1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点D，以下结论中错误的是().

A.$△ ABD ≌ △ ACD$
B.$∠ B = ∠ BAD$
C.D为BC的中点
D.AD是$△ ABC$的角平分线

B

【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以先得到AD同时是底边的中线和顶角的角平分线，再逐一验证每个选项是否正确，找出错误的结论即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，故△ABC为等腰三角形，且AD⊥BC：
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，故D选项结论正确；同时BD=CD，即D为BC的中点，故C选项结论正确。
2. 证明△ABD≌△ACD：在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AD\end{array} $，根据HL判定定理，可得△ABD≌△ACD，故A选项结论正确。
3. 分析B选项：在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，只有当∠B=45°（即△ABC为等腰直角三角形）时，才有∠B=∠BAD，一般等腰三角形中该关系不成立，故B选项结论错误。
综上，错误的结论是B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题考查等腰三角形核心性质“三线合一”的应用，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的内容，结合全等判定等知识逐一分析选项即可。
【难度系数】
0.85

2. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分线，BC=10，则CD=().

A.10
B.6
C.5
D.3

C

【分析】
解题时先抓住题干关键信息：△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，由此联想到等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的中线和高，由此可判断D是BC的中点，CD为BC的一半，代入BC的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=10$，代入得$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一、线段中点的性质
【点评】
本题是基础应用题，主要考查等腰三角形核心性质的直接运用，熟记等腰三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$BC$的中点，$∠ BAD = 50°$，则$∠ C$的度数为().

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$

C

【分析】
首先由已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，再结合$D$是$BC$中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知$AD$既是底边上的中线，也是底边上的高、顶角的角平分线。接下来可先在直角三角形$ABD$中求出$∠ B$的度数，再利用等腰三角形等边对等角的性质，即可得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合），$∠ B=∠ C$（等腰三角形两底角相等/等边对等角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ BAD=50°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ BAD=90°-50°=40°$，
$\therefore ∠ C=∠ B=40°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础考察题，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合角度计算关系即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$AC$，垂足为点$D$，且交$AB$于点$E$，$∠ A=30°$，$∠ ACB=80°$，则$∠ BCE$的度数为________。

（第4题）（第5题）（第6题）

$\boldsymbol{50°}$

【分析】
解题时先从已知条件“DE垂直平分AC”入手，首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得EA=EC；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠ACE=∠A；最后结合已知的∠ACB的度数，用∠ACB减去∠ACE的度数即可求出∠BCE的大小。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠ACE=∠A=30°（等腰三角形两底角相等），
又
∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=∠ACB - ∠ACE = 80° - 30° = 50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查基础性质的直接应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=40°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，则$∠ BDC$的度数为________.

$\boldsymbol{75°}$

【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，求出△ABC两个底角∠ABC和∠C的度数；再根据角平分线的定义算出∠DBC的度数；最后在△BDC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=40°$
∴△ABC是等腰三角形，$∠ABC=∠C$
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC=∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$
∵BD平分$∠ABC$
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$
在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-35°-70°=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，将等腰三角形性质、角平分线定义和三角形内角和定理结合即可求解，解题逻辑清晰，熟练掌握基础性质就能正确作答。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，若$BD = CD$，则$\_\_\_\_\_\_ ⊥ \_\_\_\_\_\_$，$∠ BAD = ∠ \_\_\_\_\_\_$。

解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，BC为底边，
又∵ BD=CD，即AD是底边BC的中线，
由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AD⊥ BC$，AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
答案依次为：$AD$；$BC$；$CAD$。

【分析】
解题时首先根据已知条件AB=AC判断△ABC是等腰三角形，再结合BD=CD可知AD是等腰△ABC底边BC上的中线，此时联想等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高和顶角的角平分线，由此即可推导出对应的垂直关系和相等的角。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$BC$为等腰三角形的底边，
又
∵ $BD=CD$，
∴ $AD$是底边$BC$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质可得：$AD⊥ BC$，且$AD$平分顶角$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$。
【答案】
$AD$；$BC$；$CAD$
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形三线合一性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，核心考查对三线合一性质的理解与记忆，熟练掌握性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9