化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查整式混合运算的规则，解题时需熟练掌握平方差公式、多项式除以单项式的运算方法，运算过程中注意符号的准确性，合并同类项时不要混淆同类项，代值计算足够细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
19. (★★)如图,某市有一块长为$(3a+b)$ m、宽为$(2a+b)$ m的长方形地块,中间是边长为$(a+b)$ m的正方形,规划部门计划在中间的正方形上修建一座雕像,四周的阴影部分进行绿化.
(1)绿化的面积是多少平方米?(用含字母$a,b$的式子表示)
(2)求出当$a=20,b=12$时的绿化面积.
(1)绿化的面积是多少平方米?(用含字母$a,b$的式子表示)
(2)求出当$a=20,b=12$时的绿化面积.
答案
解：
(1) 绿化面积为长方形地块面积减去中间正方形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{绿化}}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
答：绿化的面积是$(5a^2+3ab)$平方米。
(2) 把$a=20$，$b=12$代入$5a^2+3ab$：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×20^2+3×20×12\\&=5×400+720\\&=2000+720\\&=2720\end{aligned}$
答：当$a=20,b=12$时的绿化面积为2720平方米。
(1) 绿化面积为长方形地块面积减去中间正方形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{绿化}}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
答：绿化的面积是$(5a^2+3ab)$平方米。
(2) 把$a=20$，$b=12$代入$5a^2+3ab$：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×20^2+3×20×12\\&=5×400+720\\&=2000+720\\&=2720\end{aligned}$
答：当$a=20,b=12$时的绿化面积为2720平方米。
解析
【分析】
本题是整式运算在实际面积问题中的应用，解题思路清晰：
(1) 求绿化的阴影面积可采用“整体减空白”的思路：先计算整块长方形地块的总面积，再减去中间空白正方形雕像的面积，即可得到绿化面积。计算时先依据长方形、正方形的面积公式分别写出两个面积的表达式，再按照多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，最后合并同类项化简即可得到结果。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把$a=20$、$b=12$代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算就能得到具体的绿化面积。
【解析】
(1) 绿化面积为长方形地块面积减去中间正方形的面积，列式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{绿化}}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
(2) 把$a=20$，$b=12$代入$5a^2+3ab$计算：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×20^2+3×20×12\\&=5×400+720\\&=2000+720\\&=2720\end{aligned}$
【答案】
(1) 绿化的面积是$\boldsymbol{(5a^2+3ab)}$平方米；
(2) 当$a=20,b=12$时的绿化面积为$\boldsymbol{2720}$平方米。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、面积和差计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握不规则图形面积的计算方法，利用“整体减空白”的思路转化为规则图形的面积差求解，计算时要注意多项式乘法的运算规则和去括号时的符号变化，代入数值计算时要遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是整式运算在实际面积问题中的应用，解题思路清晰：
(1) 求绿化的阴影面积可采用“整体减空白”的思路：先计算整块长方形地块的总面积，再减去中间空白正方形雕像的面积，即可得到绿化面积。计算时先依据长方形、正方形的面积公式分别写出两个面积的表达式，再按照多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，最后合并同类项化简即可得到结果。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把$a=20$、$b=12$代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算就能得到具体的绿化面积。
【解析】
(1) 绿化面积为长方形地块面积减去中间正方形的面积，列式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{绿化}}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
(2) 把$a=20$，$b=12$代入$5a^2+3ab$计算：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×20^2+3×20×12\\&=5×400+720\\&=2000+720\\&=2720\end{aligned}$
【答案】
(1) 绿化的面积是$\boldsymbol{(5a^2+3ab)}$平方米；
(2) 当$a=20,b=12$时的绿化面积为$\boldsymbol{2720}$平方米。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、面积和差计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握不规则图形面积的计算方法，利用“整体减空白”的思路转化为规则图形的面积差求解，计算时要注意多项式乘法的运算规则和去括号时的符号变化，代入数值计算时要遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
20. (★★★)阅读材料:“杨辉三角”,又称“贾宪三角”,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,西方人帕斯卡发现时,已比宋代杨辉要迟三百多年.如图,根据你观察的“杨辉三角”的排列规律,解决下列问题.
(1)$(a+b)^5$的展开式共有项, $(a+b)^6$的第三项的系数是.
(2)①计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$;
②猜想:$(2x-1)^6$的展开式中含$x^3$项的系数是.
(3)运用:若今天是星期五,则再过$8^6$天是星期.
(1)$(a+b)^5$的展开式共有项, $(a+b)^6$的第三项的系数是.
(2)①计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$;
②猜想:$(2x-1)^6$的展开式中含$x^3$项的系数是.
(3)运用:若今天是星期五,则再过$8^6$天是星期.
答案
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{15}$
(2) ① $\boldsymbol{1}$；② $\boldsymbol{-160}$
(3) $\boldsymbol{六}$
(2) ① $\boldsymbol{1}$；② $\boldsymbol{-160}$
(3) $\boldsymbol{六}$
解析
【分析】
先观察杨辉三角和对应二项式展开的规律：①$(a+b)^n$的展开式的项数为$n+1$项，各项系数对应杨辉三角对应行的数；②杨辉三角每行首尾都是1，中间每个数等于它上方相邻两个数的和。
(1) 根据项数规律直接得$(a+b)^5$的项数，再按杨辉三角的系数推导规律写出$(a+b)^6$的系数，即可得到第三项系数。
(2) ①观察算式的系数，恰好对应$(a+b)^5$的系数，将$a=2、b=-1$代入二项式即可简便计算。②先写出$(a+b)^6$的展开式，找到对应$x^3$的项，代入$a=2x、b=-1$计算该项系数即可。
(3) 星期周期为7，将$8$拆为$7+1$，展开$(7+1)^6$后判断除以7的余数，即可推算星期几。
【解析】
(1) 观察已知展开式可得$(a+b)^n$的项数为$n+1$，因此$(a+b)^5$的项数为$5+1=6$。
按杨辉三角系数规律推导：
$n=5$对应系数：1、5、10、10、5、1
$n=6$对应系数：1、$1+5=6$、$5+10=15$、$10+10=20$、$10+5=15$、$5+1=6$、1
因此$(a+b)^6$的第三项系数是15。
(2) ①对照$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$，令$a=2，b=-1$，代入得：
原式$=(2-1)^5=1^5=1$。
②$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$，令$a=2x，b=-1$，含$x^3$的项为$a^3b^3$对应的项：
$20×(2x)^3×(-1)^3=20×8x^3×(-1)=-160x^3$，因此含$x^3$项的系数为-160。
(3) $8=7+1$，因此$8^6=(7+1)^6$，展开后除最后一项$1^6=1$外，其余项都含有因数7，都是7的倍数，因此$8^6$除以7的余数为1。
星期周期为7，星期五再过1天是星期六。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{15}$
(2) ① $\boldsymbol{1}$；② $\boldsymbol{-160}$
(3) $\boldsymbol{六}$
【知识点】
杨辉三角的应用、整式乘方运算、周期规律应用
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，考查规律探究能力和知识迁移运用能力，需要学生将所求式子和二项式展开式对应，结合乘方性质解决实际问题，兼具文化性和综合性。
【难度系数】
0.6
先观察杨辉三角和对应二项式展开的规律：①$(a+b)^n$的展开式的项数为$n+1$项，各项系数对应杨辉三角对应行的数；②杨辉三角每行首尾都是1，中间每个数等于它上方相邻两个数的和。
(1) 根据项数规律直接得$(a+b)^5$的项数，再按杨辉三角的系数推导规律写出$(a+b)^6$的系数，即可得到第三项系数。
(2) ①观察算式的系数，恰好对应$(a+b)^5$的系数，将$a=2、b=-1$代入二项式即可简便计算。②先写出$(a+b)^6$的展开式，找到对应$x^3$的项，代入$a=2x、b=-1$计算该项系数即可。
(3) 星期周期为7，将$8$拆为$7+1$，展开$(7+1)^6$后判断除以7的余数，即可推算星期几。
【解析】
(1) 观察已知展开式可得$(a+b)^n$的项数为$n+1$，因此$(a+b)^5$的项数为$5+1=6$。
按杨辉三角系数规律推导：
$n=5$对应系数：1、5、10、10、5、1
$n=6$对应系数：1、$1+5=6$、$5+10=15$、$10+10=20$、$10+5=15$、$5+1=6$、1
因此$(a+b)^6$的第三项系数是15。
(2) ①对照$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$，令$a=2，b=-1$，代入得：
原式$=(2-1)^5=1^5=1$。
②$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$，令$a=2x，b=-1$，含$x^3$的项为$a^3b^3$对应的项：
$20×(2x)^3×(-1)^3=20×8x^3×(-1)=-160x^3$，因此含$x^3$项的系数为-160。
(3) $8=7+1$，因此$8^6=(7+1)^6$，展开后除最后一项$1^6=1$外，其余项都含有因数7，都是7的倍数，因此$8^6$除以7的余数为1。
星期周期为7，星期五再过1天是星期六。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{15}$
(2) ① $\boldsymbol{1}$；② $\boldsymbol{-160}$
(3) $\boldsymbol{六}$
【知识点】
杨辉三角的应用、整式乘方运算、周期规律应用
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，考查规律探究能力和知识迁移运用能力，需要学生将所求式子和二项式展开式对应，结合乘方性质解决实际问题，兼具文化性和综合性。
【难度系数】
0.6
