一、选择题
1. 如图，直线$a // b$，$△ ABC$的顶点$C$在直线$a$上，$∠ 1 = 58°$，$∠ 2 = 24°$，则$∠ A$的度数为().


A.$56°$
B.$34°$
C.$36°$
D.$24°$

B

【分析】
解题时先结合已知的平行条件，利用平行线的性质得到与∠1相等的角，该角恰好是含∠A的三角形的外角，再根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，建立已知角与∠A的等量关系，代入数值计算即可求出∠A的度数。
【解析】
设直线a与AB交于点D。
∵ 直线$a // b$，
∴ $∠CDB = ∠1 = 58°$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠CDB$是$△ACD$的外角，
∴ $∠CDB = ∠A + ∠2$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
∴ $∠A = ∠CDB - ∠2 = 58° - 24° = 34°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形外角定理；角的运算
【点评】
本题是平行线性质与三角形外角性质的基础综合题，解题关键是利用平行线得到等角，再结合外角的数量关系求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 一副三角板(△ABC和△DEF)，按图所示叠放在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，DF在边AB上，点C在边EF上，则图中∠α的度数是()。

A.15°
B.25°
C.30°
D.45°

A

【分析】
解题时首先要明确两块三角板的固有角度：等腰直角三角板DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，可先求出∠EFD的度数；再观察图形可知∠EFD是△AFC的外角，结合已知∠A=30°，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可推导计算出∠α的度数。
【解析】
解：
∵ △DEF是等腰直角三角板，∠EDF=90°，∠E=45°
∴ ∠EFD = 180° - 90° - 45° = 45°
由三角形外角的性质可知，∠EFD是△AFC的外角，满足：
∠EFD = ∠A + ∠α
已知∠A=30°，代入得：
∠α = ∠EFD - ∠A = 45° - 30° = 15°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角性质，三角板角度特征
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查对三角板固定角度的掌握和三角形外角性质的灵活运用，解题的核心是准确找到外角对应的两个不相邻内角，是三角形角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ D=90°$，$C$为线段$AD$(不含端点)上一点，$∠ BCA=6x$，则$x$可能是().

A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$30°$

C

【分析】
解题时首先观察图形，发现∠BCA是Rt△BCD的外角，根据三角形外角的性质可建立∠BCA和已知直角∠D的关系。再结合点C在AD上（不含端点）的限制，可得到∠DBC的取值范围，进而推导得出6x的取值范围，求出x的范围后对比选项即可得到答案。
【解析】
∵∠BCA是△BCD的外角，∠D=90°，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BCA = ∠D + ∠DBC = 90° + ∠DBC。
∵点C为线段AD上不含端点的点，
∴∠DBC ＞ 0°，且∠DBC ＜ 90°，
代入得：90° ＜ 6x ＜ 180°，
不等式两边同时除以6，得15° ＜ x ＜ 30°。
观察选项：
A. 10°＜15°，不符合范围；
B. 15°为边界值，取不到，不符合；
C. 15°＜18°＜30°，符合范围；
D. 30°为边界值，取不到，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，角的范围计算，不等式求解
【点评】
本题解题的核心是利用三角形外角性质得到角的等量关系，再结合点的位置限制确定角的取值范围，注意不要忽略“不含端点”的条件，避免误选边界值对应的选项。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AE$, $BE$分别平分$∠ CAB$, $∠ CBA$,且交于点$E$,延长$BE$交$AC$于点$D$.则$∠ DEA$的度数为________.

$\boldsymbol{45°}$

【分析】
解题时首先从已知的直角三角形入手，根据三角形内角和定理可得∠CAB与∠CBA的和为90°；再结合角平分线的定义，可求出∠EAB与∠EBA的和；最后观察待求角∠DEA，它是△ABE的外角，根据三角形外角的性质即可算出∠DEA的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
∵$AE$平分$∠ CAB$，$BE$平分$∠ CBA$
∴$∠ EAB = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ EBA = \frac{1}{2}∠ ABC$
∴$∠ EAB + ∠ EBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
∵$∠ DEA$是$△ ABE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ DEA = ∠ EAB + ∠ EBA = 45°$
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是利用角平分线的性质将角的和进行转化，再结合外角性质快速得到结果，是角平分线、三角形内角和与外角性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.7

5. 如图,点 D 在$△ ABC$的边 BA 的延长线上,点 E 在边 BC 上,连接 DE 交 AC 于点 F.若$∠ DFC=3∠ B=117°$, $∠ C=∠ D$,则$∠ BED$的度数为.

$\boldsymbol{102°}$

【分析】
解题时先从已知的倍数关系入手求出∠B的度数；再利用三角形外角的性质，建立∠DFC和∠B、∠C的等量关系，结合∠C=∠D的条件求出∠D的度数；最后在△BED中利用三角形内角和定理计算出∠BED的度数即可。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
已知$3∠B=117°$，因此$∠B=117°÷3=39°$。
2. 求∠D的度数：
∵$∠DFC$是$△ADF$的外角，根据三角形外角性质得$∠DFC=∠D + ∠DAF$；
又
∵$∠DAF$是$△ABC$的外角，根据三角形外角性质得$∠DAF=∠B + ∠C$；
将$∠DAF=∠B + ∠C$代入$∠DFC=∠D + ∠DAF$，可得$∠DFC=∠D + ∠B + ∠C$。
结合已知条件$∠C=∠D$、$∠DFC=117°$、$∠B=39°$，代入得：
$117°=∠C + 39° + ∠C$
解得$2∠C=78°$，即$∠C=39°$，因此$∠D=∠C=39°$。
3. 求∠BED的度数：
在$△BED$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠BED=180° - ∠B - ∠D=180° - 39° - 39°=102°$
【答案】
$\boldsymbol{102°}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是熟练运用三角形外角与内角的关系，逐步推导未知角的度数，计算过程难度不大。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$，$BD$分别为$∠ CAB$的平分线与$∠ ABC$的外角平分线，$CE$为$∠ ACB$的外角平分线，$AE ⊥ CE$于点$E$，$∠ ADB = 36°$，则$∠ CAE$的度数为。

$\boldsymbol{36°}$

【分析】
解题时先利用角平分线的定义和三角形外角的性质，推导∠ADB与∠ACB的数量关系，求出∠ACB的度数；再结合CE是∠ACB的外角平分线、AE⊥CE的条件，利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠CAE的度数。
【解析】
设∠ABC的外角为∠CBF，推导过程如下：
1. 求∠ACB的度数
∵ AD平分∠CAB，BD平分∠CBF
∴ $∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ CBF$
又
∵ ∠DBF是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得$∠ DBF=∠ DAB+∠ ADB$
代入角平分线结论得：$\frac{1}{2}∠ CBF=\frac{1}{2}∠ CAB+∠ ADB$，两边同乘2得$∠ CBF=∠ CAB+2∠ ADB$
∵ ∠CBF是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ CBF=∠ CAB+∠ ACB$
联立两式化简得：$∠ ACB=2∠ ADB$
已知$∠ ADB=36°$，因此$∠ ACB=2×36°=72°$
2. 求∠CAE的度数
∵ CE平分∠ACB的外角
∴ $∠ ACE=\frac{1}{2}×(180°-∠ ACB)=\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$
∵ $AE⊥ CE$，
∴ $∠ E=90°$
在$Rt△ AEC$中，两锐角互余，即$∠ CAE+∠ ACE=90°$
∴ $∠ CAE=90°-∠ ACE=90°-54°=36°$
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心是利用角平分线和三角形外角的性质推导角的数量关系，掌握常见的角平分线夹角模型可以有效提高解题效率。
【难度系数】
0.6